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Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e – Beispiele

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Martin Wabnik
Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e – Beispiele
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e – Beispiele

Ist eine quadratische Funktion in Scheitellpunktform (oder Scheitelform - das bedeutet das gleiche) gegeben, kannst du direkt ablesen

1) wo der Scheitelpunkt liegt (genauer gesagt: die Koordinaten des Scheitelpunktes)

2) ob die Parabel (also der Graph der quadratischen Funktion) nach oben oder nach unten geöffnet ist und

3) ob die Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist.

Wie das geht, wird im Video an drei Beispielen gezeigt.

Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bedeutung der Scheitelpunktform.

    Tipps

    Hier siehst du den Verlauf der Funktion $y=x^2$.

    Wenn du nun den Verlauf der Funktion $y=2x^2$ als Beispiel für $a>1$ betrachtest, wird diese dann schmaler oder breiter?

    Wenn du nun den Verlauf der Funktion $y=\frac{1}{2} \cdot x^2$ als Beispiel für $0<a<1$ betrachtest, wird diese dann schmaler oder breiter?

    Lösung

    Die Scheitelpunktform lautet $y=a \cdot (x-d)^2+e$. Alternativ kann diese auch durch $y=a \cdot (x+d)^2+e$ beschrieben werden, wobei sich das Vorzeichen innerhalb der Klammer verändert. Da es aber keinen Unterschied ausmacht und die x-Koordinate des Scheitelpunktes dieselbe bleibt, einigen wir uns im Folgenden auf die Schreibweise $y=a \cdot (x-d)^2+e$. Dies sind die wesentlichen Vorteile der Scheitelpunktform:

    • An der Scheitelpunktform kannst du die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen. Sie liegen bei $S~(d|e)$.
    • Du kannst ermitteln, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Liegt der Parameter bei $a>0$, so ist der Graph nach oben geöffnet. Im Fall, dass $a<0$, haben wir einen nach unten geöffneten Graphen.
    • Du kannst auch erkennen, ob die Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist. Dabei sind diejenigen Graphen breiter als die Normalparabel, deren Parameter entweder bei $-1<a<0$ oder bei $0<a<1$ liegt. Im Fall, dass $a<-1$ oder $ 1<a$, liegt ein im Vergleich zur Normalparabel schmalerer Graph vor.
  • Gib an, ob die Funktionen nach oben oder nach unten geöffnet sind.

    Tipps

    Die allgemeine Scheitelpunktform lautet $y=a \cdot (x-d)^2+e$. Du musst dir jeweils nur den Parameter $a$ anschauen.

    Lasse dich nicht durch die Koordinaten des Scheitelpunktes $d$ und $e$ irritieren.

    Lösung

    Bei der Frage, ob ein Funktionsgraph nach oben oder unten geöffnet ist, musst du nur den Parameter $a$ der Scheitelpunktform $y=a \cdot (x-d)^2+e$ betrachten.

    • Wenn $a$ größer ist als 0, so ist der Graph nach oben geöffnet.
    • Ist der Parameter $a$ dagegen kleiner als 0, dann liegt ein nach unten geöffneter Graph vor.
    Das kannst du dir bei diesen Beispielen näher anschauen.
    • $y=2 \cdot (x-1)^2-3$, hier ist $a=2$ und der Funktionsgraph nach oben geöffnet.
    • $y=-\frac{1}{10} \cdot (x+1)^2+5$, hier ist $a=-\frac{1}{10}$, die Parabel ist also nach unten geöffnet.
    • $y=\frac{1}{4} \cdot (x-0,5)^2-4$, hier ist $a=\frac{1}{4}>0$, die Parabel ist also nach oben geöffnet.
    Beachte, dass bei allen Beispielen die Koordinaten des Scheitelpunktes $d$ und $e$ aus der Scheitelpunktform $y=a \cdot (x-d)^2+e$ keinen Einfluss auf die Richtung der Öffnung besitzen.

  • Entscheide, welche Eigenschaften die beiden Funktionen besitzen.

    Tipps

    Der Parameter a der allgemeinen Scheitelpunktform $y=a \cdot (x-d)^2+e$ entscheidet über die Breite sowie über die Richtung, in welcher die Parabel geöffnet ist.

    Wenn du die beiden Parabeln zu $y=x^2$ sowie $y=2x^2$ miteinander vergleichst, kannst du beobachten, welche Auswirkung der Parameter auf die Form der Parabel hat.

    Lösung

    Die allgemeine Scheitelpunktform lautet: $y=a \cdot (x-d)^2+e$.

    Bei der Funktion $y=-\frac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2$ sind $a=-\frac{1}{3}$, $d=3$ und $e=-2$.

    • da $-1<a<0$, kannst du sofort erkennen, dass die Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel ist.
    • der Scheitelpunkt ist $S~(3|-2)$. Diesen kannst du einfach ablesen.
    Bei der Funktion $y=4 \cdot (x-4)^3+3$ sind $a=4$, $d=4$ und $e=3$.
    • durch $a>1$ kannst du sofort erkennen, dass die Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel ist.
    • der Scheitelpunkt ist $S~(4|3)$. Diesen kannst du einfach ablesen.

  • Bestimme die Nullstellen der Funktion.

    Tipps

    Den Scheitelpunkt kannst du aus der Scheitelpunktform ablesen. Achte dabei bitte auf das Vorzeichen der x-Koordinate.

    Du kannst die Nullstellen hier auch ohne die p-q-Formel berechnen.

    Nullstellen werden diejenigen Stellen auf der x-Achse genannt, wo der Graph der Funktion die x-Achse schneidet und der Funktionswert somit $y=0$ beträgt.

    Setze die Funktion also gleich 0.

    Lösung

    $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2$ hat den Scheitelpunkt $S(2|2)$. In der x-Koordinate dreht sich das Vorzeichen um, die y-Koordinate kannst du abschreiben.

    Dieser Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss die Funktion 2 Nullstellen haben.

    Diese kannst du berechnen ohne die p-q-Formel.

    $\begin{align*} -\frac{1}{2}(x-2)^2+2& = 0 &|& -2 \\ -\frac{1}{2}(x-2)^2&=-2 &|& \cdot (-2)\\ (x-2)^2&=4 &|& \sqrt{~} \\ x-2& =±2~|~+2\\ x_1=2+2=4 \\ x_2=2-2=0 \end{align*}$

    Du kannst also mit der Scheitelpunktform auch Nullstellen berechnen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes befindet sich genau in der Mitte der beiden Nullstellen.

  • Entscheide, welche Aussagen über die Funktion $y=2 \cdot (x-1)^2-3$ stimmen.

    Tipps

    Die allgemeine Scheitelpunktform lautet: $y=a \cdot (x-d)^2+e$.

    Aus der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S(d|e)$ direkt ablesen.

    Achte bitte auf das Vorzeichen in der x-Koordinate.

    Die Koordinaten des Scheitelpunktes haben weder eine Auswirkung auf die Breite noch auf die Richtung, in welcher der Funktionsgraph geöffnet ist.

    Lösung

    Ganz allgemein lautet eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $y=a \cdot (x-d)^2+e$. In dieser Scheitelpunktform sind $a=2$, $d=1$ und $e=-3$.

    Und schon kann's losgehen.

    Da $a=2$ ist, ist dies eine nach oben geöffnete Parabel, die schmaler verläuft als die Normalparabel, denn der Parameter ist positiv und größer als 1.

    Ob eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, ob sie schmaler oder breiter als die Normalparabel ist, hängt ausschließlich vom Parameter $a$ ab.

    Der Scheitelpunkt ist durch $d$ und $e$ gegeben. Er lautet hier: $S(1|-3)$.

  • Leite die Scheitelpunktform her.

    Tipps

    Die allgemeine Form der Scheitelpunktform ist $y=a \cdot (x-d)^2+e$.

    Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um einen Teil des Terms mittels der 2. binomischen Formel schreiben zu können.

    Dabei wird die Zahl, welche dem $b^2$ aus $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ entspricht, hinzuaddiert und umgehend wieder subtrahiert, damit sich der Term nicht ändert.

    Aus der Scheitelpunktform $y=a(x-d)^2+e$ kannst du den Scheitelpunkt $S(d|e)$ ablesen.

    Lösung

    Um von der Normalform einer quadratischen Gleichung zu einer Scheitelpunktform zu gelangen, musst du im Allgemeinen den Faktor $a$ ausklammern und den Term in der Klammer quadratisch ergänzen. Da hier aber der Parameter $a=1$ ist, muss auch nichts ausgeklammert werden.

    Nun wollen wir den Klammerausdruck erzeugen, aus welchem wir später die x-Koordinate des Scheitelpunktes ablesen können. Wir können dafür sofort mit der quadratischen Ergänzung beginnen, bei welcher man die binomischen Formeln benutzt. In unserem Fall wollen wir die 2. binomische Formel verwenden, welche $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ lautet.

    Dazu schauen wir uns den Ausdruck $x^2-2\cdot x\cdot1$ etwas näher an. Das $a$ entspricht dem $x$ und $b$ der $1$, du musst somit noch $1$$^2=1$ addieren. Nun hast du den Term verändert. Damit dieser gleich bleibt, musst du $1$ auch wieder abziehen: $y=x^2-2x+1-1+3$.

    Nun wenden wir die binomische Formel an und fassen $x^2-2x+1$ zu $(x-1)^2$ zusammen. Wir können also nun unserem Term schreiben durch $y=(x-1)^2-1+3$. Es bleibt also noch, dies weiter zusammenzufassen, sodass wir aus $y=(x-1)^2+2$ den Scheitelpunkt ablesen können. Dieser liegt bei $S(1|2)$.

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