30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Sinus – Definition

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Lucy lernt 5 Minuten 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

  • Lucy übt 5 Minuten 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

  • Lucy stellt fragen 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Bewertung

Ø 3.0 / 27 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Sinus – Definition
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Sinus – Definition

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Sinus im rechtwinkligen Dreieck anzuwenden.

Zunächst lernst du, wie der Sinus im rechtwinkligen Dreieck definiert ist. Anschließend lernst du, wie du mit Hilfe des Sinus von Seitenlängen auf Winkelgrößen schließen kannst und andersherum.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Dreieck, rechtwinklig, Winkel, Hypotenuse, Gegenkathete, Ankathete und Sinus.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie ein Dreieck aufgebaut ist und was ein rechter Winkel ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Definition von Cosinus und Tangens zu lernen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Krisztinabalogh, man kann die Werte für den Sinus auch berechnen, indem man Dreiecke mit den entsprechenden Seitenverhältnissen betrachtet. Weil das aber sehr aufwändig ist, ist es einfacher, den Taschenrechner zu verwenden. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor fast 2 Jahren
  2. ohne taschenrechner nicht möglich zu berechnen, oder?

    Von Krisztinabalogh, vor fast 2 Jahren

Sinus – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Sätze zum Sinus in rechtwinkligen Dreiecken.

    Tipps

    Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse.

    Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

    Lösung

    Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse. Für den Winkel $\alpha$ gilt also:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Damit können wir den Sinus für das abgebildete Dreieck wie folgt angeben:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}$
    Für $\alpha =30^\circ$ liefert der Sinus folgenden Wert:

    • $\sin(30^\circ)=\dfrac 12=0,5$
    Das bedeutet, dass die Seite $c$ doppelt so groß ist wie die Seite $a$ des rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

  • Berechne jeweils die gesuchte Größe des rechtwinkligen Dreiecks $\Delta_{ABC}$.

    Tipps

    Der Sinus von $\alpha$ ist für das abgebildete Dreieck wie folgt definiert:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac ac$

    Du kannst diese Beziehung nach der gesuchten Größe umstellen.

    Lösung

    Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse. Damit können wir den Sinus von $\alpha$ für das abgebildete Dreieck wie folgt angeben:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}$
    Mit dieser Beziehung können wir nun die gesuchten Größen berechnen, indem wir jeweils die beiden gegebenen Werte einsetzen und entsprechend umstellen.

    Beispiel 1

    Mit $\alpha =30^\circ$ und $a=13~\text{cm}$ ergibt sich:

    • $c=\dfrac {a}{\sin(\alpha)}=\dfrac {13~\text{cm}}{\sin(30^\circ)}=26~\text{cm}$
    Beispiel 2

    Mit $\alpha =40^\circ$ und $c=10~\text{cm}$ ergibt sich:

    • $a=c\cdot \sin(\alpha)=10~\text{cm}\cdot \sin(30^\circ)\approx 6,4~\text{cm}$
    Beispiel 3

    Mit $a=10~\text{cm}$ und $c=40~\text{cm}$ ergibt sich:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}=\dfrac {10~\text{cm}}{40~\text{cm}}=0,25$
    • $\alpha\approx 14,5^\circ$
  • Bestimme die Hypotenuse sowie die Gegen- und Ankathete der entsprechenden Winkel in den gegebenen Dreiecken.

    Tipps

    Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse, egal, welchen Winkel du betrachtest.

    An dem rechten Winkel liegen die beiden Katheten an.

    Die beiden Winkel, neben dem rechten Winkel, sind jeweils spitze Winkel ($<90^\circ$).

    Jedem spitzen Winkel liegt eine der Katheten gegenüber und eine Kathete liegt am Winkel an.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Dies gilt immer und ist unabhängig davon, welchen Winkel du betrachtest. Die beiden Winkel, neben dem rechten Winkel, sind jeweils spitze Winkel ($<90^\circ$). Jedem spitzen Winkel liegt eine der Katheten gegenüber und eine Kathete liegt am Winkel an (Gegen- bzw. Ankathete).

    In dem grünen Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $i$.

    • Zu dem Winkel $\alpha$ ist $j$ die An- und $k$ die Gegenkathete.
    • Zu dem Winkel $\beta$ ist $k$ die An- und $j$ die Gegenkathete.
    In dem roten Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $d$.
    • Zu dem Winkel $\gamma$ ist $e$ die An- und $f$ die Gegenkathete.
    • Zu dem Winkel $\beta$ ist $f$ die An- und $e$ die Gegenkathete.

  • Ermittle jeweils den Sinus des Winkels.

    Tipps

    Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt.

    Es gilt:

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Lösung

    Es gilt : $~\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Man muss sich also überlegen,

    • welche Seite die Hypotenuse und
    • welche Seite die Gegenkathete eines bestimmten Winkels ist.
    Die Hypotenuse ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, hier also $k$.

    Die Gegenkathete eines Winkels liegt diesem Winkel gegenüber:

    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Seite $l$, also gilt: $~\sin(\alpha)=\frac lk$.
    • Die Gegenkathete von $\beta$ ist die Seite $m$, also gilt: $~\sin(\beta)=\frac mk$.
  • Beschrifte die Seiten in dem Dreieck.

    Tipps

    Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen entweder Hypotenuse oder Kathete.

    Es gibt eine Hypotenuse, welche die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist, und zwei Katheten.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Somit liegt eine Kathete einem spitzen Winkel gegenüber. Dies ist die Gegenkathete. Die andere liegt an diesem Winkel an: die Ankathete.

    Lösung

    Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck nur eine Hypotenuse. Sie liegt stets dem rechten Winkel gegenüber. In dem Bild ist dies die gelbe Seite.

    Es gibt zwei Katheten. In Bezug auf einen der beiden übrigen spitzen Winkel bezeichnet man diese als Gegen- oder Ankathete. Je nachdem, ob sie dem Winkel gegenüberliegen oder direkt am Winkel anliegen.

    Somit ist die grüne Seite die Gegenkathete von $\alpha$ und die Ankathete von $\beta$.

    Die rote Seite ist die Ankathete von $\alpha$ und die Gegenkathete von $\beta$.

  • Prüfe, durch welche Ausdrücke der Sinus von $\alpha$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Du kannst den Winkel $\alpha$ in drei rechtwinkligen Dreiecken finden.

    Suche dir in jedem dieser Dreiecke die Hypotenuse und Gegenkathete von $\alpha$.

    Die neu dazukommenden Seiten erkennst du an den entsprechenden Farben.

    Der Sinus des Winkels $\alpha$ lässt sich auf drei Arten darstellen.

    Lösung

    Es gilt : $~\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Der Winkel $\alpha$ befindet sich in drei rechtwinkligen Dreiecken:

    • Im Dreieck mit den Seiten $a$ (Gegenkathete), $b$ (Hypotenuse) und $c$ (Ankathete) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {a}{b}$.
    • Im Dreieck mit den Seiten $d$ (Gegenkathete), $e$ (Ankathete) und $c$ (Hypotenuse) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {d}{c}$.
    • Im Dreieck mit den Seiten $e$ (Hypotenuse), $f$ (Gegenkathete) und $g$ (Ankathete) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {f}{e}$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

2.590

sofaheld-Level

5.907

vorgefertigte
Vokabeln

10.814

Lernvideos

44.043

Übungen

38.737

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden