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Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen 10:05 min

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Transkript Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute wie man das Schnittwinkelproblem löst. Dabei geht es darum, wie man den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen an einem bestimmten Schnittpunkt bestimmt. Wir haben zwei Funktionen gegeben. Einmal die Funktion f und die Funktion g, die sich in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man den Schnittpunkt und wir bezeichnen ihn mit S(xs, ys). Ja, ich will euch jetzt an einem Beispiel zeigen, welche Schritte man machen muss, um diesen Schnittwinkel zu berechnen. Und wir haben jetzt zwei Funktionen gegeben. Einmal die Funktion f, das ist x². Und die Funktion g, das ist 1/2x² - 2x + 2 1/2. Wenn man jetzt nur zwei Funktionen gegeben hat, muss man erstmal rausfinden, wo sie sich überhaupt schneiden. Das heißt, in einem ersten Schritt muss man diesen Schnittpunkt bestimmen. Ja, dafür setzt man die Funktionen einfach gleich, also f(x) = g(x). Und wenn wir das machen, kommen wir auf x² = 1/2x² - 2x + 2 1/2. Das kann man jetzt umstellen, also ich ziehe x² ab teile dann. Und das machen wir jetzt mal nicht alles, das könnt ihr. Und man kommt dann auf so eine quadratische Funktion: 0 = x² + 4x - 5. Die muss man jetzt lösen mit der pq-Formel, also x1/2 ist dann -4/2 ± 4², also 16/4 + 5, daraus die Wurzel. Jetzt haben wir 16/4, sind 4. 4 + 5 = 9 und die Wurzel daraus ist 3, also haben wir -2 ± 3. Also der erste Schnittpunkt ist, -2 + 3 = 1 und unser zweiter Schnittpunkt ist -5. Wir wollen uns jetzt nur einen Schnittpunkt angucken, und zwar an der Stelle xs = 1. Den anderen lassen wir erstmal außen vor. Und man könnte jetzt an dieser Stelle auch nochmal eine Probe machen, also man würde dann einsetzen diese 1 in f und in g, und dann rauskriegen, dass wir den gleichen Funktionswert haben. Ja, in der nächsten Szene werde ich euch erklären, welche weiteren Schritte wir noch machen müssen, um diesen Schnittwinkel zu berechnen. Wir wollen das Beispiel jetzt weiterrechnen, um das Schnittwinkelproblem zu lösen. Dafür gucken wir uns nochmal die Grafik an und wollen überlegen, was dieser Schnittwinkel jetzt wirklich ist. Also wir haben diesen Schnittpunkt gegeben, und der Schnittwinkel ist jetzt der Winkel, der zwischen den Tangenten liegt, die man in diesen Schnittwinkel anlegen kann, an die beiden Funktionen. Und damit es eine eindeutige Fragestellung wird, berechnet man jetzt immer den kleineren Winkel, zwischen diesen Tangenten. Wie komme ich jetzt auf diesen Schnittwinkel? Die Idee ist, man berechnet erst die Steigungswinkel der Tangenten. Das haben wir schon im Steigungswinkelproblem gelernt. Und daraus kann man dann den Schnittwinkel berechnen. Wie kommt man jetzt wiederum auf die Steigungswinkel? Dafür braucht man die Anstiege und das ist jetzt der zweite Schritt. Wir berechnen die Anstiege der Tangenten. mf sei jetzt der Anstieg der Tangente, die wir an die Funktion f legen. Das heißt, das ist jetzt f‘(xs). Und mg sei der Anstieg der Tangente, die wir an die Funktion g legen im Punkt xs, also ist das die erste Ableitung von g an der Stelle xs. Also brauchen wir die jeweiligen Ableitungen. Das ist für f 2x und für g ist das x - 2. Und jetzt können wir jeweils die Anstiege berechnen. mf ist dann 2 * 1, also 2. Und mg ist dann 1 - 2, also -1. So, jetzt berechnen wir die Steigungswinkel. Das waren ja die Winkel, der Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse und da hatten wir gelernt im Steigungswinkelproblem, dass das immer der Arcustangens des Anstieges ist. Und wir wollen jetzt β, soll dieser Steigungswinkel sein von der Tangente, die an f liegt, also ist das arctan(2), und das sind rund 63,4°. Da muss man wieder aufpassen, dass im Taschenrechner wir in diesem Degree-Modus sind. Und γ sei jetzt der Steigungswinkel der Tangente, die an g liegt. Und das ist dann arctan(-1). Das sind rund -45°. Da das ein negativer Winkel ist, müssen wir jetzt 180° addieren und kommen dann auf 135°. So, wie hängen diese beiden Steigungswinkel jetzt mit unserem Schnittwinkel α zusammen? Dazu schieben wir das Bild einfach mal nach oben und wir gucken uns ein zweites an, wo wir nur die Tangenten sehen, die an diesen Funktionen f und g liegen. Wenn man jetzt die x-Achse parallel verschiebt bis zu diesem Schnittpunkt, dann sieht man, dass sich α ergibt direkt aus α = γ - β. Also das kann man hier sehr gut im Bild sehen und das ist jetzt der vierte Schritt: wir berechnen schlussendlich den Schnittwinkel. Und jetzt muss man im Prinzip nur noch einsetzen. γ war 135° - 63,4°. Das sind alles gerundete Zahlen und dann kommen wir rund auf 71,6°. Und das ist jetzt unser Endergebnis. Zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was wir heute gelernt haben: Und zwar geht es beim Schnittwinkelproblem darum, den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen zu bestimmen. Der Schnittwinkel ist der Winkel, der zwischen den Tangenten liegt, die wir an die jeweiligen Funktionen f  und g anlegen. Die Schritte zur Lösung dieses Problems sind: Wir bestimmen erstmal den Schnittpunkt, dann die Anstiege der Tangenten, dann die Steigungswinkel der Tangenten und dann setzen wir in den Schnittwinkel ein. Ich hoffe du hast alles verstanden und hattest auch Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne.

11 Kommentare
  1. Default

    gutes video, muss ich echt sagen, ist es auch möglich das man das auch mal mit graden machen kann anstelle von parablen... Das in einem video erklärt zu bekommen währe echt hilfreich

    Von Julian M., vor 12 Monaten
  2. Default

    Hab den leichten verdacht das die Frau alles nur abgeschrieben/abgelesen hat und sich selber mit der Materie kein bisschen auskennt...

    Von Hagemann E, vor etwa einem Jahr
  3. Thomas

    @Bart0808: Die im Video gezeigte Lösung ist korrekt. Nach dem Gleichsetzen und mit Hilfe von Äquivalenzumformungen erhältst du:
    x² = ½x² - 2x + 2½ | -x²
    0 =-½x² - 2x + 2½ | : (-½)
    0 = x² + 4x - 5

    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    +4x meine ich

    Von Bart0806, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Wenn ich f(x) mit g(x) gleichsetze, kommt doch zusammengefasst 0=x^2-4x-2 raus und nicht 0=x^2-4x-5 oder?

    Von Bart0806, vor mehr als einem Jahr
  1. Felix

    @Ninabuch: Du hast Recht. Die beiden Graphen der angegebenen quadratischen Funktionen schneiden sich in zwei Punkten. Für den einen Schnittpunkt ist x=1 und für den anderen Schnittpunkt ist x=-5. In diesem Video wurde nur exemplarisch der Schnittwinkel an einem der beiden Schnittpunkten untersucht. Natürlich hätte man die ganze Untersuchung auch für x=-5 machen können.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Warum hast Du x1=1 ausgewählt und nicht x2=-5? Ist es egal welcher x mann nimmt?

    Von Ninabuch, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Richtig gutes Video! Gut erklärt und vor allem die Veranschaulichung perfekt. Noch nie so ein professionelles Video hier gesehen :-)

    Von Joshuauecker, vor mehr als 3 Jahren
  4. Giuliano test

    @S Ghaleb:
    Man teilt dann die Gleichung durch -(1/2), da 1/2x²-x²=-(1/2)x² ergibt.
    Vor derm x² soll eine 1 stehen. Deshalb teilen wir durch -(1/2):
    0=-(1/2)x²-2x+2(1/2) |:-(1/2) [Das ist das gleiche wie * (-2)]
    0=x²+4x-5
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 4 Jahren
  5. Default

    wenn man f(x) mit g(x) gleichsetzt, zieht man x2 ab und was teilt man dann ?

    Von S Ghaleb, vor fast 4 Jahren
  6. Default

    Danke<3 ! Sehr anschaulich und schrittweise erklärt

    Von S Ghaleb, vor fast 4 Jahren
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