Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (7)

Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (7) Übung

• Bestimme die Winkelfunktion, welche zur Berechnung der fehlenden Seite verwendet wird.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es eine Hypotenuse und zwei Katheten.

  Die Hypotenuse ist die längste Seite in dem Dreieck.

  Mit Bezug zu einem spitzen Winkel spricht man bei den Katheten von Gegen- und Ankathete.

  Der Tangens ist über ein Seitenverhältnis der Katheten definiert.

  Sowohl beim Sinus als auch beim Kosinus spielt für das Seitenverhältnis eine der Katheten sowie die Hypotenuse eine Rolle.

  Lösung

  Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel und eine Seite gegeben sind sowie eine weitere Seite gesucht, kann man Sinus oder Kosinus oder Tangens verwenden.

  Zum Beispiel im obigem Dreieck ist der Winkel $25^\circ$ gegeben sowie die Länge der Hypotenuse. Die Länge der Gegenkathete des Winkels ist gesucht.

  Welche trigonometrische Funktion wird verwendet?

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels definiert als das Verhältnis der Gegenkathete dieses Winkels zur Hypotenuse.

  Somit verwendet man bei obigem Dreieck den Sinus.

• Berechne die Länge der fehlenden Seite.

  Tipps

  Durch das Aufstellen der trigonometrischen Funktion, welche das Seitenverhältnis beschreibt, erhältst du eine Gleichung.

  In der Gleichung steht die unbekannte Größe im Zähler.

  Beachte beim Rechnen mit trigonometrischen Funktionen, dass dein Taschenrechner auf DEG für Winkelmaß eingestellt ist.

  Lösung

  Da die Hypotenuse sowie der Winkel bekannt sind und die Länge der Gegenkathete des gegebenen Winkels unbekannt, kann mit Hilfe der Definition des Sinus die folgende Gleichung hergeleitet werden:

  $\sin(25^\circ)=\frac G{15}$.

  Die Unbekannte steht auf der rechten Seite im Zähler. Durch Multiplikation mit $15$ erhält man

  $G=\sin(25^\circ)\cdot15$.

  Dies kann in den Taschenrechner eingegeben werden. Dieser muss hierfür auf DEG eingestellt sein:

  $G\approx6,34$.

  Die Gegenkathete hat die Länge $6,34~cm$.

• Beschrifte die Seiten in dem rechtwinkligen Dreieck.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es eine Hypotenuse; diese liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  Es gibt zwei Katheten. Diese liegen am rechten Winkel an.

  Die Kathete, welche einem Winkel gegenüber liegt, heißt Gegenkathete. Diejenige Kathete, welche am Winkel anliegt, heißt Ankathete.

  Die Gegenkathete des einen Winkels ist die Ankathete des anderen Winkels und umgekehrt.

  Lösung

  In diesem Dreieck gibt es einen rechten Winkel, welchen man an dem Viertelkreis mit eingeschriebenen Punkt erkennt. Diesem Winkel gegenüber liegt die Hypotenuse.

  Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

  Die beiden spitzen Winkel sind mit $\alpha$ und $\beta$ bezeichnet.

  Zu jedem der beiden Winkel gehört eine Kathete, welche dem Winkel gegenüber liegt: Die Gegenkathete. Diejenige Kathete, welche an dem Winkel anliegt, heißt Ankathete.

• Berechne die Länge der fehlenden Seite.

  Tipps

  Die Rechnungen kannst du alle ohne Längeneinheiten durchführen.

  Vergiss bitte nicht die Einheiten beim Antwortsatz.

  Der Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete dieses Winkels zur Hypotenuse.

  Beachte: Wenn du mit den trigonometrischen Funktionen und Winkeln an deinem Taschenrechner rechnest, muss dieser auf DEG für Winkelmaß eingestellt sein.

  Lösung

  Bekannt ist ein spitzer Winkel $65^\circ$ sowie die Länge der zugehörigen Gegenkathete $12~cm$ in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse. Hier muss die Definition des Sinus verwendet werden:

  $\sin(65^\circ)=\frac {12}x$.

  Die Unbekannte steht hier im Nenner. Deshalb multipliziert man mit dieser Unbekannten:

  $\sin(65^\circ)\cdot x=12$.

  Durch Division durch $\sin(65^\circ)$ erhält man

  $x=\frac{12}{\sin(65^\circ)}$.

  Dies kann in den Taschenrechner eingegeben werden, und man erhält

  $x\approx 13,24$.

  Die Hypotenuse hat die Länge $13,24~cm$.

• Fasse wichtige Eigenschaften in dem rechtwinkligen Dreieck zusammen.

  Tipps

  Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

  Die Hypotenuse wird sowohl in der Definition des Sinus als auch des Kosinus verwendet.

  Der Tangens ist über das Seitenverhältnis der Katheten erklärt.

  Lösung

  Was zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck aus?

  • Es hat einen rechten Winkel.
  • Die beiden übrigen Winkel sind spitze Winkel.
  • Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite des Dreiecks: Die Hypotenuse.
  • Die beiden anderen Seiten bezeichnet man als Katheten. Im Bezug zu einem Winkel $\alpha$ bezeichnet man die Kathete, welche dem Winkel gegenüber liegt, als Gegenkathete und diejenige, welche an dem Winkel anliegt, als Ankathete.

  Diese Bezeichnungen gelten nur in rechtwinkligen Dreiecken.

  Mit Hilfe von Seitenverhältnissen werden die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens definiert:

  • $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

• Ermittle die Länge des Schattens.

  Tipps

  Fertige eine Skizze an. Diese muss nicht maßstabgetreu sein.

  Die Größe von Paul ist die Gegenkathete.

  Du verwendest hier die Definition des Tangens:

  Dieser ist erklärt als das Verhältnis der Gegenkathete eines Winkels zur Ankathete.

  Die zu lösende Gleichung lautet

  $\tan(18^\circ)=\frac{1,84}x$.

  Lösung

  Eine mögliche Skizze könnte so wie diese aussehen:

  Die Größe von Paul ist die Gegenkathete des Winkels $18^\circ$. Die Länge des Schattens $x$ die Ankathete.

  Somit erhält man die Gleichung

  $\tan(18^\circ)=\frac{1,84}x$.

  Durch Multiplikation mit $x$ und Division durch $\tan(18^\circ)$ erhält man

  $x=\frac{1,84}{\tan(18^\circ)}$.

  Diese Werte können nun in den Taschenrechner eingegeben werden:

  Der Schatten hat die Länge $5,66~m$.