Sinus – Definition

Sinus – Definition Übung

• Gib an, ob die Aussagen richtig sind.

  Tipps

  $\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  Lösung

  Der Sinus gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Im rechtwinkligen Dreieck nennt man die Seite, welche gegenüber des rechten Winkels liegt die Hypotenuse. Der Sinus ist das Längenverhältnis aus der Gegenkathete eines Winkels zur Hypotenuse:

  $\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  Dabei liegt die Gegenkathete gegenüber des genannten Winkels. Für einen $30^\circ$-Winkel beträgt der Sinus immer genau $\frac{1}{2}$.
  Damit ergibt sich bei den Aussagen folgende Unterteilung:

  Richtige Aussagen:

  • Der Sinus gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
  • Der Sinus ist ein Längenverhältnis.
  • Der Sinus bezieht sich immer auf einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck.

  Falsche Aussagen:

  • Der Sinus von $30^\circ$ beträgt immer $0,3$.

  Korrekt wäre: Der Sinus von $30^\circ$ beträgt immer genau $\frac{1}{2}$.

  • Der Sinus verknüpft die Hypotenuse und die Ankathete.

  Korrekt wäre: Der Sinus verknüpft die Hypotenuse und die Gegenkathete.

• Vervollständige die Rechnung zur Bestimmung der Seite $a$.

  Tipps

  Überlege zunächst, was in dem abgebildeten Dreieck die Gegenkathete von $\alpha$ und was die Hypotenuse ist.

  Du kannst die Gleichung umformen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.

  Lösung

  Wir stellen die Gleichung für den Sinus auf und formen diese nach $a$ um:

  $\begin{array}{rrlrr} \sin(\alpha) & = & \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~\alpha}{\text{Hypotenuse}} & & \\ \sin(40^\circ) & = & \dfrac{a}{25~\text{m}} & | \cdot 25~\text{m} & \\ \sin(40^\circ) \cdot 25~\text{m}& = &a & & \\ a & = & \sin(40^\circ) \cdot 25~\text{m} & & \\ a & \approx & 0,64 \cdot 25~\text{m} & & \\ a & \approx & 16~\text{m} & & \\ \end{array}$

  Den Wert für $\sin(40^\circ)$ bestimmen wir dabei mit dem Taschenrechner.

• Bestimme die fehlende Seite.

  Tipps

  $\text{sin}(30^\circ)=\frac{1}{2}$

  Ermittle zunächst, was die Gegenkathete und was die Hypotenuse in dem Dreieck ist.

  Das Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse hat für einen $30^\circ$-Winkel einen ganz bestimmten Wert.

  Lösung

  Der Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

  $\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Er stellt also ein Längenverhältnis dar. Für einen Winkel von $30^\circ$ beträgt dieses Längenverhältnis genau $\frac{1}{2}$.
  Wir können also schreiben:

  $\text{sin}(30^\circ)=\frac{1}{2}$

  Dies bedeutet, dass die Hypotenuse dann immer doppelt so lang ist wie die Gegenkathete. Damit ergibt sich bei den Beispielen:

  Beispiel 1:
  $a= 6 ~\text{cm}$ und $c= 12 ~\text{cm}$

  Beispiel 2:
  $a= 12~ \text{m}$ und $c= 24 ~\text{m}$

  Beispiel 3:
  $a= 9~ \text{cm}$ und $c= 18 ~\text{cm}$

• Stelle die Formel für den Sinus auf.

  Tipps

  Der Sinus bezieht sich immer auf einen bestimmten Winkel. Du musst die Gegenkathete dieses Winkels ermitteln. Sie liegt dem Winkel gegenüber.

  $\sin(\alpha)=\frac{k}{i}$

  Lösung

  Der Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

  $\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des rechten Winkels. In diesem Dreieck ist also $k$ die Hypotenuse.

  Die Gegenkathete liegt immer gegenüber des entsprechenden Winkels:

  • Gegenkathete von $\alpha$ ist $l$
  • Gegenkathete von $\beta$ ist $m$

  Wir können nun in die Formel einsetzen und erhalten:

  $\sin(\alpha)=\frac{l}{k}$

  $\sin(\beta)=\frac{m}{k}$

• Gib die richtigen Bezeichnungen der Seiten im rechtwinkligen Dreieck an.

  Tipps

  Die Gegenkathete liegt gegenüber des zugehörigen Winkels.

  Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

  Die Hypotenuse liegt gegenüber des rechten Winkels.

  Lösung

  Wir nennen die Seite gegenüber des rechten Winkels die Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

  Die anderen beiden Seiten sind die Katheten:

  • Die Seite gegenüber des Winkels $\alpha$ nennen wir Gegenkathete.
  • Die Seite, welche an dem Winkel $\alpha$ anliegt, nennen wir Ankathete.

• Berechne die fehlende Größe.

  Tipps

  Du kannst den Sinus anwenden. Dieser ist das Längenverhältnis aus Gegenkathete durch Hypotenuse.

  Wenn du die Gleichung für den Sinus aufgestellt hast, dann kannst du sie nach der gesuchten Größe umformen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.

  Lösung

  Der Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

  $\text{sin}(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  • Die Hypotenuse liegt immer gegenüber des rechten Winkels.
  • Die Gegenkathete liegt immer gegenüber des entsprechenden Winkels.

  Wir identifizieren also jeweils die Hypotenuse und die Gegenkathete, setzen in die Formel ein und lösen nach der gesuchten Größe auf. Die Sinuswerte können wir bei der Berechnung mit dem Taschenrechner bestimmen.

  Beispiel 1:

  Wir kennen den Winkel $\gamma = 30^\circ$ und seine Gegenkathete $f = 16$.
  Gesucht ist die Hypotenuse $d$.

  $\begin{array}{rcll} \sin(30^\circ) & = & \frac{16}{d} & |\cdot d & \\ \sin(30^\circ) \cdot d & = & 16 & |:\sin(30^\circ) & \\ d & = & \frac{16}{\sin(30^\circ)} && \\ d & = & \frac{16}{0,5} && \\ d & = & 32 && \\ \end{array}$

  Beispiel 2:

  Wir kennen die Hypotenuse $d = 4$ und den Winkel $\gamma = 42^\circ$.
  Gesucht ist $f$, die Gegenkathete von $\gamma$.

  $\begin{array}{rrlrr} \sin(42^\circ) & = & \frac{f}{4} & |\cdot 4 & \\ \sin(42^\circ) \cdot 4 & = & f & & \\ f & = & \sin(42^\circ) \cdot 4 & & \\ f & \approx & 0,67 \cdot 4 & & \\ f & \approx & 2,7 && \\ \end{array}$

  Beispiel 3:

  Wir kennen die Hypotenuse $d = 31$ und den Winkel $\beta= 51^\circ$.
  Gesucht ist $e$, die Gegenkathete von $\beta$.

  $\begin{array}{rrlrr} \sin(51^\circ) & = & \frac{e}{31} & |\cdot 31 & \\ \sin(51^\circ) \cdot 31 & = & e & & \\ e & = & \sin(51^\circ) \cdot 31 && \\ e & \approx & 0,78 \cdot 31 && \\ e & \approx & 24,1 && \\ \end{array}$