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Tangentengleichung 07:17 min

Textversion des Videos

Transkript Tangentengleichung

Hallo, hier ist Elke! Ich möchte heute mit euch Tangentengleichungen aufstellen. Tangenten, die an eine Kurve gehen. Und zwar im ersten Teil haben wir den Berührpunkt und im zweiten Teil haben wir einen Punkt außerhalb der Kurve und stellen die Tangentengleichung beziehungsweise Tangentengleichungen auf. So, wir fangen mal an und wählen uns eine Funktion y = 2x2 und wir wählen uns einen Berührpunkt, der allgemein x0, y0 heißt und wir wählen uns 1/2 dieser Berührpunkt liegt auf der Kurve y=2x2. Wir verwenden diese Formel hier oben, um die Tangentengleichung aufzustellen. Dafür machen wir eine kleine Vorbereitung: f(x0) ist ja für uns f(1), weil x=01 und 1 eingesetzt in unsere Funktion ergibt 2. f' von x(0) ist für uns jetzt in diesem Beispiel f'(1), f' von unserer Funktion 2x2 ergibt 4x und da setzen wir 1 ein und erhalten also 4. Jetzt setzen wir die Werte oben in die Formel ein, dann haben wir: y ist gleich, für f' von x(0) schreiben wir 4 ⋅ (x - x0) x0 ist ja 1, also 4 ⋅ (x - 1) + f(x0), können wir hier ablesen, haben wir 2 berechnet und wir sind schon fast fertig. Wir lösen nur die Klammer auf, 4 x - 4 + 2, fassen zusammen und erhalten schon die Tangentengleichung 4 x - 2, das ist die Tangentengleichung an die Kurve y = 2x2 in dem Berührpunkt 1/2. Jetzt im zweiten Teil haben wir keinen Berührungspunkt, sondern die Aufgabenstellung lautet von einem Punkt außerhalb der Kurve legen wir die Tangente oder die Tangenten an die Kurve und sollen jetzt die Tangentengleichung aufstellen. Wir wählen uns eine Kurve y = 3x2 und wir wählen uns einen Punkt außerhalb der Kurve, der also nicht auf der Kurve liegt und dann nehmen wir uns (1/-9) und bereiten wieder vor: f(x0) brauchen wir ja für die Formel. Nur, wir bekommen jetzt keinen Zahlenwert raus, sondern wir müssen X(0) in die Funktion einsetzen, dann ist also F(x0) = 3x02 und f' von x(0) brauchen wir auch in der Formel. f' von unserer Funktion ist 6x. Und wenn wir eben 6x, für x(0) einsetzen, bekommen wir 6x0 raus. Dann können wir noch x = 1 und y = -9, das war unser Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Jetzt setzen wir alles, was wir hier aufgeschrieben haben in dieser Merkbox in die Formel ein. Also für y schreiben wir -9, für f'(x0) schreiben wir 6x0, dann haben wir für x 1 und x0 bleibt, weil wir ja x(0) suchen, wir haben ja keinen Berührpunkt. Und + f(x0) sehen wir hier, ist 3x02. Und nun müssen wir diese Formel nach x0 umstellen. Das heißt, wir lösen erst mal die Klammer auf, 6x0 ⋅ - x0 = -6x'2 + 3x02. Dann fassen wir zusammen: -9 = 6x0, dies ergibt -3x02. Seht ihr schon, dass wir gleich die pq-Formel machen müssen, deswegen ordnen wir alles nach links rüber. Dann haben wir Vorzeichenwechsel 3x02 - 6x0 - 9, bleibt links, also kein Vorzeichenwechsel, gleich null. Jetzt teilen wir durch drei, damit wir die pq-Formel machen können. Ihr könntet auch die Mitternachtsformel nehmen. Dann haben wir x(0)2 - 2x(0) - 3 = 0. Und x01 können wir das nennen, ist dann -p/2 = 1 + √ -p/22, ergibt bleibt 1 und -q ist +3. Also haben wir raus: 1 + √ 4 = 1 + 2 = 3 und für x02 bekommt ihr 1 - 2, also -1 raus. Und somit haben wir B1, also unseren Berührpunkt, der erste heißt 3 und den y-Wert holen wir uns in der Funktion. Wir setzen für x 3 ein, drei hoch zwei ist neun mal drei ist 27. Und B2 ist -1. Und -1 in unsere Funktion eingesetzt -1 ins Quadrat ist 1 mal drei ist drei. Jetzt habt ihr die beiden Berührpunkte von den Tangenten an die Kurve und könnt so, wie wir das im ersten Teil gemacht haben, diese Werte für x(0) und f(x0) einsetzen und bekommt die Tangentengleichungen raus. Also für die Tangente 1 nehmt ihr den Berührpunkt B1 und für Tangente 2 nehmt ihr den Berührpunkt B2. Und wenn ihr alles richtig gemacht habt, dann werdet ihr diese beiden Tangentengleichungen rausbekommen, die ihr hier in Weinrot seht. Und dann wünsche ich euch viel Spaß!

2 Kommentare
  1. @Chester:
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    Von Martin B., vor etwa 4 Jahren
  2. Bekomme leider nur auf einer Seite Ton :(

    Von Chester, vor etwa 4 Jahren