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Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis 07:45 min

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Transkript Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis

Hallo! Ich bin Thekla!

In diesem Video möchte ich dir heute die Beziehungen von Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis vorstellen.

Was genau ein Einheitskreis ist, wirst du gleich sehen.

Als Vorwissen solltest du die Verhältnisse von Sinus, Kosinus und Tangens an rechtwinkligen Dreiecken mitbringen.

Zur Wiederholung fasse ich sie dir hier noch einmal zusammen:

Gegeben ist ein rechwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c und den zwei Katheten a und b. Der Winkel Alpha befindet sich HIER. Die Seite a ist die Gegenkathete von alpha und b die Ankathete von alpha.

Es gilt dann: Sinus von Alpha ist gleich die Gegenkathete von alpha durch die Hypotenuse, Kosinus von Alpha ist gleich die Ankathete von alpha durch die Hypotenuse und Tangens von Alpha ist gleich die Gegenkathete von alpha durch die Ankathete von alpha Schauen wir uns nun mal einen Einheitskreis an. Ein Einheitskreis befindet sich in einem Koordinatensystem so, dass sein Mittelpunkt direkt im Koordinatenursprung liegt. Außerdem hat er einen Radius von der Länge 1 - daher der Name!

Der Einheitskreis hat eine besondere Eigenschaft: Eben weil sein Radius 1 beträgt, gilt für alle Punkte P(x|y), dass der x-Wert zum Quadrat plus der y-Wert zum Quadrat immer 1 zum Quadrat, also 1 ergibt, denn wir haben hier immer ein rechtwinkliges Dreieck und können insofern den Satz des Phythagoras anwenden. Betrachten wir das nun der Einfachheit halber für dersten Quadranten:

DIES HIER ist die Hypotenuse des Dreiecks. Sie beträgt 1, da sie dem Radius des Einheitskreises entspricht. Außerdem gilt : Sinus von Alpha ist gleich die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse, also durch 1. Somit können wir hier sagen: Sinus von alpha ist gleich die Gegenkathete von alpha. Mit den gleichen Überlegungen können wir auch beim Kosinus für die Hypotenuse 1 einsetzen und erhalten schließlich: Kosinus von Alpha ist gleich die Ankathete von alpha.

Und wie ist es mit dem Tangens? Dafür müssen wir das Dreieck etwas vergößern, sodass die Ankathete, also DIESE Seite, 1 beträgt. Dann können wir bei der Formel für den Tangens für die Ankathete 1 einsetzen und erhalten: der Tangens von Alpha ist gleich der Gegenkathe DIESES Dreiecks.

Du siehst: Mit Hilfe des Einheitskreises können wir die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens näherungsweise beistimmen, indem wie sie hier einfach ablesen. Lass uns das nun für gegebene Winkel einmal ausprobieren.

Gegeben ist der Winkel alpha gleich 35°. Diesen tragen wir in den Einheitskreis ein. Wir wissen, dass diese Länge Sinus(alpha), diese Länge Kosinus(alpha) ist und diese Länge Tangens(alpha) ist. Nun können wir die Werte ablesen: Sinus von 35° ist ungefähr gleich 0,56 Kosinus von 35°ist ungefähr gleich 0,82 Tangens von35°ist ungefähr gleich 0,68 Natürlich sind die Ergebnisse nur sehr ungenau. Der Taschenrechner liefert die ungefähren Werte 0,5736 für Sinus, 0,8192 für Kosinus und 0,7002 für Tangens von 35°. Du siehst aber, dass unsere abgelesenen Werte schon dicht am eigentlichen Ergebnis liegen. Als nächstes wollen wir die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens bei einem Winkel von 60° näherungsweise bestimmen.

Hier ist also der Tangens von 60°, hier der Sinus und hier der Kosinus von 60°. Wir lesen ab: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,86 Kosinus von 60° ist ungefähr gleich 0,52 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7 Auch das ist wieder sehr ungenau. Der Taschenrechner liefert uns die gerundeten Werte: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,8660 Kosinus von 60° ist gleich 0,5 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7321

Als nächstes wollen wir die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens bei einem Winkel von 60° näherungsweise bestimmen.

Hier ist also der Tangens von 60°, hier der Sinus und hier der Kosinus von 60°. Wir lesen ab: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,86 Kosinus von 60° ist ungefähr gleich 0,52 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7 Auch das ist wieder sehr ungenau. Der Taschenrechner liefert uns die gerundeten Werte: Sinus von 60° ist ungefähr gleich 0,8660 Kosinus von 60° ist gleich 0,5 und Tangens von 60° ist ungefähr gleich 1,7321

Auch hier kannst du erkennen, dass die von uns gemessenen Werte ziemlich dicht an den Werten des Taschenrechners liegen.

Aber was passiert, wenn Alpha 0° oder 90° beträgt? Ein rechtwinkliges Dreieck können wir dann nicht mehr zeichnen. Trotzdem kann man mithilfe der Skizze die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens sinnvollerweise ablesen. Nähert sich Alpha 0° an, so nähert sich auch der Sinus dem Wert 0 an. Der Sinus von 0° beträgt 0. Ebenso verhält es sich mit dem Tangens von 0°. Der Kosinus von 0° hingegen beträgt 1.

Nähert sich Alpha 90° an, so erkennen wir, dass der Kosinus von Alpha immer kleiner wird, bis er schließlich bei 90° 0 beträgt. Kosinus von 90° gleich 0. Der Sinus von 90° ist 1. Für den Tangens von 90° können wir jedoch keinen sinnvollen Wert bestimmen, er wird unendlich groß.

Du hast heute Einiges über die Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis gelernt. Lass uns nun alles zusammenfassen. Ein Einheitskreis besitzt einen Radius von einer Längeneinheit. Sein Mittelpunkt befindet sich im Koordinatenursprung. Sinus, Kosinus und Tangens kann man mithilfe des Einheitskreises und eines rechtwinkligen Dreiecks direkt ablesen. Die abgelesenen Werte sind eine gute Annäherung an die exakten Werte. Mir hat es heute sehr viel Spaß gemacht, dir dieses Thema näher zu bringen. Ich freue mich schon sehr auf’s nächste Mal! Tschüss!

3 Kommentare
  1. @Nadinescheifele:
    Ja, die Hypothenuse ist beim Einheitskreis immer 1. Denn sie ist immer der Radius des Kreises und der wurde festgelegt, dass er 1 lang ist.

    Viel Erfolg beim lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 5 Monaten
  2. Beträgt die Hypotenuse beim Einheitskreis immer 1?

    Von Nadinescheifele, vor 5 Monaten
  3. .

    Von Cristiano M., vor 10 Monaten

Videos im Thema

Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis (1 Videos)

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Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige auf, wie Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck definiert sind.

    Tipps

    Der Tangens ist über die beiden Katheten definiert.

    Der Sinus und der Kosinus sind jeweils über eine Kathete sowie die Hypotenuse definiert.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck sind für einen spitzen Winkel $\alpha$ der Sinus, der Kosinus und der Tangens wie folgt definiert:

    1. $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    2. $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    3. $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$
    Ebenso können diese Funktionen für den Winkel $\beta$ definiert werden.

  • Beschrifte die Seiten mit Sinus, Kosinus und Tangens.

    Tipps

    Verwende die folgenden Definitionen

    1. $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    2. $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    3. $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

    Die Hypotenuse ist der Radius des Einheitskreises und hat somit die Länge $1$.

    Der Tangens ist in dem größeren Dreieck definiert.

    Lösung

    Hier ist ein Einheitskreis zu sehen. Der Mittelpunkt des Kreises befindet sich im Koordinatenursprung und der Radius dieses Kreises beträgt $r=1$. Daher kommt der Name.

    Die trigonometrischen Funktionen sind für einen spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wie folgt definiert:

    1. $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    2. $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    3. $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$
    Die Hypotenuse ist in dem Einheitskreis gerade $1$, somit ist
    • $\sin(\alpha)=$ Gegenkathete von $\alpha$ sowie
    • $\cos(\alpha)=$ Ankathete von $\alpha$.
    • Der Tangens ist in dem größeren Dreieck die Gegenkathete von $\alpha$, da die Ankathete in diesem Dreieck die Länge $1$ hat.

  • Bestimme Sinus, Kosinus und Tangens von $0^\circ$ sowie $90^\circ$.

    Tipps

    Stelle dir vor, dass $\alpha$ immer kleiner wird und schließlich gegen $0^\circ$ geht:

    Was passiert mit der Gegenkathete und was mit der Ankathete?

    Der Tangens ist definiert als die Gegenkathete dividiert durch die Ankathete.

    • Wenn die Gegenkathete $0$ ist, ist auch der Tangens $0$.
    • Wenn die Ankathete $0$ ist, ist der Tangens nicht definiert.

    Stelle dir vor, dass $\alpha$ immer grüßer wird und schließlich gegen $90^\circ$ geht:

    Was passiert mit der Gegenkathete und was mit der Ankathete?

    Lösung

    Auch wenn die trigonometrischen Funktionen für spitze Winkel im rechtwinkligen Dreieck definiert sind, kann man sich die Werte für die beiden Winkel $0^\circ$ und $90^\circ$ am Einheitskreis klarmachen.

    $0^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ immer kleiner wird und schließlich $0^\circ$ wird, wird auch die Gegenkathete immer kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\sin(0^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Ankathete immer länger und schließlich $1$, also ist $\cos(0^\circ)=1$. Da der Tangens die Gegenkathete in dem größeren Dreieck ist, ist auch $\tan(0^\circ)=0$.

    $90^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ immer größer wird und schließlich $90^\circ$ wird, wird die Ankathete immer kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\cos(90^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Gegenkathete immer länger und schließlich $1$, also ist $\sin(90^\circ)=1$. Der Tangens, die Gegenkathete in dem größeren Dreieck, wird immer größer und geht gegen unendlich. Das bedeutet, dass der Tangens für $90^\circ$ nicht bestimmt werden kann.

  • Untersuche die folgenden Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus.

    Tipps

    Für jeden der Punkte $P(x|y)$ auf dem Einheitskreis gilt nach dem Satz des Pythagoras $x^2+y^2=1$.

    Stelle dir das kleine Dreieck gespiegelt an der x-Achse vor. Der Winkel des gespiegelten Dreiecks entspricht dann $-\alpha$.

    Überlege dir, wie $sin(\alpha)$ und $sin(-\alpha)$ zueinander im Verhältnis stehen.

    Die beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind symmetrisch.

    Lösung

    Da der Sinus und der Kosinus des Winkels $\alpha$ die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $r=1$ sind, gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

    Dies ist der sogenannte „trigonometrische Pythagoras“.

    Wenn man den Winkel $\alpha$ an der x-Achse spiegelt, erhält man

    • $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$, also Punktsymmetrie, sowie
    • $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$, also Achsensymmetrie.
    Diese Spiegelung entspricht der Spiegelung des oben eingezeichneten Dreiecks an der x-Achse. Der Kosinus bleibt erhalten, der Sinus wird ebenfalls gespiegelt.

  • Vervollständige die Tabelle der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte.

    Tipps

    Zeichne dir einen Einheitskreis und überlege, was mit der Gegen- und Ankathete geschieht, wenn der Winkel $\alpha$ immer näher gegen die beiden Winkel $180^\circ$ und $270^\circ$ geht.

    Beachte auch das Vorzeichen.

    Für jeden Punkt $P(x|y)$ auf dem Rand des Einheitskreises gilt

    $x^2+y^2=1$.

    Wenn der Sinus den Wert $0$ hat, hat auch der Tangens den Wert $0$.

    Wenn der Kosinus den Wert $0$ hat, ist der Tangens nicht definiert (n.d.).

    Lösung

    Ähnlich wie für die beiden Winkel $0^\circ$ sowie $90^\circ$ kann man bei $180^\circ$ und $270^\circ$ argumentieren. Die Werte für $360^\circ$ sind ja bereits eingetragen und ergeben sich daraus, dass $360^\circ$ dem Winkel $0^\circ$ entspricht, da der Winkel im gesamten Kreis $360^\circ$ beträgt.

    $180^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ über $90^\circ$ hinaus sich der gegen $180^\circ$ verändert, wird die Gegenkathete immer kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\sin(180^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Ankathete immer länger, im negativen Bereich, und schließlich $-1$. Dies kann man sicher nicht mehr als Länge der Gegenkathete verstehen. Also ist $\cos(180^\circ)=-1$. Da der Tangens die Gegenkathete in dem größeren Dreieck ist, ist auch $\tan(180^\circ)=0$.

    $270^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ noch größer und schließlich $270^\circ$ wird, wird die Ankathete wieder kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\cos(270^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Gegenkathete immer länger im negativen Bereich und schließlich $-1$. Auch dies ist wiederum nicht als Länge der Gegenkathete zu verstehen. Also ist $\sin(270^\circ)=-1$. Der Tangens, die Gegenkathete in dem größeren Dreieck, wird immer größer im negativen Bereich und geht gegen negativ unendlich. Das bedeutet, dass der Tangens für $270^\circ$ nicht bestimmt werden kann.

  • Arbeite die näherungsweisen Werte für Sinus, Kosinus und Tangens von $45^\circ$ heraus.

    Tipps

    Der Sinus ist die Gegenkathete und der Kosinus die Ankathete.

    Da der Winkel $45^\circ$ beträgt, muss dies auch für den fehlenden spitzen Winkel gelten.

    Der Tangens ist so gut ablesbar, dass man auch getrost das Gleichheitszeichen verwenden kann. Du kannst auch argumentieren, dass das große Dreieck gleichschenklig ist, da der Tangens als Quotient aus der Gegen- und Ankathete definiert ist und diese gleich groß sind.

    Lösung

    Zunächst macht man sich klar, welche der Seiten in welchem Dreieck dem Sinus, welche dem Kosinus und welche dem Tangens entsprechen.

    Sinus: Dies ist die Gegenkathete in dem kleinen Dreieck, blau eingezeichnet.

    Der Wert liegt sicher zwischen $0,6$ und $0,8$ recht genau in der Mitte, also ist $\sin(45^\circ)\approx 0,7$. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

    $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}2\approx0,707$.

    Kosinus Da für $\alpha=45^\circ$ auch der fehlende andere spitze Winkel $45^\circ$ nach dem Winkelsummensatz betragen muss, ist das Dreieck gleichschenklig und somit $\cos(45^\circ)\approx 0,7$. Dies kann man auch in der Skizze ablesen. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

    $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt2}2\approx0,707$.

    Tangens Der Tangens ist recht gut zu erkennen $\tan(45^\circ)=1$.

    Übrigens: Es gilt $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.