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Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Steigungswinkelproblem – Steigungswinkel in einem Punkt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zum Steigungswinkel.

    Tipps

    Wie lautet die Definition der trigonometrischen Funktion $tan(\alpha)$ in einem rechtwinkligen Dreieck?

    Der Anstieg der Tangente entspricht der Steigung der Funktion in dem Punkt $P(x_0|y_0)$.

    Lösung

    Unter dem Steigungswinkel einer Funktion in einem Punkt $P(x_0|y_0)$ versteht man den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion in diesem Punkt. Dieser Steigungswinkel ist der Winkel, welcher von der Tangente mit der x-Achse eingeschlossen wird.

    Das heißt, zur Berechnung des Steigungswinkels

    • benötigt man den Anstieg der Tangente $m=f'(x_0)$
    • und kann dann mit der Formel $tan(\alpha)=m$, welche äquivalent ist zu $\alpha=arctan(m)$, den gesuchten Winkel berechnen.

  • Berechne den Steigungswinkel der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0=1$.

    Tipps

    Der Tangens eines spitzen Winkels ist im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Längen der Gegenkathete zu der der Ankathete dieses Winkels.

    Dieses Verhältnis bezeichnet man auch als Steigung.

    Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt $P(x_0|y_0)$ ist die erste Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$.

    Beachte beim Rechnen mit Winkeln, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

    Lösung

    Unter dem Steigungswinkel einer Funktion an der Stelle $x_0$ versteht man den Winkel der von der Tangente an den Graphen der Funktion in dem Punkt $P(x_0|y_0)$ und der x-Achse eingeschlossen wird. Dieser Winkel kann mit der Formel

    $tan(\alpha)=m$,

    wobei $m$ der Anstieg der Tangente ist, berechnet werden. Um zu dem Winkel zu gelangen, wird die Tangensfunktion umgekehrt: $\alpha=arctan(m)$. Zu beachten ist dabei, dass der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

    • $m=f'(x_0)=f'(1)$. Mit $f'(x)=2x$ ergibt sich $m=2\cdot 1=2$.
    • Es gilt $tan(\alpha)=2$.
    • Die Umkehrung von Tangens führt zu dem gesuchten Steigungswinkel $\alpha=arctan(2)≈63,4^\circ$.
  • Bestimme den Steigungswinkel der Funktionen an der jeweiligen Stelle $x_0$.

    Tipps

    Bei der Eingabe von $arctan$ in deinen Taschenrechner musst du beachten

    • dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist und
    • dass dein Taschenrechner Werte zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ ausgibt.

    Ist der gefundene Winkel negativ, so addiere ihn zu $180^\circ$ um den tatsächlichen Steigungswinkel zu erhalten.

    Du benötigst jeweils den Anstieg der Tangente, welchen du durch Einsetzen von $x_0$ in der 1. Ableitung der jeweiligen Funktion erhältst.

    Lösung

    Zu jeder Funktion muss

    • zunächst die Ableitung berechnet werden und
    • damit der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0$ durch $m=f'(x_0)$ ermittelt werden.
    • Der Steigungswinkel $\alpha$ ist dann gegeben durch $\alpha=arctan(m)$. Dabei ist zu beachten, dass der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.
    1. $\mathbf{f(x)=x^3-2x+1}$: Die Ableitung ist $f'(x)=3x^2-2$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=0$ gegeben durch $m=3\cdot 0^2-2=-2$ und $\gamma=arctan(-2)≈-63,4^\circ$. Der Taschenrechner gibt für die Umkehrung von Tangens Winkel zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ aus. Um den gesuchten Steigungswinkel bei einem negativen Winkel zu erhalten, muss wie folgt vorgegangen werden: $\alpha=180^\circ-63,4^\circ≈116,6^\circ$.
    2. $\mathbf{g(x)=x^4+2}$: Die Ableitung ist $f'(x)=4x^3$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=1$ gegeben durch $m=4\cdot 1^3=4$ und $\alpha=arctan(4)≈76^\circ$.
    3. $\mathbf{k(x)=-3x^2+2x}$: Die Ableitung ist $f'(x)=-6x+2$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=2$ gegeben durch $m=-6\cdot2+2=-10$ und $\gamma=arctan(-10)≈-84,3^\circ$. Wie in der ersten Aufgabe ergibt sich der Steigungswinkel durch $\alpha=180^\circ-84,3^\circ≈95,7^\circ$.
    4. $\mathbf{k(x)=x^5+3x^2}$: Die Ableitung ist $f'(x)=5x^4+6x$. Damit ist der Anstieg der Tangente an der Stelle $x_0=0,5$ gegeben durch $m=5\cdot 0,5^5+6\cdot 0,5=3,3125$ und $\alpha=arctan(3,3125)≈73,2^\circ$.

  • Gib den Steigungswinkel der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ an.

    Tipps

    Berechne zunächst die 1. Ableitung. Diese benötigst du zur Berechnung des Anstiegs der Tangente $m$.

    Achte darauf, dass bei deinen Rechnungen dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

    Ist der durch den Taschenrechner erhaltene Winkel negativ, so addiert man $180^\circ$ hinzu.

    Lösung

    Die erste Ableitung der gegebenen Funktion $f(x)=-2x^3+3x+4$ lautet:

    $f'(x)=-6x^2+3$.

    Setzt man $x_0=1$ in diese Ableitung ein, so erhält man den Anstieg der Tangente:

    $m=f'(1)=-6\cdot 1^2+3=-3$.

    Die Umkehrung von Tangens ergibt den Winkel $\gamma≈-71,6^\circ$. Der gesuchte Steigungswinkel ist dann $180^\circ-71,6^\circ≈108,4^\circ$.

    Um zu überprüfen, ob es noch eine weitere Stelle mit diesem Steigungswinkel gibt, muss die Gleichung $-6x^2+3=-3$ gelöst werden:

    $\begin{align*} -6x^2+3&=-3 &|& -3\\ -6x^2&=-6 &|& :(-6)\\ x^2&=1 &|& \sqrt{~~~}\\ x&=\pm 1. \end{align*}$

    Da die Stelle $x_0=1$ bereits die in der Aufgabenstellung ist, hat die Funktion an der Stelle $x_1=-1$ ebenfalls den Steigungswinkel $\alpha≈108,4^\circ$.

  • Definiere den Tangens von $\alpha$ und von $\gamma$.

    Tipps

    Es gilt

    $\begin{align*} sin(\alpha)&=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\\ cos(\alpha)&=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}\\ tan(\alpha)&=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}. \end{align*}$

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die beiden Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sind spitze Winkel ($<90^\circ$).

    Zu jedem dieser spitzen Winkel gibt es

    • eine Gegenkathete, welche dem jeweiligen Winkel gegenüberliegt und
    • eine Ankathete, die den jeweiligen Winkel mit der Hypotenuse bildet.

    Auf Verkehrsschildern wird bei besonders steilen Straßen die Steigung in „%“ angegeben. Sie entspricht dem Verhältnis von vertikalem zu horizontalem Weg.

    Lösung

    Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von der Länge der Gegenkathete zu der der Ankathete dieses Winkels. Abkürzend schreibt man

    $tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.

    In dem obigen Dreieck gilt daher $tan(\alpha)=\frac ac$ und $tan(\gamma)=\frac ca$.

    Auf Verkehrsschildern wird bei besonders steilen Straßen die Steigung in „%“ angegeben. Sie entspricht dem Verhältnis von vertikalem zu horizontalem Weg.

  • Gib den Bereich für $x_0$ an, in welchem ein Steigungswinkel $40^\circ<\alpha<45^\circ$ vorliegt.

    Tipps

    Berechne zunächst, welche Steigung zu $40^\circ$ und welche zu $45^\circ$ gehört.

    Die erste Ableitung von $f$ lautet $f'(x)=2x+2$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es darum, bei vorgegebenem Steigungswinkel die Steigung zu berechnen. Dies ist die Umkehrung des Steigungswinkelproblems.

    Da der Steigungswinkel $\alpha$ in dem Intervall $[40^\circ;45^\circ]$ liegen soll, muss zunächst

    • die zu dem Winkel $40^\circ$ gehörende Steigung $m=tan(40^\circ)≈0,84$ und
    • die zu dem Winkel $45^\circ$ gehörende Steigung $m=tan(45^\circ)=1$ berechnet werden.
    Die 1. Ableitung von $f$ lautet $f'(x)=2x+2$ und stellt eine steigende lineare Funktion dar. Es muss die Ungleichung $0,84<2x+2<1$ nach $x$ aufgelöst werden.

    Zunächst wird der linke Teil der Ungleichung aufgelöst:

    $\begin{align*} 0,84&<2x+2 &|& -2\\ -1,16&<2x &|& :2\\ -0,58&<x. \end{align*}$

    Es ist zu beachten, dass beim Lösen von Ungleichungen das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert wird oder durch eine negative Zahl dividiert wird. Dies ist hier nicht der Fall.

    Ebenso wird der rechte Teil der Gleichung gelöst:

    $\begin{align*} 2x+2&<1 &|& -2\\ 2x&<-1 &|& :2 \\ x&<-0,5. \end{align*}$

    Der gesuchte Bereich ist also: $[-0,58;-0,5]$. In diesem hat die Funktion einen Steigungswinkel der zwischen $40^\circ$ und $45^\circ$ liegt.

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