Scheitelpunktform

Scheitelpunktform Übung

• Vergleiche die Funktionsgleichungen und Scheitelpunkte.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt der nicht verschobenen oder gespiegelten Normalparabel liegt bei $(0|0)$.

  Setzt du die $x$-Koordinaten des Scheitelpunktes in die Funktionsgleichung ein, so ergeben sich die $y$-Koordinaten des Scheitelpunktes als Funktionswerte.

  Die Parabel $f(x) = (x-1)^2 -3$ hat den Scheitelpunkt $S(1|-3)$.

  Lösung

  An der Scheitelpunktform einer Normalparabel kannst du ihren Scheitelpunkt direkt ablesen. Die Scheitelpunktform sieht so aus:

  $f(x)= (x-d)^2 + e$

  Der Scheitelpunkt liegt bei $(d|e)$. Du nimmst also den Subtrahenden in der quadrierten Klammer als $x$-Koordinate des Scheitelpunktes und den Term außerhalb der quadrierten Klammer als $y$-Koordinate. Dass dies der Scheitelpunkt ist, kannst du so einsehen: Setzt du für $x$ den Minuenden (hier also $d$) ein, so ist der Term in der Klammer $0$. Für jeden anderen Wert von $x$ ist der Term in der Klammer $\neq 0$ und die Klammer wird durch das Quadrieren $>0$. Der Funktionswert ist daher an jeder anderen Stelle größer als bei $x=d$. Daher ist der Tiefpunkt $(d|f(d)) = (d|e)$.

  Hier erhältst du folgende Paare aus Funktionsgleichungen und Scheitelpunkten:

  • Die Normalparabel $f(x) = x^2$ hat den Scheitelpunkt $S(0|0)$.

  • Die Funktion $f(x) = (x-8)^2 +2$ beschreibt eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(8|2)$.

  • Die Funktion $f(x) = 3(x-2)^2 +3$ hat denselben Scheitelpunkt wie die Funktion $f(x) = (x-2)^2 +3$, nämlich $S(2|3)$. Sie ist nur etwas mehr gestreckt.

  • Die Scheitelpunktform $f(x)=(x-d)^2 +e$ steht für eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

• Beschreibe, wie man die Funktionsgleichungen ineinander umrechnet.

  Tipps

  Setzt du die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes in die Scheitelpunktform ein, so wird die quadrierte Klammer $0$.

  Die zweite binomische Formel lautet:

  $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$

  In der allgemeinen Form der Parabelgleichung $f(x) = a \cdot x^2+b \cdot x + c$ ist das lineare Glied $b \cdot x$.

  Lösung

  Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion. Der Funktionsgraph der Funktion $f(x) = x^2$ ist die Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt ist der Punkt $S(0 |0)$. Verschiebt man die Normalparabel im Koordinatensystem, so hat die Funktionsgleichung die allgemeine Form:

  $f(x) = x^2 +b \cdot x +c$

  Den Scheitelpunkt der Parabel kann man in der Scheitelpunktform leichter ablesen, denn dann hat die Funktionsgleichung folgende Form:

  $f(x) = (x-d)^2 +e$

  Hier ist der Scheitelpunkt:

  $S(d|e)$

  Um die Scheitelpunktform einer Funktion in die allgemeine Form umzurechnen, muss mithilfe der binomischen Formeln ausmultipliziert werden.

  Beispiel:

  $f(x) = (x-8)^2 +2 $

  $= x^2 -16 \cdot x +64 +2$

  $= x^2 - 16x + 66$

  Um die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umzurechnen, müssen Klammern mithilfe des linearen Glieds erzeugt werden:

  $f(x) = x^2 - 16x + 66 = x^2 - 2 \cdot 8x+66$

  Da das Absolutglied nicht zu der zweiten binomischen Formel passt, kann die quadratische Ergänzung angewendet werden:

  $f(x) = x^2 -2 \cdot 8x + (64 -64) +2 = (x-8)^2 + 2$

• Ermittle die Scheitelpunkte bzw. die Scheitelpunktform und anschließend die allgemeine Form.

  Tipps

  Die Scheitelpunktform kannst du leicht in die allgemeine Form umrechnen, indem du die Klammer ausmultiplizierst.

  Die Parabel $f(x) = (x-(-1))^2 = x^2 +2x+1$ hat den Scheitelpunkt $(-1|0)$.

  Lösung

  An der Scheitelpunktform der Parabelgleichung kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Umgekehrt kannst du einem Scheitelpunkt die Funktionsgleichung der Normalparabel in Scheitelpunktform zuordnen: Hat der Scheitelpunkt die Koordinaten $(d|e)$, so lautet die zugehörige Scheitelpunktform der Normalparabel $f(x)= (x-d)^2+e$. Zwischen der allgemeinen Form und der Scheitelpunktform kannst du durch quadratische Ergänzung bzw. Ausmultiplizieren umrechnen.

  Hier erhältst du folgende Zuordnungen:

  $S(4|2)$

  • Die Scheitelpunktform lautet $f(x) = (x-4)^2 +2$.
  • Daraus erhältst du die allgemeine Form $f(x)= x^2 -2\cdot 4x+16+2 = x^2 -8x+18$ durch Ausmultiplizieren.

  $f(x) = (x-2)^2 + 4$

  • Aus dieser Scheitelpunktform kannst du die allgemeine Form ausmultiplizieren, nämlich $f(x) = (x-2)^2 +4 = x^2-4x-4-4 = x^2-4x+8$.
  • Der zugehörige Scheitelpunkt ist $S(2|4)$. Den liest du aus der obigen Scheitelpunktform ab.

  $f(x) =(x+2)^2 -4$

  • Der Scheitelpunkt ist hier $S(-2 \vert {-}4)$. Dieser lässt sich leicht aus der Scheitelpunktform ablesen.
  • Um die Funktion in die allgemeine Form zu bringen, muss die Klammer ausmultipliziert werden: $f(x) = (x+2)^2-4 = x^2 + 4x +4 -4 = x^2 + 4x$.

• Ermittle die Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form.

  Tipps

  Die allgemeine Form einer verschobenen Normalparabel $f(x) = x^2 + bx + c$ kannst du mittels quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform umrechnen. Dazu klammerst du aus dem linearen Term den Faktor $2$ aus und ergänzt $0 = \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4}$:

  $\begin{array}{rcl} f(x) &=& x^2 + bx + c \\ &=& \big(x+ \frac{b}{2}\big)^2 + \big(-\frac{b^2}{4} +c\big) \end{array}$

  Steht ein Faktor vor dem quadratischen Glied, so muss dieser zunächst ausgeklammert werden. Anschließend kann die quadratische Ergänzung durchgeführt werden, indem der Vorfaktor des linearen Glieds halbiert und dann quadriert wird. Danach folgt die Anwendung der binomischen Formel und zum Schluss muss noch so weit wie möglich ausgeklammert werden.

  Beispiel:

  $f(x) = 3x^2 - 18x + 6$

  $~~= 3 (x^2- 6x +2)$

  $~~= 3 (x^2 - 2\cdot 3 x + (3^2 -3^2) +2)$

  $~~= 3 ((x-3)^2 -7)$

  $~~= 3(x-3)^2 - 21$

  Lösung

  Um aus der allgemeinen Form einer Parabelgleichung die Scheitelpunktform zu gewinnen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.

  Ist der Koeffizient des quadratischen Terms $1$ oder $-1$, so kannst du die quadratische Ergänzung direkt aus dem linearen Term ablesen, indem du einen Faktor $2$ ausklammerst.

  Ist der Koeffizient des quadratischen Terms $\neq \pm1$, musst du diesen Koeffizienten zuerst ausklammern und bei der Umrechnung berücksichtigen.

• Bestimme die Scheitelpunkte.

  Tipps

  Die Parabel $f(x) = (x-10)^2+30$ hat den Scheitelpunkt $S(10|30)$.

  Die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = 2x^2 +4x$ ist gegenüber der Normalparabel gestreckt und verschoben.

  Lösung

  Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion mit auf $1$ normierten Koeffizienten des quadratischen Glieds heißt Normalparabel. Die Funktionsgleichung einer Normalparabel kannst du in der allgemeinen Form $f(x) = x^2 + bx + c$ oder in der Scheitelpunktform $f(x) = (x-d)^2 + e$ darstellen. Spricht man von der Normalparabel, so ist die Funktion mit $b=c=0$ in der allgemeinen Form bzw. $d=e=0$ in der Scheitelpunktform gemeint.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • $f(x) = 3(x-2)^2 + 3 \\ \Rightarrow S(2 \vert -3)$

  Hier ist der korrekte Scheitelpunkt $S(2 \vert 3)$.

  • $f(x) = (x-8)^2 + 2 \\ \Rightarrow S(-8|2)$

  Der korrekte Scheitelpunkt lautet $S(8 \vert 2)$.

• Benenne die Funktionsgraphen anhand ihrer Scheitelpunkte.

  Tipps

  • Besitzt das quadratische Glied ($ax^2$) ein positives Vorzeichen, ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist das Vorzeichen negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.
  • Ein positives lineares Glied ($bx$) gibt an, dass die Parabel nach links verschoben ist. Ein negatives lineares Glied gibt hingegen an, dass die Parabel nach rechts verschoben ist.

  Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt der nach oben geöffneten Parabel und der Hochpunkt der nach unten geöffneten Parabel.

  Bestimme die Scheitelpunktform der Parabeln, indem du den Scheitelpunkt aus der Zeichnung abliest. Rechne dann die Scheitelpunktform in die allgemeine Form um.

  Die Funktion $f(x) = x^2 +2x -3$ hat den Scheitelpunkt $(-1|-4)$, denn die Scheitelpunktform lautet:

  $f(x) = x^2 + 2x -3 = (x+1)^2 -1-3 = (x-(-1))^2 -4$

  Lösung

  Der Graph einer quadratischen Funktion $f(x) = ax^2+bx+c$ ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. An dem Vorzeichen des quadratischen Glieds kannst du die Öffnungsrichtung ablesen: Ist das quadratische Glied positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, anderenfalls nach unten.

  Um den Graphen die passenden Funktionsgleichungen zuzuordnen, kannst du die Scheitelpunktform mithilfe der Scheitelpunkte aufstellen und anschließend durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form bringen.

  Ein anderer Weg: Du bringst die einzelnen Funktionen durch das Anwenden der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform und liest dann die Scheitelpunkte ab.

  Wählst du z. B. die Funktion $f(x) = x^2-6x+11$, so findest du die Scheitelpunktform:

  $f(x) = x^2 - 2 \cdot 3x + (3^2 - 3^2) + 11 = (x-3)^2 + 2$

  Die zugehörige Parabel hat also den Scheitelpunkt $S(3|2)$. Die zweite Parabel hat diesen Scheitelpunkt, weshalb hier die Funktion zugeordnet werden kann.

  Ob der Scheitelpunkt gegenüber dem Ursprung $(0|0)$ nach links oder nach rechts verschoben ist, erkennst du an dem Vorzeichen des linearen Glieds: Bei einer Verschiebung nach rechts ist der Koeffizient des linearen Terms negativ, anderenfalls positiv.

  Du erhältst nun folgende Zuordnungen:

  • Der Graph der Funktion $f(x) = 2x^2-4x$ ist durch den Faktor $2$ vor dem quadratischen Glied eine gestreckte Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $(1|-2)$.

  • Die Funktion $f(x) = -x^2 +5$ beschreibt eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt $(0|5)$.

  • Die Parabelgleichung $x^2-6x+11$ hat die Scheitelpunktform $f(x) = (x-3)^2 +2$ und beschreibt eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(3|2)$.

  • Die Parabelgleichung $x^2+6x+11$ beschreibt die Spiegelung der eben genannten Normalparabel an der $y$-Achse. Sie hat daher den Scheitelpunkt $S(-3|2)$.

  • Der Graph der Funktion $f(x) = x^2+4x$ verläuft durch den Ursprung, denn $f(0) = 0$. Der Ursprung ist aber nicht der Scheitelpunkt, da die Scheitelpunktform lautet: $f(x) = (x-(-2))^2 -4$. Daher ist der Scheitelpunkt $S(-2|4)$