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Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen 13:19 min

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Transkript Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen

Hallo, ich bin Anne und erkläre euch heute wie man das Steigungswinkelproblem löst. Dabei geht es darum, wie man den Steigungswinkel an einer Stelle x0 bestimmt. Dazu wollen wir erst wiederholen was eine Tangente an einem Graphen ist und was ein Steigungswinkel ist. Und für zwei Beispiele den Steigungswinkel berechnen. Man hat eine Funktion f gegeben und eine bestimmte Stelle auf der x-Achse, die wir x0 nennen bzw. ein Punkt P (x0, y0), der auf dem Graphen von f liegt. Du kennst bereits die Tangente an den Graphen in diesem Punkt und der Steigungswinkel ist jetzt der Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse. Und diesen wollen wir berechnen. Dafür gucken wir uns ein Beispiel an. Und zwar f(x) = x² + 1 an der Stelle x0 = 1. Der Anstieg der Tangente drückt immer aus, wie steil oder flach die Tangente ist. D. h. dieser Winkel α ist im Prinzip nur eine andere Art das auszusagen wie steil oder flach diese Tangente ist. Und deswegen brauchen wir zuerst diesen Anstieg der Tangente. Also berechnen wir zuerst den Anstieg der Tangente. Da wissen wir, dass der Anstieg m = f’(x0) ist. Also brauchen wir erst den Anstieg, äh, die erste Ableitung von f, die ist 2x und dann setzen wir ein: m = 2 * 1, also 2. Im nächsten Schritt berechnen wir jetzt den Steigungswinkel α. Dafür müssen wir uns das Bild nochmal näher angucken. Und zwar wenn man diese Tangente direkt einzeichnen würde in das Bild, würde man sich als Erstes den Schnittpunkt mit der y-Achse suchen. Der wäre bei 0, haben wir jetzt nicht ausgerechnet, kann man sich aber auch ganz schnell ausrechnen. Also man hat den Punkt 0 und dann zeichnet man mit Hilfe des Anstiegs einen nächsten Punkt. Und das macht man über das Steigungsdreieck. Dafür muss ich mir diesen Anstieg 2 in einen Bruch formen, das wäre jetzt hier 2/1. Den Nenner geht man immer nach rechts und den Zähler nach oben. D. h. bei uns wäre das jetzt eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Das kann man auch allgemein formulieren: Also man geht eine Einheit nach rechts, und m Einheiten nach oben. Dieses Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck und deswegen müssen wir uns jetzt nochmal genauer angucken wie ein rechtwinkliges Dreieck aufgebaut ist. Dafür mache ich mal eine Skizze von einem. Wir haben hier den den rechten Winkel und wir suchen diesen Winkel α. Gegenüber vom rechten Winkel liegt die Hypotenuse, die anderen beiden Seiten, die den rechten Winkel umschließen, heißen Katheten. Jetzt kann man noch, je nach Lage zum Winkel α unterscheiden zwischen Ankathete und Gegenkathete. Die Kathete, die am Winkel α liegt, nennt man Ankathete und die Kathete die gegenüber vom Winkel α liegt, nennt man Gegenkathete. Wir wissen jetzt aus unserem Bild, dass wir die Ankathete und die Gegenkathete kennen und jetzt kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion so einen Zusammenhang bilden. Und zwar ist der tan(α) = Gegenkathete / Ankathete. Bei uns ist das m/1, also m. Und jetzt kann man einfach nach α umstellen. Und dann haben wir raus, dass α = Arcustangens, Gegenfunktion vom Tangens, von m ist. Diesen Arcustangens schreibt man auch als Tangens-1. So erscheint es z. B. im Taschenrechner. So kann einem das quasi auch mal vorkommen. D. h. wir können unseren zweiten Schritt hier weitermachen und da müssen wir einfach nur einsetzen. α = arctan(2) und das sind rund 63,4°. Diesen Schritt muss man jetzt natürlich mit dem Taschenrechner ausrechnen, das weiß man nicht aus dem Kopf. Und da muss man aufpassen, dass man in DEG rechnet. Das ist die Abkürzung für Degree, damit man wirklich so eine Gradzahl herausbekommt. Hier haben wir nochmal ein Bild, wo man das sieht, dass dann im Taschenrechner so etwas erscheinen müsste, dass man wirklich in diesem Degree rechnet. Die andere Einheit wäre Radiant, da kommt dann eine andere Zahl raus. Wir wollen in Degree sein. Ich werde euch gleich noch ein zweites Beispiel vorstellen wie man den Steigungswinkel berechnet.Wir wollen jetzt noch ein zweites Beispiel berechnen. Und zwar haben wir jetzt die Funktion gegeben f(x) = x4 + 2x³ + 3x² - 5. Die Stelle x0 = -1. Im ersten Schritt berechnen wir wieder den Anstieg den Tangente. m = f’(x0). Also brauchen wir die erste Ableitung von f, die ist 4x³ + 6x² + 6x. Und jetzt setzen wir ein. m = f’(-1). 4 * -13 = -4. 6 * -12 = 6. 6 * -1 = -6. Also haben wir als Anstieg -4. Und jetzt können wir einfach im zweiten Schritt den Steigungswinkel berechnen, indem wir einfach in die Gleichung hier unten einsetzen. Also α = arctan(-4). Das machen wir jetzt wieder mit dem Taschenrechner und kommen auf rund -76°. Hier müssen wir wieder aufpassen, dass wir in diesem DEG-Modus sind des Taschenrechners. Was bedeutet jetzt überhaupt ein Winkel, der negativ ist? Dazu mache ich wieder eine kleine Skizze. Wir haben einen Anstieg von -4 raus, d. h. unsere Tangente liegt nicht so im Koordinatenfeld, sondern so. Und der Steigungswinkel den wir eigentlichen raus haben wollen, α, ist der. Jetzt haben wir aber einen negativen Winkel raus. Dieser Arcustangens gibt immer einen Winkel, der zwischen -90° liegt und 90°. Also immer den kleineren Winkel. Wir haben jetzt quasi das hier berechnet, β. Dieses α und β ergeben zusammen 180°. Wir wollen jetzt aber α rauskriegen, also stelle ich um nach α. α = 180° - β. Und diese -76° sind jetzt gerade diese -β . D. h. um wirklich auf diesen Steigungswinkel zu kommen, muss ich jetzt noch 180° addieren. Merken kann man sich im Allgemeinen: Immer, wenn ich hier auf einen negativen Winkel komme, muss ich noch 180° addieren. Und dann kommt man auf den Winkel 104°. Und das ist dann unsere Lösung. Ich fasse nochmal kurz zusammen was du heute gelernt hast: Und zwar haben wir wiederholt, was eine Tangente an einem Graphen ist und dann was ein Steigungswinkel ist. Das ist der Winkel, zwischen der Tangente und der x-Achse. Dazu haben wir zwei Beispiele gemacht. Und das Wichtige ist, beim Berechnen, dass man erst den Anstieg der Tangente berechnet, dann einsetzt in dieses α = arctan(m). Dabei muss man in diesem Degree-Modus sein im Taschenrechner. Und wenn eine negative Zahl rauskommt, muss man noch 180° addieren. Ich hoffe du hast alles verstanden und auch Spaß gehabt. Bis zum nächsten Video.

5 Kommentare
  1. Dsc 0663

    Hallo Andreas Friedhoff,
    beim Ableiten von Funktionen fallen die Konstanten, also die Zahlen, die ohne x stehen, weg. Die 1 taucht also in der Ableitung nicht mehr auf, es bleibt nur 2x übrig.

    Von Jenny Marq, vor 8 Monaten
  2. Default

    Ansonsten*

    Von Andreas Friedhoff, vor 8 Monaten
  3. Default

    Die erste Ableitung von x hoch 2 +1 ist nach meiner Berechnung 2x+1

    An sonsten gut erklärt

    Von Andreas Friedhoff, vor 8 Monaten
  4. Default

    Du bist SPITZE!!! Deine ruhige Art der Vermittlung verdient die Note 1, ab in den Schuldienst!

    Von Mariarudolf, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Echt gut erklärt !

    Von Bart0806, vor etwa 2 Jahren

Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zum Steigungswinkel.

    Tipps

    Wie lautet die Definition der trigonometrischen Funktion $tan(\alpha)$ in einem rechtwinkligen Dreieck?

    Der Anstieg der Tangente entspricht der Steigung der Funktion in dem Punkt $P(x_0|y_0)$.

    Lösung

    Unter dem Steigungswinkel einer Funktion in einem Punkt $P(x_0|y_0)$ versteht man den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion in diesem Punkt. Dieser Steigungswinkel ist der Winkel, welcher von der Tangente mit der x-Achse eingeschlossen wird.

    Das heißt, zur Berechnung des Steigungswinkels

    • benötigt man den Anstieg der Tangente $m=f'(x_0)$
    • und kann dann mit der Formel $tan(\alpha)=m$, welche äquivalent ist zu $\alpha=arctan(m)$, den gesuchten Winkel berechnen.

  • Definiere den Tangens von $\alpha$ und von $\gamma$.

    Tipps

    Es gilt

    $\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\\ tan(\alpha)&=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}. \end{align*}$

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die beiden Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sind spitze Winkel ($<90^\circ$).

    Zu jedem dieser spitzen Winkel gibt es

    • eine Gegenkathete, welche dem jeweiligen Winkel gegenüberliegt und
    • eine Ankathete, die den jeweiligen Winkel mit der Hypotenuse bildet.

    Auf Verkehrsschildern wird bei besonders steilen Straßen die Steigung in „%“ angegeben. Sie entspricht dem Verhältnis von vertikalem zu horizontalem Weg.

    Lösung

    Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von der Länge der Gegenkathete zu der der Ankathete dieses Winkels. Abkürzend schreibt man

    $tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.

    In dem obigen Dreieck gilt daher $tan(\alpha)=\frac ac$ und $tan(\gamma)=\frac ca$.

    Auf Verkehrsschildern wird bei besonders steilen Straßen die Steigung in „%“ angegeben. Sie entspricht dem Verhältnis von vertikalem zu horizontalem Weg.

  • Berechne den Steigungswinkel der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0=1$.

    Tipps

    Der Tangens eines spitzen Winkels ist im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Längen der Gegenkathete zu der der Ankathete dieses Winkels.

    Dieses Verhältnis bezeichnet man auch als Steigung.

    Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt $P(x_0|y_0)$ ist die erste Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$.

    Beachte beim Rechnen mit Winkeln, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

    Lösung

    Unter dem Steigungswinkel einer Funktion an der Stelle $x_0$ versteht man den Winkel der von der Tangente an den Graphen der Funktion in dem Punkt $P(x_0|y_0)$ und der x-Achse eingeschlossen wird. Dieser Winkel kann mit der Formel

    $tan(\alpha)=m$,

    wobei $m$ der Anstieg der Tangente ist, berechnet werden. Um zu dem Winkel zu gelangen, wird die Tangensfunktion umgekehrt: $\alpha=arctan(m)$. Zu beachten ist dabei, dass der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

    • $m=f'(x_0)=f'(1)$. Mit $f'(x)=2x$ ergibt sich $m=2\cdot 1=2$.
    • Es gilt $tan(\alpha)=2$.
    • Die Umkehrung von Tangens führt zu dem gesuchten Steigungswinkel $\alpha=arctan(2)≈63,4^\circ$.
  • Gib den Bereich für $x_0$ an, in welchem ein Steigungswinkel $40^\circ<\alpha<45^\circ$ vorliegt.

    Tipps

    Berechne zunächst, welche Steigung zu $40^\circ$ und welche zu $45^\circ$ gehört.

    Die erste Ableitung von $f$ lautet $f'(x)=2x+2$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es darum, bei vorgegebenem Steigungswinkel die Steigung zu berechnen. Dies ist die Umkehrung des Steigungswinkelproblems.

    Da der Steigungswinkel $\alpha$ in dem Intervall $[40^\circ;45^\circ]$ liegen soll, muss zunächst

    • die zu dem Winkel $40^\circ$ gehörende Steigung $m=tan(40^\circ)≈0,84$ und
    • die zu dem Winkel $45^\circ$ gehörende Steigung $m=tan(45^\circ)=1$ berechnet werden.
    Die 1. Ableitung von $f$ lautet $f'(x)=2x+2$ und stellt eine steigende lineare Funktion dar. Es muss die Ungleichung $0,84<2x+2<1$ nach $x$ aufgelöst werden.

    Zunächst wird der linke Teil der Ungleichung aufgelöst:

    $\begin{align*} 0,84&<2x+2 &|& -2\\ -1,16&<2x &|& :2\\ -0,58&<x. \end{align*}$

    Es ist zu beachten, dass beim Lösen von Ungleichungen das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert wird oder durch eine negative Zahl dividiert wird. Dies ist hier nicht der Fall.

    Ebenso wird der rechte Teil der Gleichung gelöst:

    $\begin{align*} 2x+2&<1 &|& -2\\ 2x&<-1 &|& :2 \\ x&<-0,5. \end{align*}$

    Der gesuchte Bereich ist also: $[-0,58;-0,5]$. In diesem hat die Funktion einen Steigungswinkel der zwischen $40^\circ$ und $45^\circ$ liegt.

  • Bestimme den Steigungswinkel der Funktionen an der jeweiligen Stelle $x_0$.

    Tipps

    Bei der Eingabe von $arctan$ in deinen Taschenrechner musst du beachten

    • dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist und
    • dass dein Taschenrechner Werte zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ ausgibt.

    Ist der gefundene Winkel negativ, so addiere ihn zu $180^\circ$ um den tatsächlichen Steigungswinkel zu erhalten.

    Du benötigst jeweils den Anstieg der Tangente, welchen du durch Einsetzen von $x_0$ in der 1. Ableitung der jeweiligen Funktion erhältst.

    Lösung

    Zu jeder Funktion muss

    • zunächst die Ableitung berechnet werden und
    • damit der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0$ durch $m=f'(x_0)$ ermittelt werden.
    • Der Steigungswinkel $\alpha$ ist dann gegeben durch $\alpha=arctan(m)$. Dabei ist zu beachten, dass der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.
    1. $\mathbf{f(x)=x^3-2x+1}$: Die Ableitung ist $f'(x)=3x^2-2$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=0$ gegeben durch $m=3\cdot 0^2-2=-2$ und $\gamma=arctan(-2)≈-63,4^\circ$. Der Taschenrechner gibt für die Umkehrung von Tangens Winkel zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ aus. Um den gesuchten Steigungswinkel bei einem negativen Winkel zu erhalten, muss wie folgt vorgegangen werden: $\alpha=180^\circ-63,4^\circ≈116,6^\circ$.
    2. $\mathbf{g(x)=x^4+2}$: Die Ableitung ist $f'(x)=4x^3$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=1$ gegeben durch $m=4\cdot 1^3=4$ und $\alpha=arctan(4)≈76^\circ$.
    3. $\mathbf{k(x)=-3x^2+2x}$: Die Ableitung ist $f'(x)=-6x+2$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=2$ gegeben durch $m=-6\cdot2+2=-10$ und $\gamma=arctan(-10)≈-84,3^\circ$. Wie in der ersten Aufgabe ergibt sich der Steigungswinkel durch $\alpha=180^\circ-84,3^\circ≈95,7^\circ$.
    4. $\mathbf{k(x)=x^5+3x^2}$: Die Ableitung ist $f'(x)=5x^4+6x$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=0,5$ gegeben durch $m=5\cdot 0,5^5+6\cdot 0,5=3,3125$ und $\alpha=arctan(3,3125)≈73,2^\circ$.

  • Gib den Steigungswinkel der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ an.

    Tipps

    Berechne zunächst die 1. Ableitung. Diese benötigst du zur Berechnung des Anstiegs der Tangente $m$.

    Achte darauf, dass bei deinen Rechnungen dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

    Ist der durch den Taschenrechner erhaltene Winkel negativ, so addiert man $180^\circ$ hinzu.

    Lösung

    Die erste Ableitung der gegebenen Funktion $f(x)=-2x^3+3x+4$ lautet:

    $f'(x)=-6x^2+3$.

    Setzt man $x_0=1$ in diese Ableitung ein, so erhält man den Anstieg der Tangente:

    $m=f'(1)=-6\cdot 1^2+3=-3$.

    Die Umkehrung von Tangens ergibt den Winkel $\gamma≈-71,6^\circ$. Der gesuchte Steigungswinkel ist dann $180^\circ-71,6^\circ≈108,4^\circ$.

    Um zu überprüfen, ob es noch eine weitere Stelle mit diesem Steigungswinkel gibt, muss die Gleichung $-6x^2+3=-3$ gelöst werden:

    $\begin{align*} -6x^2+3&=-3 &|& -3\\ -6x^2&=-6 &|& :(-6)\\ x^2&=1 &|& \sqrt{~~~}\\ x&=\pm 1. \end{align*}$

    Da die Stelle $x_0=1$ bereits die in der Aufgabenstellung ist, hat die Funktion an der Stelle $x_1=-1$ ebenfalls den Steigungswinkel $\alpha≈108,4^\circ$.