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Tangente an Graph durch gegebenen Punkt 10:30 min

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Transkript Tangente an Graph durch gegebenen Punkt

Hallo. Wir haben eine typische Aufgabe aus der Analysis. Wir haben einen Graph einer Funktion gegeben und suchen eine Tangente an diesem Graphen, die durch einen vorgegebenen Punkt geht. Um die Aufgabe zu lösen wäre es gut, wenn du weißt, was Tangenten sind und was Ableitungen sind. Wir können uns jetzt als erstes einmal ansehen, wie wir so eine Aufgabe lösen können und warum wir eine Aufgabe so lösen können. Und danach rechnen wir noch eine konkrete Aufgabe dazu. Das hier ist unsere Situation, wir haben einen Graphen gegeben und einen Punkt gegeben. Und wir suchen eine Tangente an diesem Graphen durch diesen Punkt. Wir können jetzt mal ein paar Bezeichnungen einführen, um die Sache mal mathematisch anzugehen. Wir kennen die x-Koordinate des Punktes P und wir kennen die y-Koordinate des Punktes P und wir suchen diesen x-Wert, xt habe ich den genannt, weil hier der Berührpunkt der Tangente ist. Wenn wir xt haben, haben wir auch f(xt), weil ja f gegeben ist. Und wir können uns nun überlegen, dass wir eine lineare Funktion suchen, deren Steigung gleich der Steigung dieses Graphen der Funktion f in diesem Punkt ist. Deshalb können wir ein Steigungsdreieck einzeichnen und die Steigung, die wir mit diesem Steigungsdreieck berechnen können, dieser linearen Funktion, ist gleich der Steigung des Graphen in diesem Punkt, das heißt gleich der Ableitung. Das heißt, wir haben dann zwei Dinge, die wir gleichsetzen können. Dadurch erhalten wir eine Gleichung und mit der Gleichung können wir dann xt bestimmen. Die Steigung des Graphen in diesem Punkt ist gleich f‘(xt). Und die ist gleich y-Differenz geteilt durch x-Differenz. Die y-Differenz ist f(xt) – yp. Die x-Differenz ist xt – xp. Und wenn wir jetzt mal hier die Gleichung scharf anschauen, sehen wir, dass das einzige, was wir nicht kennen, dieses xt ist. Wir können also diese Gleichung nach xt auflösen, damit xt bestimmen und damit bestimmen wir auch die Gleichung dieser Tangente. Also dann, wir haben Funktion und Punkt gegeben, der Funktionsterm lautet -0,5x² + 5x – 8,5. Der Punkt hat die Koordinaten 1 und 0,5 und wir können die Ableitung der Funktion bilden, f‘(x) = –x + 5. Und dann können wir hier die konkreten Zahlen und Terme einsetzen. Die Ableitung ist –x + 5 = (-0,5x² + 5x – 8,5 – 0,5)/(x – 1). Wir können jetzt ein paar elementare Umformungen machen, zum Beispiel multiplizieren wir mit x – 1, dann haben wir den Nenner schon mal weg und der taucht dann quasi da wieder auf. Dann bringen wir alles auf eine Seite, das muss ich jetzt nicht im Einzelnen vormachen. Wenn wir damit fertig sind, haben wir eine quadratische Gleichung da stehen, nämlich x² - 2x – 8 = 0. Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, nämlich x1 = 4 und x2 = -2. So, was haben wir jetzt davon? Wir suchen ja die Gleichung dieser Geraden, das heißt eine Gleichung der Form y = m * x + b. Und wir müssen m und b bestimmen. m ist die Steigung der Geraden, die ist gleich der Ableitung in diesem Punkt. Das heißt, um m zu bestimmen können wir zum Beispiel x1 in die Ableitung einsetzen und haben schon m. b bestimmen wir dann, indem wir m und x und y in die Gleichung einsetzen und nach b auflösen. Wir fangen also mit x1 an, bilden also die Ableitung bei vier. f‘(4) = -4 + 5 = 1. Also haben wir m. Wir können dann in die Gleichung y = m * x + b für y = 0,5 einsetzen, für m können wir 1 einsetzen, für x können wir 1 einsetzen und das nach b auflösen. Und dann erhalten wir b = -0,5. Und damit haben wir den Funktionsterm unserer ersten Tangente. m ist 1, brauchen wir also nicht hinschreiben. 1 * x könnte da stehen, wir schreiben einfach x hin. b ist -0,5. Also ist x – 0,5 der Funktionsterm der ersten Tangente. Wir können auch x2 in die Ableitung einsetzen und erhalten dann f‘(-2) und das ist –(-2) + 5 = 7. Und das ist gleich m. Wir können jetzt hier für y = 0,5 einsetzen, für m 7 einsetzen, für x 1 einsetzen, plus b hinschreiben. Das Ganze nach b auflösen und dann erhalten wir b = -6,5. Und damit haben wir den Funktionsterm unserer zweiten Tangente, nämlich 7x – 6,5. Nun wurde eingangs gesagt, dass wir ja eine Funktionsgleichung suchen, na ja, wir erhalten die Funktionsgleichung, wenn wir hier für t1(x) y einsetzen, wir erhalten die zweite Funktionsgleichung, wenn wir hier für t2(x) y einsetzen, also letzten Endes geht es natürlich um diese Funktionsterme. Wir sind hier also fertig. Obwohl wir fertig sind, können wir uns aber noch kurz angucken, was wir jetzt eigentlich erreicht haben. Wir haben hier den gegebenen Punkt P und hier den Graphen der gegebenen Funktion und so sieht unsere erste Tangente aus. Ja, Steigung ist 1 und y-Achsenabschnitt ist -0,5. Und die zweite Tangente sieht so aus. Ja, Steigung ist +7, y-Achsenabschnitt -6,5. Und das ist keine Seltenheit, dass man also zwei Tangenten findet, die Tangenten dieses Graphen sind und durch einen bestimmten Punkt gehen. So, dann sind wir hier fertig. Wir haben nicht nur eine Tangente gefunden, sondern direkt zwei Tangenten. Wie schön. Und das haben wir erreicht, indem wir das Steigungsdreieck gezeichnet haben und uns ein paar Sachen dazu überlegt haben, ein paar Bezeichnungen eingeführt haben. Ja, und das ist das, was mir zum Beispiel an der Mathematik so großen Spaß macht. Als ich das vorbereitet habe hier, wusste ich nicht mal genau wie funktioniert die Methode. Ich wusste aber noch Steigungsdreiecke, habe das mal eingezeichnet, Bezeichnungen eingeführt und zack war die Lösung da. Und das ist Mathematik, so funktioniert das. Man braucht nur eine Idee und dann ein bisschen konkreter ausfüllen, genau hinschreiben was man will und dann ist man fertig. Sind wir jetzt auch, viel Spaß damit, tschüss.