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Stammfunktionen

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Team Digital
Stammfunktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Stammfunktionen

Inhalt

Was ist eine Stammfunktion?

In Mathe hast du bestimmt schon die Ableitung einer Funktion kennengelernt. In diesem Video erklären wir dir, was die Stammfunktion einer Funktion ist. Berechnest du die Ableitung, so ist eine Funktion $f$ gegeben und ihre Ableitung gesucht. Bei der Frage nach einer Stammfunktion ist es umgekehrt: Die Ableitung ist gegeben und die Funktion ist gesucht. Die Ableitung einer Funktion $f$ bezeichnen wir mit $f^{\prime}$. Für die Stammfunktion einer Funktion $f$ verwendet man üblicherweise den Buchstaben $F$.

Stammfunktion – Definition

Eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion $f$ ist eine Funktion $F$, deren Ableitung die Funktion $f$ ist. Als Formel können wir das so schreiben:

$F'(x) = f(x)$

Bei der Berechnung der Ableitung einer Funktion $f$ gibt es nur eine richtige Lösung – vorausgesetzt, die Funktion $f$ ist differenzierbar. Bei der Bestimmung einer Stammfunktion $F$ gibt es nie nur eine richtige Lösung: Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f$, so ist auch $F(x)+c$ eine Stammfunktion von $f$. Hierbei ist $c \in \mathbb R$ eine konstante reelle Zahl. Dass das so ist, können wir direkt nachrechnen. Berechnen wir die Ableitung der Funktion $F(x)+c$, so erhalten wir:

$(F(x) + c)^{\prime} = F^{\prime}(x) + c^{\prime} = F^{\prime}(x) +0 = F^{\prime}(x) = f(x)$

Denn die Ableitung einer konstanten Zahl ist stets null: $c^{\prime} = 0$


Graphische Darstellung der Ableitungsfunktion

Im Koordinatensystem kannst du die Ableitung einer Funktion $f$ als Funktionsgraph darstellen. Dazu liest du an jedem Punkt $x$ den Wert der Steigung von $f$ ab und trägst diesen Wert als Funktionswert der Ableitung $f^\prime(x)$ ein. An jeder Stelle $x$, an der die Funktion $f$ ansteigt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ positiv. An Stellen, an denen $f$ eine horizontale Tangente hat, hat $f^{\prime}$ eine Nullstelle. Und an allen Stellen $x$, an denen $f(x)$ abfällt, ist die Ableitung $f^{\prime}(x)$ negativ. Zeichnen wir zu dem Funktionsgraphen von $f(x)$ noch die Funktionsgraphen der Funktionen $f(x)+2$ und $f(x)-3$, so finden wir bei allen drei Funktionen dieselbe Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$. Denn die Funktionen $f(x)$ sowie $f(x)+2$ und $f(x)-3$ unterscheiden sich nur durch die Addition konstanter reeller Zahlen. Alle diese Funktionen sind Stammfunktionen der Ableitungsfunktion $f^{\prime}(x)$.

Graphische Darstellung der Stammfunktionen

Zu einer gegebenen Funktion $f$ eine Stammfunktion $F$ zu zeichnen, ist schwieriger. Dazu musst du an jeder Stelle $x$ den Funktionswert $F(x)$ so einzeichnen, dass die Steigung des Funktionsgraphen von $F$ an der Stelle $x$ genau dem Funktionswert $f(x)$ entspricht. Du kannst dich aber an den Nullstellen der Funktion $f$ orientieren: Ist $f(x) =0$, so hat jede Stammfunktion an der Stelle $x$ eine horizontale Tangente. Ist die Funktion $f$ links der Nullstelle positiv, so steigt jede Stammfunktion $F$ dort an. Ist $f$ rechts der Nullstelle negativ, so fällt jede Stammfunktion dort ab. Ändert sich die Funktion $f$ kaum noch, so ist auch jede Stammfunktion fast konstant. Auf diese Weise kannst du Stammfunktionen zu einer vorgegebenen Funktion $f$ zeichnen.

Stammfunktionen

Hast du eine Stammfunktion $F(x)$ gefunden, so sind auch die Funktion $F(x)+2$ und die Funktion $F(x)-3$ eine Stammfunktion der Funktion $f(x)$. Die Stammfunktion $F(x)$ ist also nicht eindeutig bestimmt durch die Funktion $f(x)$ – jede konstante Verschiebung in $y$-Richtung des Funktionsgraphen einer Stammfunktion $F$ ergibt eine neue Stammfunktion.

Eine vergleichbare Beobachtung kennst du bestimmt aus dem Alltag: Wenn du einen Berg hinaufsteigst, kannst du die Steigung direkt spüren – aber nicht die genaue Höhe. Ob du zwei Meter höher oder drei Meter tiefer bist, kannst du nicht unmittelbar feststellen. Die tatsächliche Höhe hängt auch davon ab, wo der Nullpunkt der Höhenskala liegt – die Steigung hängt davon nicht ab, sondern lässt sich unmittelbar beobachten. Die Steigung entspricht in diesem Beispiel der vorgegebenen Funktion $f(x)$, die tatsächliche Höhe, auf einer geeigneten Skala gemessen, ist eine Stammfunktion $F(x)$.

Wozu braucht man Stammfunktionen?

Die wichtigste Anwendung von Stammfunktionen wird im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung formuliert: Das bestimmte Integral einer Funktion $f$ ist die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion $F$ an den Integralgrenzen:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Zur Berechnung von Stammfunktionen gibt es verschiedene Regeln – analog zu den Ableitungsregeln für Funktionen. Diese Regeln werden dir in anderen Videos erklärt.

Das Video zu Stammfunktionen

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was eine Stammfunktion ist. Du erfährst, wie die Stammfunktion mit der Ableitung zusammenhängt und wie verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion aussehen. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt.

Transkript Stammfunktionen

Fragst du dich auch manchmal, von wem du eigentlich abstammst? Bis zu deinen Großeltern ist ja wahrscheinlich noch alles klar, aber wer waren eigentlich deren Vorfahren? Wo haben sie gelebt? Was haben sie gemacht? Und war eventuell sogar eine berühmte Persönlichkeit unter ihnen? Stammbaumforschung kann echt spannend sein! So, oder so ähnlich kannst du dir auch deine Aufgabe im Matheunterricht das nächste mal schönreden, wenn du „Stammfunktionen“ bestimmen sollst. Denn bei der Bestimmung von Stammfunktionen geht es im Prinzip um genau das. Wir wollen herausfinden, von welchen Funktionen eine gegebene Funktion abstammt. Aber was genau meint „Abstammen“ in diesem Kontext? Um das zu verstehen, gehen wir zunächst einen Schritt zurück und schauen uns nochmal kurz an, wie das aussah, wenn wir Funktionen abgeleitet haben. Wenn wir eine Funktion „f von x“ abgeleitet haben, haben wir die Ableitungsfunktion „f-Strich von x“ genannt. In diesem Sinne stammt also f-Strich von f ab. Jetzt können wir das Ganze aber auch andersherum betrachten und uns überlegen, welche Funktion wir eigentlich ableiten müssen, um „f von x“ zu erhalten. Wir fragen uns also, von welcher Funktion „f von x“ abstammen könnte und nennen eine solche Funktion dann Stammfunktion. Stammfunktionen benennt man üblicherweise mit Großbuchstaben. In unserem Fall wäre das dann „Groß-F von x“. Eine Stammfunktion „Groß-F von x“ der Funktion „f von x“ ist also genau so definiert, dass ihre Ableitung gleich „f von x“ ist. Daher können wir „f von x“ auch als Stammfunktion von „f-Strich von x“ betrachten. Genug Theorie! Wir brauchen ein konkretes Beispiel! Wir betrachten „f von x gleich x Quadrat“. Anstatt diese Funktion jetzt abzuleiten, suchen wir eine Funktion die abgeleitet „x hoch zwei“ ergibt. Das nennen wir „die Funktion integriert“. Da sich beim Ableiten der Exponent um eins verringert, muss die gesuchte Stammfunktion den Exponenten drei haben. Wenn wir „x hoch drei“ ableiten, erhalten wir aber „drei x hoch zwei“. Um diese Drei loszuwerden, multiplizieren wir unsere Stammfunktion noch mit dem Kehrwert von drei – also einem Drittel. Wenn wir diese Funktion jetzt ableiten, kürzen sich drei und ein Drittel weg. Und schon haben wir eine Stammfunktion gefunden. Sprich: Wir haben „f von x“ integriert. Das ist allerdings nicht die einzige Stammfunktion zu unserer Funktion „x Quadrat“. Auch die Funktionen „ein Drittel x hoch drei plus eins“, oder „ein Drittel x hoch drei minus zwei“ sind Stammfunktionen von „f von x“. Denn auch wenn wir diese Funktionen ableiten, erhalten wir wieder „x Quadrat“. Konstanten werden ja beim Ableiten zu Null, fallen also einfach weg. Daher können wir eine beliebige konstante Zahl addieren oder auch subtrahieren. Das Resultat wird immer eine Stammfunktion von „x Quadrat“ sein. Das wird auch deutlich, wenn wir uns die zugehörigen Funktionsgraphen in zwei untereinander liegenden Koordinatensystemen anschauen. „f von x“ gibt als Ableitungsfunktion der Stammfunktionen deren Steigung an jeder beliebigen Stelle wieder. Die Steigung ist erst positiv, dann flacht die Funktion ab, bis die Steigung Null erreicht wird, und schließlich wird die Steigung wieder positiv und immer steiler. Die Steigung von „Groß-F von x“ ändert sich aber nicht, wenn wir die Funktion im Koordinatensystem nach oben oder unten, sprich in y-Richtung verschieben. Und genau das machen wir ja, wenn wir eine beliebige konstante Zahl addieren, beziehungsweise subtrahieren. Umgangssprachlich könnte man sagen: Wie hoch oder tief eine Funktion im Koordinatensystem platziert ist, ist für die Ableitung egal. Diese Information geht durch das Ableiten verloren. Es kommt nur auf die Steigung an. Aus umgekehrter Perspektive kommt daher also auch nicht nur eine Funktion als Stammfunktion in Frage, sondern es gibt eben unendlich viele – die sich alle nur durch eine konstante Zahl unterscheiden. Diese Zahl, auch Integrationskonstante genannt, wird allgemein meistens mit einem c dargestellt. C ist dann eine beliebige, reelle Zahl. Bleibt nur noch eine Frage: Wie berechnen wir denn Stammfunktionen jetzt ganz konkret? Durch Ausprobieren? Zum Glück gibt es – genauso wie beim Ableiten – einige Regeln, an die wir uns halten können. Hier siehst du die wichtigsten schonmal auf einen Blick! Wie genau sie funktionieren und was es mit diesem merkwürdigen Integralzeichen auf sich hat, erfährst du in den entsprechenden Videos. Fürs Erste fassen wir zusammen, was wir über Stammfunktionen gelernt haben. Eine Stammfunktion „Groß-F von x“ zu einer gegebenen Funktion „f von x“ ist so definiert, dass ihre Ableitung gleich „f von x“ ist. Wenn wir eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion bestimmen, nennen wir das „die Funktion integrieren“. Im Gegensatz zum Ableiten, das eindeutig zu einer Ableitungsfunktion führt, kommen beim Integrieren unendlich viele Stammfunktionen in Frage, da wir nichts über Konstanten wissen können, die beim Ableiten wieder wegfallen würden. Eine Funktion hat also unendlich viele Eltern! Unendlich viele Vorfahren haben wir als Menschen zwar nicht, aber dafür unterscheiden sich unsere Vorfahren etwas deutlicher voneinander – jeder einzelne ist ganz besonders!

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