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Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen 10:05 min

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Transkript Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute wie man das Schnittwinkelproblem löst. Dabei geht es darum, wie man den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen an einem bestimmten Schnittpunkt bestimmt. Wir haben zwei Funktionen gegeben. Einmal die Funktion f und die Funktion g, die sich in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man den Schnittpunkt und wir bezeichnen ihn mit S(xs, ys). Ja, ich will euch jetzt an einem Beispiel zeigen, welche Schritte man machen muss, um diesen Schnittwinkel zu berechnen. Und wir haben jetzt zwei Funktionen gegeben. Einmal die Funktion f, das ist x². Und die Funktion g, das ist 1/2x² - 2x + 2 1/2. Wenn man jetzt nur zwei Funktionen gegeben hat, muss man erstmal rausfinden, wo sie sich überhaupt schneiden. Das heißt, in einem ersten Schritt muss man diesen Schnittpunkt bestimmen. Ja, dafür setzt man die Funktionen einfach gleich, also f(x) = g(x). Und wenn wir das machen, kommen wir auf x² = 1/2x² - 2x + 2 1/2. Das kann man jetzt umstellen, also ich ziehe x² ab teile dann. Und das machen wir jetzt mal nicht alles, das könnt ihr. Und man kommt dann auf so eine quadratische Funktion: 0 = x² + 4x - 5. Die muss man jetzt lösen mit der pq-Formel, also x1/2 ist dann -4/2 ± 4², also 16/4 + 5, daraus die Wurzel. Jetzt haben wir 16/4, sind 4. 4 + 5 = 9 und die Wurzel daraus ist 3, also haben wir -2 ± 3. Also der erste Schnittpunkt ist, -2 + 3 = 1 und unser zweiter Schnittpunkt ist -5. Wir wollen uns jetzt nur einen Schnittpunkt angucken, und zwar an der Stelle xs = 1. Den anderen lassen wir erstmal außen vor. Und man könnte jetzt an dieser Stelle auch nochmal eine Probe machen, also man würde dann einsetzen diese 1 in f und in g, und dann rauskriegen, dass wir den gleichen Funktionswert haben. Ja, in der nächsten Szene werde ich euch erklären, welche weiteren Schritte wir noch machen müssen, um diesen Schnittwinkel zu berechnen. Wir wollen das Beispiel jetzt weiterrechnen, um das Schnittwinkelproblem zu lösen. Dafür gucken wir uns nochmal die Grafik an und wollen überlegen, was dieser Schnittwinkel jetzt wirklich ist. Also wir haben diesen Schnittpunkt gegeben, und der Schnittwinkel ist jetzt der Winkel, der zwischen den Tangenten liegt, die man in diesen Schnittwinkel anlegen kann, an die beiden Funktionen. Und damit es eine eindeutige Fragestellung wird, berechnet man jetzt immer den kleineren Winkel, zwischen diesen Tangenten. Wie komme ich jetzt auf diesen Schnittwinkel? Die Idee ist, man berechnet erst die Steigungswinkel der Tangenten. Das haben wir schon im Steigungswinkelproblem gelernt. Und daraus kann man dann den Schnittwinkel berechnen. Wie kommt man jetzt wiederum auf die Steigungswinkel? Dafür braucht man die Anstiege und das ist jetzt der zweite Schritt. Wir berechnen die Anstiege der Tangenten. mf sei jetzt der Anstieg der Tangente, die wir an die Funktion f legen. Das heißt, das ist jetzt f‘(xs). Und mg sei der Anstieg der Tangente, die wir an die Funktion g legen im Punkt xs, also ist das die erste Ableitung von g an der Stelle xs. Also brauchen wir die jeweiligen Ableitungen. Das ist für f 2x und für g ist das x - 2. Und jetzt können wir jeweils die Anstiege berechnen. mf ist dann 2 * 1, also 2. Und mg ist dann 1 - 2, also -1. So, jetzt berechnen wir die Steigungswinkel. Das waren ja die Winkel, der Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse und da hatten wir gelernt im Steigungswinkelproblem, dass das immer der Arcustangens des Anstieges ist. Und wir wollen jetzt β, soll dieser Steigungswinkel sein von der Tangente, die an f liegt, also ist das arctan(2), und das sind rund 63,4°. Da muss man wieder aufpassen, dass im Taschenrechner wir in diesem Degree-Modus sind. Und γ sei jetzt der Steigungswinkel der Tangente, die an g liegt. Und das ist dann arctan(-1). Das sind rund -45°. Da das ein negativer Winkel ist, müssen wir jetzt 180° addieren und kommen dann auf 135°. So, wie hängen diese beiden Steigungswinkel jetzt mit unserem Schnittwinkel α zusammen? Dazu schieben wir das Bild einfach mal nach oben und wir gucken uns ein zweites an, wo wir nur die Tangenten sehen, die an diesen Funktionen f und g liegen. Wenn man jetzt die x-Achse parallel verschiebt bis zu diesem Schnittpunkt, dann sieht man, dass sich α ergibt direkt aus α = γ - β. Also das kann man hier sehr gut im Bild sehen und das ist jetzt der vierte Schritt: wir berechnen schlussendlich den Schnittwinkel. Und jetzt muss man im Prinzip nur noch einsetzen. γ war 135° - 63,4°. Das sind alles gerundete Zahlen und dann kommen wir rund auf 71,6°. Und das ist jetzt unser Endergebnis. Zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was wir heute gelernt haben: Und zwar geht es beim Schnittwinkelproblem darum, den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen zu bestimmen. Der Schnittwinkel ist der Winkel, der zwischen den Tangenten liegt, die wir an die jeweiligen Funktionen f  und g anlegen. Die Schritte zur Lösung dieses Problems sind: Wir bestimmen erstmal den Schnittpunkt, dann die Anstiege der Tangenten, dann die Steigungswinkel der Tangenten und dann setzen wir in den Schnittwinkel ein. Ich hoffe du hast alles verstanden und hattest auch Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne.

13 Kommentare
  1. @Julian Bettge
    An welcher Stelle kommt denn "444..." vor?
    Liebe Grüße

    Von Nils B., vor 7 Monaten
  2. wie kommt man da auf 44444444444444

    Von Julian Bettge, vor 8 Monaten
  3. gutes video, muss ich echt sagen, ist es auch möglich das man das auch mal mit graden machen kann anstelle von parablen... Das in einem video erklärt zu bekommen währe echt hilfreich

    Von Julian M., vor fast 2 Jahren
  4. Hab den leichten verdacht das die Frau alles nur abgeschrieben/abgelesen hat und sich selber mit der Materie kein bisschen auskennt...

    Von Hagemann E, vor fast 2 Jahren
  5. @Bart0808: Die im Video gezeigte Lösung ist korrekt. Nach dem Gleichsetzen und mit Hilfe von Äquivalenzumformungen erhältst du:
    x² = ½x² - 2x + 2½ | -x²
    0 =-½x² - 2x + 2½ | : (-½)
    0 = x² + 4x - 5

    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 2 Jahren
  1. +4x meine ich

    Von Bart0806, vor etwa 2 Jahren
  2. Wenn ich f(x) mit g(x) gleichsetze, kommt doch zusammengefasst 0=x^2-4x-2 raus und nicht 0=x^2-4x-5 oder?

    Von Bart0806, vor etwa 2 Jahren
  3. @Ninabuch: Du hast Recht. Die beiden Graphen der angegebenen quadratischen Funktionen schneiden sich in zwei Punkten. Für den einen Schnittpunkt ist x=1 und für den anderen Schnittpunkt ist x=-5. In diesem Video wurde nur exemplarisch der Schnittwinkel an einem der beiden Schnittpunkten untersucht. Natürlich hätte man die ganze Untersuchung auch für x=-5 machen können.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  4. Warum hast Du x1=1 ausgewählt und nicht x2=-5? Ist es egal welcher x mann nimmt?

    Von Ninabuch, vor fast 4 Jahren
  5. Richtig gutes Video! Gut erklärt und vor allem die Veranschaulichung perfekt. Noch nie so ein professionelles Video hier gesehen :-)

    Von Joshuauecker, vor mehr als 4 Jahren
  6. @S Ghaleb:
    Man teilt dann die Gleichung durch -(1/2), da 1/2x²-x²=-(1/2)x² ergibt.
    Vor derm x² soll eine 1 stehen. Deshalb teilen wir durch -(1/2):
    0=-(1/2)x²-2x+2(1/2) |:-(1/2) [Das ist das gleiche wie * (-2)]
    0=x²+4x-5
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  7. wenn man f(x) mit g(x) gleichsetzt, zieht man x2 ab und was teilt man dann ?

    Von S Ghaleb, vor mehr als 4 Jahren
  8. Danke<3 ! Sehr anschaulich und schrittweise erklärt

    Von S Ghaleb, vor mehr als 4 Jahren
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Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schnittwinkelproblem – Schnittwinkel am Schnittpunkt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen zur Berechnung des Schnittwinkels zweier Funktionen.

    Tipps

    Der Schnittwinkel zweier Funktionen entspricht dem Schnittwinkel der Tangenten, welche die beiden Funktionen in einem gemeinsamen Schnittpunkt berühren.

    Wenn zwei Geraden sich schneiden, besitzen sie 2 Schnittwinkel, einen stumpfen (größer als $90^\circ$) und einen spitzen (kleiner als $90^\circ$). Unter dem Schnittwinkel versteht man immer den spitzen Winkel.

    Wenn die Gerade sich im rechten Winkel schneiden, so ist dies der Schnittwinkel.

    Der Schnittwinkel zweier Geraden ist die Differenz der Steigungswinkel der beiden Geraden. Dabei wird von dem größeren Winkel der kleinere abgezogen.

    Ist der so erhaltene Winkel größer als $90^\circ$, so wird er von $180^\circ$ abgezogen.

    Lösung

    Um den Schnittwinkel von zwei Funktionen an einem Schnittpunkt zu berechnen, werden diese beiden Funktionen gleichgesetzt.

    Die Lösung (gegebenenfalls auch mehrere Lösungen) dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes. Die y-Koordinate wird zur Schnittwinkelberechnung nicht benötigt.

    Durch Einsetzen der x-Koordinate in die 1. Ableitung der beiden Funktionen werden die Anstiege der beiden Tangenten berechnet: $m_f$ und $m_g$.

    Durch $\arctan(m_f)$ erhält man den Steigungswinkel der Funktion $f$. Im Falle eines negativen Winkels wird dieser zu $180^\circ$ addiert.

    Ebenso erhält man den Steigungswinkel von $g$.

    Zieht man von dem größeren der beiden Winkel den kleineren ab, so ist dies der gesuchte Schnittwinkel. Ist dieser Winkel größer als $90^\circ$, muss er noch von $180^\circ$ subtrahiert werden, da man unter einem Schnittwinkel immer den spitzen, also kleineren, Winkel versteht.

  • Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen.

    Tipps

    Um Schnittpunkte von Funktionen zu berechnen, müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

    Das Gleichsetzen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ führt zu einer quadratischen Gleichung.

    Quadratische Gleichungen $x^2+px+q=0$ werden mit der p-q-Formel gelöst:

    $x_{1/2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2 \right)^2-q}$.

    Lösung

    Um Schnittpunkte von Funktionen zu berechnen, werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt:

    $\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ x^2&=\frac12x^2-2x+2\frac12 \end{align*}$

    Diese quadratische Gleichung kann nun so umgeformt werden, dass die p-q-Formel anwendbar ist:

    $\begin{align*} x^2&=\frac12x^2-2x+2\frac12 &|& -x^2\\ 0&=-\frac12x^2-2x+2\frac12 &|& \cdot(-2)\\ 0&=x^2+4x-5. \end{align*}$

    Nun kann die p-q-Formel angewendet werden mit $p=4$ und $q=-5$:

    $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac 42 ± \sqrt{\left(\frac 42 \right)^2-(-5)}\\ &=-2± \sqrt{9}\\ x_1&=-2+3=1\\ x_2&=-2-3=-5. \end{align*}$

    Die y-Koordinaten der Schnittpunkte erhält man durch Einsetzen der x-Koordinaten in einer der beiden Funktionsgleichungen.

    • $y_1=1^2=1$, also $S_1(1|1)$ und
    • $y_2=(-5)^2=25$, also $S_2=(-5|25)$.
    Zur Berechnung des Schnittwinkels sind die y-Koordinaten nicht wichtig.

  • Prüfe an einem Beispiel, ob der Schnittwinkel auch mit der angegebenen Formel berechnet werden kann.

    Tipps

    Zur Berechnung der Anstiege benötigst du die Ableitungen der beiden Funktionen.

    Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Das heißt, der Anstieg ist konstant und damit auch der Steigungswinkel.

    Der Anstieg einer linearen Funktion ist der Faktor vor dem $x$.

    Sind die Steigungswinkel der Funktionen im Schnittpunkt bekannt, so ist der Schnittwinkel die Differenz von größerem und kleinerem Winkel. Ist diese Differenz größer als $90^\circ$, so wird sie von $180^\circ$ subtrahiert.

    Sei zum Beispiel die Differenz der Steigungswinkel $110^\circ$, dies ist ein stumpfer Winkel, so ist der gesuchte Schnittwinkel $\alpha=180^\circ-110^\circ=70^\circ$.

    Lösung

    Um die x-Koordinaten der Schnittpunkte zu berechnen, müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden:

    $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^2+1&=x+3 &|& -x-3\\ &\Leftrightarrow& x^2-x-2&=0. \end{align*}$

    Diese Gleichung wird mit der p-q-Formel gelöst:

    $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-1}2±\sqrt{\left( \frac{-1}2\right)^2-(-2)}\\ &=\frac12±\frac32\\ x_1&=\frac12+\frac32=2\\ x_2&=\frac12-\frac32=-1. \end{align*}$

    Durch Einsetzen erhält man die y-Koordinaten:

    • $S_1$: $y_1=2+3=5$, also $S_1(2|5)$ und
    • $S_2$: $y_2=-1+3=2$, also $S_2(-1|2)$.
    Im Folgenden wird $x_0=-1$ betrachtet. Es gilt
    • $m_f=f'(-1)=2\cdot (-1)=-2$, wobei $f'(x)=2x$ ist. Somit ist $\delta=\arctan(-2)≈-63,4^\circ$ und $\beta≈180^\circ+\delta≈116,6^\circ$.
    • $m_g=1$ und $\gamma=\arctan(1)=45^\circ$.
    Zieht man den kleineren Winkel von dem größeren Winkel ab, so erhält man $\alpha≈116,6^\circ-45^\circ≈71,6^\circ$, den gesuchten Schnittwinkel.

    Mit den oben bereits berechneten Anstiegen der Tangenten gilt

    $\tan(\alpha)=\left|\frac{-2-1}{1+(-2)\cdot1}\right|=3$. Die Umkehrung des Tangens führt zu $\alpha=\arctan(3)≈71,6^\circ$.

    In diesem Beispiel liefert die oben angegebene Formel den gesuchten Schnittwinkel. Dies ist kein Beweis für die Richtigkeit der Formel.

    Nichtsdestotrotz ist diese Formel korrekt.

  • Gib den Schnittwinkel der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ in $x_s=1$ an.

    Tipps

    Ein Steigungswinkel ist ein positiver Winkel.

    Der Taschenrechner gibt bei der Umkehrung des Tangens Winkel zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ aus.

    Im Falle eines negativen Winkels wird dieser zu $180^\circ$ addiert.

    Beachte, dass beim Rechnen mit Winkeln der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.

    Die Steigung der Tangente auf dem Graphen einer Funktion an der Stelle $x_0$ ist die 1. Ableitung, ausgewertet an dieser Stelle.

    Durch die Umkehrung des Tangens erhält man den Steigungswinkel. So ist $\beta=\arctan(1)≈45^\circ$.

    Lösung

    Um einen Schnittwinkel von zwei Funktionen zu berechnen, müssen

    • zunächst die Steigungen der Tangenten dieser beiden Funktionen im Schnittpunkt
    • und damit die jeweiligen Steigungswinkel berechnet werden.
    • Der Schnittwinkel ist die Differenz aus dem größeren und dem kleineren dieser Steigungswinkel, sofern diese bereits kleiner oder gleich $90^\circ$ sind, ansonsten addieren wir $180^\circ$. Es existieren immer 2 Winkel, welche von den Tangenten eingeschlossen werden. Die Summe dieser beiden Winkel ist $180^\circ$. Unter dem Schnittwinkel wird immer der spitze (kleinere) der beiden Winkel verstanden.
    • Die Steigung der Funktion $f(x)$ mit der Ableitung $f'(x)=2x$ an der Stelle $x_s=1$ ist $m_f=2$. Durch die Umkehrung des Tangens erhält man den Steigungswinkel $\beta=\arctan(2)≈63,4^\circ$.
    • Die Steigung der Funktion $g(x)$ mit der Ableitung $g'(x)=x-2$ an der Stelle $x_s=1$ ist $m_f=-1$. Durch die Umkehrung des Tangens erhält man den Winkel $\gamma=\arctan(-1)≈-45^\circ$. Dies ist nicht der gesuchte Steigungswinkel, da er negativ ist. Der Steigungswinkel ist $\gamma=180^\circ+\gamma=135^\circ$.
    • Somit ist der Schnittwinkel gegeben als $\alpha=\gamma - \beta=135^\circ-63,4^\circ=71,6^\circ$.

  • Berechne die beiden Schnittwinkel der beiden Funktionen.

    Tipps

    Zur Berechnung der Schnittpunkte müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

    Zur Berechnung der Steigungswinkel und schließlich des Schnittwinkels reicht die Kenntnis der x-Koordinaten der Schnittpunkte.

    Wenn 2 Funktionen sich in 2 Punkten schneiden, existieren auch 2 Schnittwinkel. Diese müssen beide getrennt berechnet werden.

    Lösung

    Zur Berechnung der Schnittpunkte müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden:

    $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^2+2x+1&=-x^2+1 &|& +x^2-1\\ &\Leftrightarrow& 2x^2+2x&=0. \end{align*}$

    Diese quadratische Gleichung könnte mit der p-q-Formel gelöst werden. Da jedoch kein Term ohne $x$ vorhanden ist, kann wie folgt ausgeklammert werden:

    $2x^2+2x=2x(x+1)$.

    Daran sind die beiden x-Koordinaten der Schnittpunkte ablesbar:

    • $x_{s_1}=0$. Durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen erhält man $y_{s_1}=-0^2+1=1$, also den Schnittpunkt $S_1(0|1)$.
    • $x_{s_2}=-1$. Durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen erhält man $y_{s_2}=-(-1)^2+1=0$, also den Schnittpunkt $S_2(-1|0)$.
    Zu jedem der beiden Schnittpunkte muss nun der Schnittwinkel berechnet werden. Dabei wird jeweils nur die x-Koordinate des Schnittpunktes benötigt. In beiden Fällen werden die Ableitungen der Funktionen
    • $f'(x)=2x+2$ sowie
    • $g'(x)=-2x$ benötigt.
    $S_1(0|1)$:
    • $m_{f_1}=2\cdot 0 +2=2$, also erhält man den Steigungswinkel $\arctan(2)=63,4^\circ$.
    • $m_{g_1}=-2\cdot 0=0$, hier erhält man den Steigungswinkel $\arctan(0)=0^\circ$.
    • Der eingeschlossene Winkel ist $63,4^\circ-0^\circ=63,4^\circ$.
    $S_2(-1|0)$:
    • $m_{f_2}=2\cdot (-1) +2=0$, also erhält man den Steigungswinkel $\arctan(0)=0^\circ$.
    • $m_{g_2}=-2\cdot (-1)=2$, hier erhält man den Steigungswinkel $\arctan(2)=63,4^\circ$.
    • Der eingeschlossene Winkel ist $63,4^\circ-0^\circ=63,4^\circ$.
    In diesem Beispiel stimmen die Steigungswinkel überein. Dies muss natürlich nicht immer so sein.

  • Bestimme die Gleichung der Geraden $g(x)$, die mit $f(x)=\frac14x^2-1$ in $x_s=2$ einen rechten Winkel einschließt.

    Tipps

    Berechne zunächst den Anstieg der Tangente: Dieser ist die 1. Ableitung an der Stelle $x_s=2$.

    Es gilt $f'(x)=\frac12x$.

    Der Schnittwinkel von 2 Funktionen ist die Differenz aus den beiden Steigungswinkeln der Funktionen im Schnittpunkt. Dabei wird von dem größeren der beiden der kleinere subtrahiert.

    Lösung

    Zuerst wird der Steigungswinkel der Funktion $f(x)$ in $x_s=2$ berechnet:

    • $f'(x)=\frac12x$,
    • $m=f'(2)=\frac12 \cdot 2=1$ und
    • $\beta=\arctan(1)=45^\circ$.
    Der von der Funktion und der Geraden eingeschlossene Winkel soll $90^\circ$ betragen, also $\gamma=90^\circ+45^\circ=135^\circ$.

    Die Steigung der Geraden ist dann durch $m_g=\tan(135)=-1$ gegeben.

    Da der Schnittpunkt auf der Geraden liegt, kann über diesen der Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet werden. Die y-Koordinate des Schnittpunktes ist $y_s=\frac14 \cdot 2^2-1=0$. Für die Gerade $g(x)$ gilt also $0=-1\cdot2+n$. Dies ist äquivalent zu $n=2$.

    Also ist die Gerade durch $g(x)=-x+2$ gegeben.