Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele

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Grundlagen zum Thema Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele
Ist eine quadratische Funktion in Scheitellpunktform (oder Scheitelform - das bedeutet das gleiche) gegeben, kannst du direkt ablesen
1) wo der Scheitelpunkt liegt (genauer gesagt: die Koordinaten des Scheitelpunktes)
2) ob die Parabel (also der Graph der quadratischen Funktion) nach oben oder nach unten geöffnet ist und
3) ob die Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist.
Wie das geht, wird im Video an drei Beispielen gezeigt.
Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele Übung
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Fasse die Bedeutung von a in der Scheitelpunktform zusammen.
TippsDie Bedeutung von $a$ in Bezug auf „schmaler oder breiter als die Normalparabel“ kannst du dir an Funktionen mit der Funktionsgleichung $y=a~x^2$ klarmachen.
$y= x^2$ ist die Funktionsgleichung mit dem Funktionsgraphen der Normalparabel, die nach oben geöffnet ist.
Wenn die Normalparabel an der x-Achse gespiegelt wird, dann ist diese nach unten geöffnet. Die Funktionsgleichung lautet dann $y=- x^2$
Hier siehst du die Funktionsgraphen (Parabeln) der quadratischen Funktionen mit den folgenden Funktionsgleichungen:
rot: $y=-\frac{1}{2}x^2$
blau: $y=-x^2$
grün: $y=-\frac{3}{2}x^2$
LösungPräge dir die Bedeutung des Faktors $a$ bei der Scheitelpunktform gut ein:
- $a>1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
- $a=1$:Die Parabel ist die nach oben geöffnete Normalparabel.
- $0<a<1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
- $a=0$: Jetzt wäre die Funktion nicht quadratisch. Merke dir $a≠0$.
- $-1<a<0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
- $a=-1$: Die Parabel ist die nach unten geöffnete Normalparabel.
- $a<-1$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
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Beschreibe die Bedeutung des Faktors a für die Form der Parabel.
TippsDie Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:
$y=a~(x+d)^2+e$
Schmaler oder breiter?
Die Parabel wird schmaler, wenn in der Scheitelpunktform entweder $a>1$ oder $a<-1$ ist.
Sonst ist die Parabel breiter als die Normalparabel.
Du kannst dir eine Eselsbrücke für die Öffnung bauen:
- a größer 0 -> nach oben geöffnet.
- a kleiner 0 -> nach unten geöffnet.
LösungBei der Frage, ob eine Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist, musst du nur $a$ betrachten.
- Wenn $a>1$ oder $a<-1$ ist, dann ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.
- Wenn $-1<a<1$ oder $0<a<1$ gelten, dann ist die Parabel breiter als die Normalparabel.
- $y=-\frac{1}{10} \cdot (x+1)^2~+~5$, hier gilt $-1<a=-\frac{1}{10}<0$. Die Parabel ist also nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
- $y=2 \cdot (x-1)^2~-~3$, hier gilt $a=2>1$. Diese Parabel ist also nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
- $y=\frac{1}{4} \cdot (x-0,5)^2~-~4$, hier gilt $0<a=\frac{1}{4}<1$. Diese Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
- $y=-13 \cdot (x+2)^2~+~3$, hier gilt $a=-13<-1$. Die Parabel ist also nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
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Bestimmte die Eigenschaften der Funktion in der Scheitelpunktform.
TippsBeachte bei der Angabe des Scheitelpunktes, dass du bei der x-Koordinate das Vorzeichen vertauschst.
Ganz allgemein ist eine Darstellung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform gegeben durch $y=a~(x+d)^2~+~e$.
Vergleiche diese allgemeine Darstellung mit dem Beispiel oben.
LösungWir wollen nun klären, welche Aussagen richtig oder falsch waren.
- $d=2$: Das stimmt, mit d wird aber die x- und nicht die y-Koordinate des Scheitelpunktes bestimmt. Also ist die erste Aussage falsch.
- In diesem Beispiel ist $a=1,5>1$. Damit ist die Parabel nach oben geöffnet ($a>0$) und schmaler als die Normalparabel ($a>1$). Die zweite Aussage ist also auch falsch.
- Den Scheitelpunkt kannst du aus der Scheitelpunktform $y=1,5~(x+2)^2~-~1$ ablesen. Es gilt nämlich $y=a~(x+d)^2~+~e \rightarrow S(-d|e)$. Beachte dabei bitte, dass in der x-Koordinate das Vorzeichen getauscht wird und nicht in der y-Koordinate. Also ist der Scheitelpunkt $S(-2|-1)$. Darum ist die 4. Aussage falsch und die 5. dann aber richtig.
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Bestimme jeweils den Scheitelpunkt.
TippsNicht vergessen: Vorzeichen tauschen in der x-Koordinate des Scheitelpunktes.
Schau dir die allgemeine Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ an. Für den Scheitelpunkt brauchst du nur $d$ und $e$.
LösungDen Scheitelpunkt kannst du an der Scheitelpunktform ablesen. Denke daran: Tausche das Vorzeichen bei der x-Koordinate des Scheitelpunktes.
- $y=-(x+3)^2~+~1$ hat den Scheitelpunkt $S(-3|1)$.
- $y=-\frac{1}{3}~(x-3)^2~+~6$ hat den Scheitelpunkt $S(3|6)$.
- $y=(x+1)^2$. Hier steht kein $e$? Doch, und zwar ist $e=0$. Also hat die Funktion den Scheitelpunkt $S(-1|0)$.
- $y=a~(x+5,5)^2~-~3,5$ hat den Scheitelpunkt $S(-5,5|-3,5)$. Der Faktor $a$ ist beim Scheitelpunkt in der allgemeinen Scheitelpunktform unerheblich für die Lage des Scheitelpunktes.
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Ergänze die Erklärungen zur Scheitelpunktform.
TippsDas Vorzeichen von $a$ bestimmt die Öffnung.
Blau gestrichelt gezeichnet ist eine nach oben geöffnete Normalparabel $y=x^2$.
Die Parabel zu $y=\frac{2}{3}~x^2$ ist grün gezeichnet. Diese ist breiter als die Normalparabel. Woran liegt das?
Der Name „Scheitelpunktform“ sagt aus, wofür diese Darstellung benötigt wird.
LösungDie Scheitelpunktform lautet $y=a~(x+d)^2~+~e$.
An dieser Scheitelpunktform kannst du die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen.
Du kannst sehen, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist: Du kannst dir eine Eselsbrücke für die Öffnung bauen:
- a größer 0 $\rightarrow$ nach oben geöffnet.
- a kleiner 0 $\rightarrow$ nach unten geöffnet.
- $a>1$ $\rightarrow$ nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
- $0<a<1$ $\rightarrow$ nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
- $-1<a<0$ $\rightarrow$ nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
- $a<-1$ $\rightarrow$ nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
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Erkläre den Weg von der allgemeinen quadratischen Funktionsgleichung zur Scheitelpunktform.
TippsBei einer quadratischen Ergänzung wird ein quadratischer Term zu einer binomischen Formel durch die Addition von 0 ergänzt.
Die 1. binomische Formel lautet: $(a+b)^2=a^2~+~2ab~+~b^2$.
Hier ein Beispiel: $(x+1)^2=x^2+2x+1$
Bei der quadratischen Ergänzung wird eine 0 addiert. Hier ein Beispiel:
$x^2+2x=x^2+2\cdot 1x=x^2+2\cdot 1x~+1^2~-1^2$.
Die ersten drei Terme bilden also die 1. binomische Formel. Es gilt also: $(x+1)^2-1$
Nach dem Distributivgesetz gilt: $a \cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
LösungHier ist der gesamte Rechenweg:
$\begin{align*} y & =2~x^2~+~8x~+~6 \\ & =2(x^2~+~4x)~+~6 \\ & =2(x^2~+~4x~+~2^2~-~2^2)~+~6 \\ & =2((x+2)^2~-~4)~+~6 \\ & =2(x+2)^2~-~8~+~6 \\ & =2(x+2)^2~-2 \end{align*}$
- Ausklammern von $a=2$.
- quadratische Ergänzung - geschicktes Addieren der $0=2^2~-~2^2=4-4$.
- 1. binomische Formel
- Ausmultiplizieren der Klammer
Und aus dieser Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S(-2|-2)$ ablesen.

Scheitelpunktform

Umwandlung: Scheitelpunktform und allgemeine Form

Scheitelpunkt

Quadratische Funktion – Parameter

Scheitelpunktform – Sonderfälle

Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e

Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele

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Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e – Beispiele

Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (1)

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Scheitelpunktform – Herleitung

Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1)

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