30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Sinus – Definition

Bewertung

Ø 3.0 / 25 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Sinus – Definition
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Sinus – Definition

Inhalt

Der Sinus

Was ist der Sinus?

Der Sinus ist eine trigonometrische Funktion, mit der man Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen kann. Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den wichtigsten Bezeichnungen:

Sinus Mathe

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel immer genau gegenüber. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Wenn wir einen Winkel betrachten, können wir die Katheten noch spezifizieren. Die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete des Winkels. Die Seite, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete des Winkels. In unserem Beispiel ist also $a$ die Gegenkathete von $\alpha$ und $b$ ist die Ankathete. Die Seite $c$ ist die Hypotenuse.

Sinus – Definition

Der Sinus ist definiert als das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:

$\text{Sinus eines Winkels} = \frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$

Auf das Dreieck aus unserem Beispiel bezogen ergibt sich also für den Sinus die Formel:

$sin(\alpha)=\frac{a}{c}$

Das wollen wir anhand eines konkreten Beispiels berechnen.

Sinus – Beispiel

Gegeben sind der Winkel $\alpha$ mit $30°$, die Seite $a$ mit einer Länge von $13~\text{cm}$ und die Hypotenuse mit einer Länge von $26~\text{cm}$. Setzen wir alles in die Definition des Sinus ein, erhalten wir:

$\sin30° = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$

Der Sinus von $30°$ ist also $\frac{1}{2}$. Das gilt unabhängig von der Größe des Dreiecks, also der Länge der Seiten. Wir können daher, wenn wir beispielsweise den Winkel und die Länge der Hypotenuse kennen, die fehlende Seite mithilfe des Sinus berechnen.

Haben wir beispielsweise zusätzlich zum Winkel von $30°$ die Hypotenusenlänge von $c=10~\text{cm}$ gegeben, ergibt sich:

$\sin30° = \frac{a}{10~\text{cm}} ~ ~ ~ ~ |\cdot 10~\text{cm}$

$\rightarrow \underbrace{\sin30°}_{=\frac{1}{2}} \cdot 10~\text{cm} = a = 5~\text{cm}$

Je nachdem, welche Größen gegeben sind, kannst du so die fehlenden Größen berechnen. Den Sinus selbst kannst du für gegebene Winkel auch mit dem Taschenrechner berechnen. Andernfalls musst du Dreiecke mit geeigneten Seitenlängen konstruieren.

Dieses Video

In diesem Video erfährst du, was der Sinus ist und wie er definiert ist. Es werden ein paar Beispiele gerechnet und erklärt. Neben diesem Video findest du auch zum Thema Sinus Übungen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Krisztinabalogh, man kann die Werte für den Sinus auch berechnen, indem man Dreiecke mit den entsprechenden Seitenverhältnissen betrachtet. Weil das aber sehr aufwändig ist, ist es einfacher, den Taschenrechner zu verwenden. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor etwa einem Jahr
  2. ohne taschenrechner nicht möglich zu berechnen, oder?

    Von Krisztinabalogh, vor etwa einem Jahr

Sinus – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Sätze zum Sinus in rechtwinkligen Dreiecken.

    Tipps

    Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse.

    Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

    Lösung

    Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse. Für den Winkel $\alpha$ gilt also:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Damit können wir den Sinus für das abgebildete Dreieck wie folgt angeben:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}$
    Für $\alpha =30^\circ$ liefert der Sinus folgenden Wert:

    • $\sin(30^\circ)=\dfrac 12=0,5$
    Das bedeutet, dass die Seite $c$ doppelt so groß ist wie die Seite $a$ des rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

  • Berechne jeweils die gesuchte Größe des rechtwinkligen Dreiecks $\Delta_{ABC}$.

    Tipps

    Der Sinus von $\alpha$ ist für das abgebildete Dreieck wie folgt definiert:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac ac$

    Du kannst diese Beziehung nach der gesuchten Größe umstellen.

    Lösung

    Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse. Damit können wir den Sinus von $\alpha$ für das abgebildete Dreieck wie folgt angeben:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}$
    Mit dieser Beziehung können wir nun die gesuchten Größen berechnen, indem wir jeweils die beiden gegebenen Werte einsetzen und entsprechend umstellen.

    Beispiel 1

    Mit $\alpha =30^\circ$ und $a=13~\text{cm}$ ergibt sich:

    • $c=\dfrac {a}{\sin(\alpha)}=\dfrac {13~\text{cm}}{\sin(30^\circ)}=26~\text{cm}$
    Beispiel 2

    Mit $\alpha =40^\circ$ und $c=10~\text{cm}$ ergibt sich:

    • $a=c\cdot \sin(\alpha)=10~\text{cm}\cdot \sin(30^\circ)\approx 6,4~\text{cm}$
    Beispiel 3

    Mit $a=10~\text{cm}$ und $c=40~\text{cm}$ ergibt sich:

    • $\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c}=\dfrac {10~\text{cm}}{40~\text{cm}}=0,25$
    • $\alpha\approx 14,5^\circ$
  • Bestimme die Hypotenuse sowie die Gegen- und Ankathete der entsprechenden Winkel in den gegebenen Dreiecken.

    Tipps

    Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse, egal, welchen Winkel du betrachtest.

    An dem rechten Winkel liegen die beiden Katheten an.

    Die beiden Winkel, neben dem rechten Winkel, sind jeweils spitze Winkel ($<90^\circ$).

    Jedem spitzen Winkel liegt eine der Katheten gegenüber und eine Kathete liegt am Winkel an.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Dies gilt immer und ist unabhängig davon, welchen Winkel du betrachtest. Die beiden Winkel, neben dem rechten Winkel, sind jeweils spitze Winkel ($<90^\circ$). Jedem spitzen Winkel liegt eine der Katheten gegenüber und eine Kathete liegt am Winkel an (Gegen- bzw. Ankathete).

    In dem grünen Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $i$.

    • Zu dem Winkel $\alpha$ ist $j$ die An- und $k$ die Gegenkathete.
    • Zu dem Winkel $\beta$ ist $k$ die An- und $j$ die Gegenkathete.
    In dem roten Dreieck ist die Hypotenuse die Seite $d$.
    • Zu dem Winkel $\gamma$ ist $e$ die An- und $f$ die Gegenkathete.
    • Zu dem Winkel $\beta$ ist $f$ die An- und $e$ die Gegenkathete.

  • Ermittle jeweils den Sinus des Winkels.

    Tipps

    Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt.

    Es gilt:

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Lösung

    Es gilt : $~\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Man muss sich also überlegen,

    • welche Seite die Hypotenuse und
    • welche Seite die Gegenkathete eines bestimmten Winkels ist.
    Die Hypotenuse ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, hier also $k$.

    Die Gegenkathete eines Winkels liegt diesem Winkel gegenüber:

    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Seite $l$, also gilt: $~\sin(\alpha)=\frac lk$.
    • Die Gegenkathete von $\beta$ ist die Seite $m$, also gilt: $~\sin(\beta)=\frac mk$.
  • Beschrifte die Seiten in dem Dreieck.

    Tipps

    Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen entweder Hypotenuse oder Kathete.

    Es gibt eine Hypotenuse, welche die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist, und zwei Katheten.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Somit liegt eine Kathete einem spitzen Winkel gegenüber. Dies ist die Gegenkathete. Die andere liegt an diesem Winkel an: die Ankathete.

    Lösung

    Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck nur eine Hypotenuse. Sie liegt stets dem rechten Winkel gegenüber. In dem Bild ist dies die gelbe Seite.

    Es gibt zwei Katheten. In Bezug auf einen der beiden übrigen spitzen Winkel bezeichnet man diese als Gegen- oder Ankathete. Je nachdem, ob sie dem Winkel gegenüberliegen oder direkt am Winkel anliegen.

    Somit ist die grüne Seite die Gegenkathete von $\alpha$ und die Ankathete von $\beta$.

    Die rote Seite ist die Ankathete von $\alpha$ und die Gegenkathete von $\beta$.

  • Prüfe, durch welche Ausdrücke der Sinus von $\alpha$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Du kannst den Winkel $\alpha$ in drei rechtwinkligen Dreiecken finden.

    Suche dir in jedem dieser Dreiecke die Hypotenuse und Gegenkathete von $\alpha$.

    Die neu dazukommenden Seiten erkennst du an den entsprechenden Farben.

    Der Sinus des Winkels $\alpha$ lässt sich auf drei Arten darstellen.

    Lösung

    Es gilt : $~\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Der Winkel $\alpha$ befindet sich in drei rechtwinkligen Dreiecken:

    • Im Dreieck mit den Seiten $a$ (Gegenkathete), $b$ (Hypotenuse) und $c$ (Ankathete) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {a}{b}$.
    • Im Dreieck mit den Seiten $d$ (Gegenkathete), $e$ (Ankathete) und $c$ (Hypotenuse) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {d}{c}$.
    • Im Dreieck mit den Seiten $e$ (Hypotenuse), $f$ (Gegenkathete) und $g$ (Ankathete) gilt: $~\sin(\alpha)=\frac {f}{e}$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.833

Lernvideos

44.276

Übungen

38.919

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden