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Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (4)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (4)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (4)

Willkommen zu meinem vierten Video in der achtteiligen Videoserie zur Trigonometrie, in der ich Aufgaben zu Sinus, Cosinus und Tangens vorstellen möchte. Ich möchte hier nun eine Aufgabe zum Cosinus stellen. Der Winkel, der von Ankathete und Hypotenuse eingeschlossen wird, beträgt 60 Grad. Wir wissen außerdem, dass die Ankathete 16 cm lang ist. Gesucht ist nun die Seitenlänge der Hypotenuse. Dazu rechnest du Ankathete / Hypotenuse = cos ( alpha ). Nun musst du lediglich die uns bekannten Werte einsetzen und die Gleichung nach der Hypotenuse auflösen.

Transkript Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (4)

Hallo, hier kommt eine klitzekleine Anwendungsaufgabe zum Kosinus. Wir wissen, dass der Kosinus definiert ist als Ankathete, hier abgekürzt AK/H (Hypotenuse). Wir haben nun hier ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen und wissen, das dieser Winkel = 60° ist. Und wir wissen, das diese grüne Seite, also die Ankathete, das ist ja die Seite, die an diesem Winkel hier dranliegt, die ist = 16 cm. Und wir können jetzt aus diesen Angaben ausrechnen, wie groß die Hypotenuse ist. Und das geht so: Wir kennen das Seitenverhältnis von Ankathete zur Hypotenuse. Wenn der Winkel 60° ist. Dieses Seitenverhältnis ist = 1/2. Wahlweise kann man auch sagen einhalb. Es ist auch 0,5 oder was immer du dazu auch sagen willst. Also es muss natürlich den Wert 1/2 haben. Das ist schon mal klar. Egal wie lang hier die grüne Seite ist, die Ankathete, wir wissen, Ankathete geteilt durch Hypotenuse ist gleich 1/2. Wenn wir jetzt wissen, dass die Ankathete gleich 16 cm ist, dann ist die Frage wie groß ist die Hypotenuse. Oder wie lang ist die Hypotenuse. Da es sich hier wieder um außerordentlich einfache Zahlen handelt, kann man natürlich gleich sehen, na ja, wenn das Verhältnis hier 1 zu 2 ist, dann muss der Nenner doppelt so groß sein wie der Zähler. Das x muss doppelt so groß sein wie 16 und das ist dann 32. Wenn es so einfach ist, kann man es ablesen. Normalerweise sind die Seitenverhältnisse, die Zahlen die hier rauskommen, nicht so einfach. Und da darf man auch gerne rechnen. Und zwar sagt man sich einfach, o. k., ich schreibe das hier ab, das Ding hier mit dem x, das nennt sich Gleichung übrigens. Und das ist eine Gleichung mit einer Variabel und da darf man auch gerne lösen. Es handelt sich um eine Bruchgleichung, wir müssen uns überlegen welche Zahlen dürfen wir für x nicht einsetzen. Denn das x befindet sich ja im Nenner. Der Nenner soll nicht 0 werden. Der Nenner hier wird 0, wenn x=0 ist. Dieser Wert interessiert uns sowieso nicht, den können wir ausschließen. Denn wenn hier die Hypotenuse 0 werden sollte, dann ist ja das Dreieck gar nicht mehr da. Dann haben wir gar kein Dreieck. Und deshalb kann uns das also auch egal sein. Bruchgleichungen löst man, indem man sich zunächst mal um den Nenner kümmert. Das x muss aus dem Nenner raus, hier haben wir nur einen Nenner und deshalb kann man jetzt mit x multiplizieren. Dann steht auf der linken Seite 1/2×x, auf der rechten Seite wird das x gekürzt, wir können ja kürzen, da es nicht 0 ist. Also kommt hier 16 raus. Jetzt kann ich weiter umformen. Und ×2 rechnen. Ja ich kann auch durch 1/2 teilen, aber man teilt ja durch Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. So hier geht es weiter, das darf ich noch eben abtrennen. 2×1/2×x, so kann man das auch sagen, wäre eh egal gewesen. Das ist =x. 16×2=32 und es ist das rausgekommen, was zu vermuten war. Wir hatten das ja schon mit dem Sinus ausgerechnet. Da kam ja dann auch für die Hypotenuse 32 raus. Also ich wollte hier nur zeigen, wie man so was rechnet, die Sache ist hier sehr überschaubar. Normalerweise ist es nicht so. Und dann musst du halt ganz vernünftig diese Rechnung hier durchführen. Und zwar genau die Rechnung, die ich jetzt vorgemacht habe. Dann viel Spaß mit den weiteren Aufgaben. Bis bald, tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. bei minute 2.10 "16= 6" hehe

    Von J.Kamali, vor etwa 2 Jahren

Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (4) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (4) kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Gleichung auf, mit welcher die Länge der Hypotenuse berechnet werden kann.

    Tipps

    Wenn du den Kosinuswert eines Winkels mit deinem Taschenrechner berechnet möchtest, musst du diesen auf DEG für Winkelmaß einstellen.

    Der Sinus ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

    Trage in der Definition des Kosinus die bekannten Größen ein.

    Lösung

    In dem abgebildeten Dreieck ist die Hypotenuse rot und die Ankathete von $\alpha$ grün gezeichnet. Die Länge der Ankathete beträgt $16~cm$ und der Winkel ist gegeben durch $\alpha=60^\circ$. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse.

    Der Kosinus ist definiert als Ankathete geteilt durch die Hypotenuse.

    $cos(60^\circ) =\frac12 = \frac {16}x$

    Somit erhält man die Gleichung

    $\frac12=\frac{16}x$,

    dabei ist $x$ die unbekannte Länge der Hypotenuse.

  • Berechne die Länge der Hypotenuse.

    Tipps

    Beachte, dass die Unbekannte $x$ im Nenner steht.

    Man darf davon ausgehen, dass $x\neq0$ gilt. Ansonsten würde kein Dreieck vorliegen.

    Statt durch einen Bruch zu teilen, kannst du auch mit dem Kehrwert multiplizieren.

    Denke bitte immer daran, am Ende einer Aufgabe einen Antwortsatz zu formulieren.

    Beim Rechnen kannst du die Einheiten weglassen, beim Antwortsatz sollst du die Einheiten wieder verwenden.

    Lösung

    • Bei den gegebenen Größen: die Länge der Ankathete von $\alpha$ $16~cm$ sowie $\alpha=60^\circ$
    • und der gesuchten Größe $x$ der Länge der Hypotenuse
    kommt man zu der Gleichung $\frac12=\frac{16}x$.

    Die Unbekannte steht im Nenner. Deshalb muss man mit dieser multiplizieren. Man darf voraussetzen, dass $x\neq0$ gilt, da ansonsten kein Dreieck vorliegen würde.

    $\frac12\cdot x=16$.

    Nun kann man auf beiden Seiten mit $2$ multiplizieren und erhält

    $x=16\cdot2=32$.

    Die gesuchte Länge der Hypotenuse beträgt somit $32~cm$.

  • Gib für jedes der gezeigten Dreiecke das Seitenverhältnis an, welches den Kosinus beschreibt.

    Tipps

    Der Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete dieses Winkels zur Hypotenuse.

    Mache dir in jedem der Dreiecke klar, welche Seite die Gegenkathete ist.

    Die Hypotenuse steht jeweils bei allen Antwortalternativen im Nenner.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Lösung

    Der Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete dieses Winkels zur Hypotenuse.

    Bei jeder der Antwortalternativen ist der Nenner, die Hypotenuse, korrekt.

    Im Dreieck in der nebenstehenden Abbildung ist $b$ die Ankathete von $\alpha$. Damit ist $\cos(\alpha)=\frac bc$.

    Im zweiten Dreieck ist $f$ die Ankathete von $\beta$. Damit ist $\cos(\beta)=\frac fd$.

    Im dritten Dreieck ist nach dem Winkel gefragt und das Seitenverhältnis gegeben: Es gilt, dass $m$ die Ankathete von $\alpha$ ist. Damit ist $\cos(\alpha)=\frac mk$.

  • Berechne die Länge der fehlenden Seite.

    Tipps

    Der Kosinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis der Ankathete dieses Winkels zu der Hypotenuse.

    Rechne mit den Taschenrechner-genauen Werten. Du erhältst ein ganzzahliges Ergebnis.

    Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf DEG für Winkelmaß eingestellt ist.

    Lösung

    Hier sind die Ankathete $a=\sqrt2$ sowie der Winkel $45^\circ$ bekannt. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse. Wenn die Hypotenuse vorkommen soll, kann es sich nur um den Sinus oder den Kosinus handeln. Da hier auch noch die Ankathete betrachtet wird, wird die Definition des Kosinus verwendet:

    $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt2}d$.

    Die Unbekannte steht im Nenner: Es wird die gesamte Gleichung mit der Unbekannten multipliziert und durch $\cos(45^\circ)$ dividiert zu

    $d=\frac{\sqrt2}{\cos(45^\circ)}$.

    Wenn man diesen Bruch in den Taschenrechner (Wichtig: der Taschenrechner muss auf DEG für Winkelmaße eingestellt sein.) eingibt, erhält man $d=2$.

    Dies hätte man auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen können, da auch der andere Winkel in diesem Dreieck $45^\circ$ beträgt und somit die andere Kathete ebenfalls die Länge $\sqrt2$ hat.

  • Gib das Seitenverhältnis an, welches den Kosinus definiert.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt ein Winkel $90^\circ$. Die beiden übrigen Winkel sind spitze Winkel.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite in dem Dreieck.

    Zu jedem spitzen Winkel gehört

    • eine Gegenkathete, sie liegt dem Winkel gegenüber, und
    • eine Ankathete, sie liegt am rechten Winkel an.

    Lösung

    Der Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Längen der Ankathete dieses Winkels zu der Hypotenuse:

    $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  • Prüfe, welche der Seitenverhältnisse den Kosinus von $\alpha$ angeben.

    Tipps

    Du kannst den Winkel $\alpha$ in drei rechtwinkligen Dreiecken finden.

    Mache dir in jedem dieser Dreiecke die Hypotenuse und Ankathete von $\alpha$ klar.

    Die neu dazukommenden Seiten erkennst du an den entsprechenden Farben.

    Der Kosinus des Winkels $\alpha$ lässt sich auf drei Arten darstellen.

    Lösung

    Der Winkel $\alpha$ befindet sich in drei rechtwinkligen Dreiecken:

    • In dem mit den Seiten $a$, $b$ (Hypotenuse) und $c$ (Ankathete): Somit ist
    $\cos(\alpha)=\frac cb$.

    • In dem mit den Seiten $d$, $e$ (Ankathete) und $c$ (Hypotenuse): Somit ist
    $\cos(\alpha)=\frac ec$.

    • In dem mit den Seiten $e$ (Hypotenuse), $f$ und $g$ (Ankathete): Somit ist
    $\cos(\alpha)=\frac ge$.

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