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Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis 07:45 min

Textversion des Videos

Transkript Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis

Hallo! Ich bin Thekla!

In diesem Video möchte ich dir heute die Beziehungen von Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis vorstellen.

Was genau ein Einheitskreis ist, wirst du gleich sehen.

Als Vorwissen solltest du die Verhältnisse von Sinus, Kosinus und Tangens an rechtwinkligen Dreiecken mitbringen.

Zur Wiederholung fasse ich sie dir hier noch einmal zusammen:

Gegeben ist ein rechwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c und den zwei Katheten a und b. Der Winkel Alpha befindet sich HIER. Die Seite a ist die Gegenkathete von alpha und b die Ankathete von alpha.

Es gilt dann: Sinus von Alpha ist gleich die Gegenkathete von alpha durch die Hypotenuse, Kosinus von Alpha ist gleich die Ankathete von alpha durch die Hypotenuse und Tangens von Alpha ist gleich die Gegenkathete von alpha durch die Ankathete von alpha Schauen wir uns nun mal einen Einheitskreis an. Ein Einheitskreis befindet sich in einem Koordinatensystem so, dass sein Mittelpunkt direkt im Koordinatenursprung liegt. Außerdem hat er einen Radius von der Länge 1 - daher der Name!

Der Einheitskreis hat eine besondere Eigenschaft: Eben weil sein Radius 1 beträgt, gilt für alle Punkte P(x|y), dass der x-Wert zum Quadrat plus der y-Wert zum Quadrat immer 1 zum Quadrat, also 1 ergibt, denn wir haben hier immer ein rechtwinkliges Dreieck und können insofern den Satz des Phythagoras anwenden. Betrachten wir das nun der Einfachheit halber für dersten Quadranten:

DIES HIER ist die Hypotenuse des Dreiecks. Sie beträgt 1, da sie dem Radius des Einheitskreises entspricht. Außerdem gilt : Sinus von Alpha ist gleich die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse, also durch 1. Somit können wir hier sagen: Sinus von alpha ist gleich die Gegenkathete von alpha. Mit den gleichen Überlegungen können wir auch beim Kosinus für die Hypotenuse 1 einsetzen und erhalten schließlich: Kosinus von Alpha ist gleich die Ankathete von alpha.

Und wie ist es mit dem Tangens? Dafür müssen wir das Dreieck etwas vergößern, sodass die Ankathete, also DIESE Seite, 1 beträgt. Dann können wir bei der Formel für den Tangens für die Ankathete 1 einsetzen und erhalten: der Tangens von Alpha ist gleich der Gegenkathe DIESES Dreiecks.

Du siehst: Mit Hilfe des Einheitskreises können wir die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens näherungsweise beistimmen, indem wie sie hier einfach ablesen. Lass uns das nun für gegebene Winkel einmal ausprobieren.

Gegeben ist der Winkel alpha gleich 35°. Diesen tragen wir in den Einheitskreis ein. Wir wissen, dass diese Länge Sinus(alpha), diese Länge Kosinus(alpha) ist und diese Länge Tangens(alpha) ist. Nun können wir die Werte ablesen: Sinus von 35° ist ungefähr gleich 0,56 Kosinus von 35°ist ungefähr gleich 0,82 Tangens von35°ist ungefähr gleich 0,68 Natürlich sind die Ergebnisse nur sehr ungenau. Der Taschenrechner liefert die ungefähren Werte 0,5736 für Sinus, 0,8192 für Kosinus und 0,7002 für Tangens von 35°. Du siehst aber, dass unsere abgelesenen Werte schon dicht am eigentlichen Ergebnis liegen. Als nächstes wollen wir die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens bei einem Winkel von 60° näherungsweise bestimmen.

Hier ist also der Tangens von 60°, hier der Sinus und hier der Kosinus von 60°. Wir lesen ab: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,86 Kosinus von 60° ist ungefähr gleich 0,52 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7 Auch das ist wieder sehr ungenau. Der Taschenrechner liefert uns die gerundeten Werte: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,8660 Kosinus von 60° ist gleich 0,5 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7321

Als nächstes wollen wir die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens bei einem Winkel von 60° näherungsweise bestimmen.

Hier ist also der Tangens von 60°, hier der Sinus und hier der Kosinus von 60°. Wir lesen ab: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,86 Kosinus von 60° ist ungefähr gleich 0,52 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7 Auch das ist wieder sehr ungenau. Der Taschenrechner liefert uns die gerundeten Werte: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,8660 Kosinus von 60° ist gleich 0,5 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7321

Auch hier kannst du erkennen, dass die von uns gemessenen Werte ziemlich dicht an den Werten des Taschenrechners liegen.

Aber was passiert, wenn Alpha 0° oder 90° beträgt? Ein rechtwinkliges Dreieck können wir dann nicht mehr zeichnen. Trotzdem kann man mithilfe der Skizze die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens sinnvollerweise ablesen. Nähert sich Alpha 0° an, so nähert sich auch der Sinus dem Wert 0 an. Der Sinus von 0° beträgt 0. Ebenso verhält es sich mit dem Tangens von 0°. Der Kosinus von 0° hingegen beträgt 1.

Nähert sich Alpha 90° an, so erkennen wir, dass der Kosinus von Alpha immer kleiner wird, bis er schließlich bei 90° 0 beträgt. Kosinus von 90° gleich 0. Der Sinus von 90° ist 1. Für den Tangens von 90° können wir jedoch keinen sinnvollen Wert bestimmen, er wird unendlich groß.

Du hast heute Einiges über die Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis gelernt. Lass uns nun alles zusammenfassen. Ein Einheitskreis besitzt einen Radius von einer Längeneinheit. Sein Mittelpunkt befindet sich im Koordinatenursprung. Sinus, Kosinus und Tangens kann man mithilfe des Einheitskreises und eines rechtwinkligen Dreiecks direkt ablesen. Die abgelesenen Werte sind eine gute Annäherung an die exakten Werte. Mir hat es heute sehr viel Spaß gemacht, dir dieses Thema näher zu bringen. Ich freue mich schon sehr auf’s nächste Mal! Tschüss!