Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen

Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen Übung

• Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen.

  Tipps

  Um Schnittpunkte von Funktionen zu berechnen, müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

  Das Gleichsetzen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ führt zu einer quadratischen Gleichung.

  Quadratische Gleichungen $x^2+px+q=0$ werden mit der p-q-Formel gelöst:

  $x_{1/2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2 \right)^2-q}$.

  Lösung

  Um Schnittpunkte von Funktionen zu berechnen, werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt:

  $\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ x^2&=\frac12x^2-2x+2\frac12 \end{align*}$

  Diese quadratische Gleichung kann nun so umgeformt werden, dass die p-q-Formel anwendbar ist:

  $\begin{align*} x^2&=\frac12x^2-2x+2\frac12 &|& -x^2\\ 0&=-\frac12x^2-2x+2\frac12 &|& \cdot(-2)\\ 0&=x^2+4x-5. \end{align*}$

  Nun kann die p-q-Formel angewendet werden mit $p=4$ und $q=-5$:

  $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac 42 ± \sqrt{\left(\frac 42 \right)^2-(-5)}\\ &=-2± \sqrt{9}\\ x_1&=-2+3=1\\ x_2&=-2-3=-5. \end{align*}$

  Die y-Koordinaten der Schnittpunkte erhält man durch Einsetzen der x-Koordinaten in einer der beiden Funktionsgleichungen.

  • $y_1=1^2=1$, also $S_1(1|1)$ und
  • $y_2=(-5)^2=25$, also $S_2=(-5|25)$.

  Zur Berechnung des Schnittwinkels sind die y-Koordinaten nicht wichtig.

• Gib den Schnittwinkel der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ in $x_s=1$ an.

  Tipps

  Ein Steigungswinkel ist ein positiver Winkel.

  Der Taschenrechner gibt bei der Umkehrung des Tangens Winkel zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ aus.

  Im Falle eines negativen Winkels wird dieser zu $180^\circ$ addiert.

  Beachte, dass beim Rechnen mit Winkeln der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

  Die Steigung der Tangente auf dem Graphen einer Funktion an der Stelle $x_0$ ist die 1. Ableitung, ausgewertet an dieser Stelle.

  Durch die Umkehrung des Tangens erhält man den Steigungswinkel. So ist $\beta=\arctan(1)≈45^\circ$.

  Lösung

  Um einen Schnittwinkel von zwei Funktionen zu berechnen, müssen

  • zunächst die Steigungen der Tangenten dieser beiden Funktionen im Schnittpunkt
  • und damit die jeweiligen Steigungswinkel berechnet werden.
  • Der Schnittwinkel ist die Differenz aus dem größeren und dem kleineren dieser Steigungswinkel, sofern diese bereits kleiner oder gleich $90^\circ$ sind, ansonsten addieren wir $180^\circ$. Es existieren immer 2 Winkel, welche von den Tangenten eingeschlossen werden. Die Summe dieser beiden Winkel ist $180^\circ$. Unter dem Schnittwinkel wird immer der spitze (kleinere) der beiden Winkel verstanden.
  • Die Steigung der Funktion $f(x)$ mit der Ableitung $f'(x)=2x$ an der Stelle $x_s=1$ ist $m_f=2$. Durch die Umkehrung des Tangens erhält man den Steigungswinkel $\beta=\arctan(2)≈63,4^\circ$.
  • Die Steigung der Funktion $g(x)$ mit der Ableitung $g'(x)=x-2$ an der Stelle $x_s=1$ ist $m_f=-1$. Durch die Umkehrung des Tangens erhält man den Winkel $\gamma=\arctan(-1)≈-45^\circ$. Dies ist nicht der gesuchte Steigungswinkel, da er negativ ist. Der Steigungswinkel ist $\gamma=180^\circ+\gamma=135^\circ$.
  • Somit ist der Schnittwinkel gegeben als $\alpha=\gamma - \beta=135^\circ-63,4^\circ=71,6^\circ$.

• Berechne die beiden Schnittwinkel der beiden Funktionen.

  Tipps

  Zur Berechnung der Schnittpunkte müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

  Zur Berechnung der Steigungswinkel und schließlich des Schnittwinkels reicht die Kenntnis der x-Koordinaten der Schnittpunkte.

  Wenn 2 Funktionen sich in 2 Punkten schneiden, existieren auch 2 Schnittwinkel. Diese müssen beide getrennt berechnet werden.

  Lösung

  Zur Berechnung der Schnittpunkte müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden:

  $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^2+2x+1&=-x^2+1 &|& +x^2-1\\ &\Leftrightarrow& 2x^2+2x&=0. \end{align*}$

  Diese quadratische Gleichung könnte mit der p-q-Formel gelöst werden. Da jedoch kein Term ohne $x$ vorhanden ist, kann wie folgt ausgeklammert werden:

  $2x^2+2x=2x(x+1)$.

  Daran sind die beiden x-Koordinaten der Schnittpunkte ablesbar:

  • $x_{s_1}=0$. Durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen erhält man $y_{s_1}=-0^2+1=1$, also den Schnittpunkt $S_1(0|1)$.
  • $x_{s_2}=-1$. Durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen erhält man $y_{s_2}=-(-1)^2+1=0$, also den Schnittpunkt $S_2(-1|0)$.

  Zu jedem der beiden Schnittpunkte muss nun der Schnittwinkel berechnet werden. Dabei wird jeweils nur die x-Koordinate des Schnittpunktes benötigt. In beiden Fällen werden die Ableitungen der Funktionen

  • $f'(x)=2x+2$ sowie
  • $g'(x)=-2x$ benötigt.

  $S_1(0|1)$:

  • $m_{f_1}=2\cdot 0 +2=2$, also erhält man den Steigungswinkel $\arctan(2)=63,4^\circ$.
  • $m_{g_1}=-2\cdot 0=0$, hier erhält man den Steigungswinkel $\arctan(0)=0^\circ$.
  • Der eingeschlossene Winkel ist $63,4^\circ-0^\circ=63,4^\circ$.

  $S_2(-1|0)$:

  • $m_{f_2}=2\cdot (-1) +2=0$, also erhält man den Steigungswinkel $\arctan(0)=0^\circ$.
  • $m_{g_2}=-2\cdot (-1)=2$, hier erhält man den Steigungswinkel $\arctan(2)=63,4^\circ$.
  • Der eingeschlossene Winkel ist $63,4^\circ-0^\circ=63,4^\circ$.

  In diesem Beispiel stimmen die Steigungswinkel überein. Dies muss natürlich nicht immer so sein.

• Bestimme die Gleichung der Geraden $g(x)$, die mit $f(x)=\frac14x^2-1$ in $x_s=2$ einen rechten Winkel einschließt.

  Tipps

  Berechne zunächst den Anstieg der Tangente: Dieser ist die 1. Ableitung an der Stelle $x_s=2$.

  Es gilt $f'(x)=\frac12x$.

  Der Schnittwinkel von 2 Funktionen ist die Differenz aus den beiden Steigungswinkeln der Funktionen im Schnittpunkt. Dabei wird von dem größeren der beiden der kleinere subtrahiert.

  Lösung

  Zuerst wird der Steigungswinkel der Funktion $f(x)$ in $x_s=2$ berechnet:

  • $f'(x)=\frac12x$,
  • $m=f'(2)=\frac12 \cdot 2=1$ und
  • $\beta=\arctan(1)=45^\circ$.

  Der von der Funktion und der Geraden eingeschlossene Winkel soll $90^\circ$ betragen, also $\gamma=90^\circ+45^\circ=135^\circ$.

  Die Steigung der Geraden ist dann durch $m_g=\tan(135)=-1$ gegeben.

  Da der Schnittpunkt auf der Geraden liegt, kann über diesen der Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet werden. Die y-Koordinate des Schnittpunktes ist $y_s=\frac14 \cdot 2^2-1=0$. Für die Gerade $g(x)$ gilt also $0=-1\cdot2+n$. Dies ist äquivalent zu $n=2$.

  Also ist die Gerade durch $g(x)=-x+2$ gegeben.

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen zur Berechnung des Schnittwinkels zweier Funktionen.

  Tipps

  Der Schnittwinkel zweier Funktionen entspricht dem Schnittwinkel der Tangenten, welche die beiden Funktionen in einem gemeinsamen Schnittpunkt berühren.

  Wenn zwei Geraden sich schneiden, besitzen sie 2 Schnittwinkel, einen stumpfen (größer als $90^\circ$) und einen spitzen (kleiner als $90^\circ$). Unter dem Schnittwinkel versteht man immer den spitzen Winkel.

  Wenn die Gerade sich im rechten Winkel schneiden, so ist dies der Schnittwinkel.

  Der Schnittwinkel zweier Geraden ist die Differenz der Steigungswinkel der beiden Geraden. Dabei wird von dem größeren Winkel der kleinere abgezogen.

  Ist der so erhaltene Winkel größer als $90^\circ$, so wird er von $180^\circ$ abgezogen.

  Lösung

  Um den Schnittwinkel von zwei Funktionen an einem Schnittpunkt zu berechnen, werden diese beiden Funktionen gleichgesetzt.

  Die Lösung (gegebenenfalls auch mehrere Lösungen) dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes. Die y-Koordinate wird zur Schnittwinkelberechnung nicht benötigt.

  Durch Einsetzen der x-Koordinate in die 1. Ableitung der beiden Funktionen werden die Anstiege der beiden Tangenten berechnet: $m_f$ und $m_g$.

  Durch $\arctan(m_f)$ erhält man den Steigungswinkel der Funktion $f$. Im Falle eines negativen Winkels wird dieser zu $180^\circ$ addiert.

  Ebenso erhält man den Steigungswinkel von $g$.

  Zieht man von dem größeren der beiden Winkel den kleineren ab, so ist dies der gesuchte Schnittwinkel. Ist dieser Winkel größer als $90^\circ$, muss er noch von $180^\circ$ subtrahiert werden, da man unter einem Schnittwinkel immer den spitzen, also kleineren, Winkel versteht.

• Prüfe an einem Beispiel, ob der Schnittwinkel auch mit der angegebenen Formel berechnet werden kann.

  Tipps

  Zur Berechnung der Anstiege benötigst du die Ableitungen der beiden Funktionen.

  Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Das heißt, der Anstieg ist konstant und damit auch der Steigungswinkel.

  Der Anstieg einer linearen Funktion ist der Faktor vor dem $x$.

  Sind die Steigungswinkel der Funktionen im Schnittpunkt bekannt, so ist der Schnittwinkel die Differenz von größerem und kleinerem Winkel. Ist diese Differenz größer als $90^\circ$, so wird sie von $180^\circ$ subtrahiert.

  Sei zum Beispiel die Differenz der Steigungswinkel $110^\circ$, dies ist ein stumpfer Winkel, so ist der gesuchte Schnittwinkel $\alpha=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.

  Lösung

  Um die x-Koordinaten der Schnittpunkte zu berechnen, müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden:

  $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^2+1&=x+3 &|& -x-3\\ &\Leftrightarrow& x^2-x-2&=0. \end{align*}$

  Diese Gleichung wird mit der p-q-Formel gelöst:

  $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-1}2±\sqrt{\left( \frac{-1}2\right)^2-(-2)}\\ &=\frac12±\frac32\\ x_1&=\frac12+\frac32=2\\ x_2&=\frac12-\frac32=-1. \end{align*}$

  Durch Einsetzen erhält man die y-Koordinaten:

  • $S_1$: $y_1=2+3=5$, also $S_1(2|5)$ und
  • $S_2$: $y_2=-1+3=2$, also $S_2(-1|2)$.

  Im Folgenden wird $x_0=-1$ betrachtet. Es gilt

  • $m_f=f'(-1)=2\cdot (-1)=-2$, wobei $f'(x)=2x$ ist. Somit ist $\delta=\arctan(-2)≈-63,4^\circ$ und $\beta≈180^\circ+\delta≈116,6^\circ$.
  • $m_g=1$ und $\gamma=\arctan(1)=45^\circ$.

  Zieht man den kleineren Winkel von dem größeren Winkel ab, so erhält man $\alpha≈116,6^\circ-45^\circ≈71,6^\circ$, den gesuchten Schnittwinkel.

  Mit den oben bereits berechneten Anstiegen der Tangenten gilt

  $\tan(\alpha)=\left|\frac{-2-1}{1+(-2)\cdot1}\right|=3$. Die Umkehrung des Tangens führt zu $\alpha=\arctan(3)≈71,6^\circ$.

  In diesem Beispiel liefert die oben angegebene Formel den gesuchten Schnittwinkel. Dies ist kein Beweis für die Richtigkeit der Formel.

  Nichtsdestotrotz ist diese Formel korrekt.