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Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele

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Martin Wabnik
Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele

Ist eine quadratische Funktion in Scheitellpunktform (oder Scheitelform - das bedeutet das gleiche) gegeben, kannst du direkt ablesen

1) wo der Scheitelpunkt liegt (genauer gesagt: die Koordinaten des Scheitelpunktes)

2) ob die Parabel (also der Graph der quadratischen Funktion) nach oben oder nach unten geöffnet ist und

3) ob die Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist.

Wie das geht, wird im Video an drei Beispielen gezeigt.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. ist es egal wie viel breiter oder schmaler sie ist

    Von Heikeabert, vor mehr als einem Jahr

Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse die Bedeutung von a in der Scheitelpunktform zusammen.

    Tipps

    Die Bedeutung von $a$ in Bezug auf „schmaler oder breiter als die Normalparabel“ kannst du dir an Funktionen mit der Funktionsgleichung $y=a~x^2$ klarmachen.

    $y= x^2$ ist die Funktionsgleichung mit dem Funktionsgraphen der Normalparabel, die nach oben geöffnet ist.

    Wenn die Normalparabel an der x-Achse gespiegelt wird, dann ist diese nach unten geöffnet. Die Funktionsgleichung lautet dann $y=- x^2$

    Hier siehst du die Funktionsgraphen (Parabeln) der quadratischen Funktionen mit den folgenden Funktionsgleichungen:

    rot: $y=-\frac{1}{2}x^2$

    blau: $y=-x^2$

    grün: $y=-\frac{3}{2}x^2$

    Lösung

    Präge dir die Bedeutung des Faktors $a$ bei der Scheitelpunktform gut ein:

    • $a>1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    • $a=1$:Die Parabel ist die nach oben geöffnete Normalparabel.
    • $0<a<1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a=0$: Jetzt wäre die Funktion nicht quadratisch. Merke dir $a≠0$.
    • $-1<a<0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a=-1$: Die Parabel ist die nach unten geöffnete Normalparabel.
    • $a<-1$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

  • Beschreibe die Bedeutung des Faktors a für die Form der Parabel.

    Tipps

    Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

    $y=a~(x+d)^2+e$

    Schmaler oder breiter?

    Die Parabel wird schmaler, wenn in der Scheitelpunktform entweder $a>1$ oder $a<-1$ ist.

    Sonst ist die Parabel breiter als die Normalparabel.

    Du kannst dir eine Eselsbrücke für die Öffnung bauen:

    • a größer 0 -> nach oben geöffnet.
    • a kleiner 0 -> nach unten geöffnet.

    Lösung

    Bei der Frage, ob eine Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist, musst du nur $a$ betrachten.

    • Wenn $a>1$ oder $a<-1$ ist, dann ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.
    • Wenn $-1<a<1$ oder $0<a<1$ gelten, dann ist die Parabel breiter als die Normalparabel.
    Das kannst du dir bei den Beispielen anschauen.
    • $y=-\frac{1}{10} \cdot (x+1)^2~+~5$, hier gilt $-1<a=-\frac{1}{10}<0$. Die Parabel ist also nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $y=2 \cdot (x-1)^2~-~3$, hier gilt $a=2>1$. Diese Parabel ist also nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    • $y=\frac{1}{4} \cdot (x-0,5)^2~-~4$, hier gilt $0<a=\frac{1}{4}<1$. Diese Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $y=-13 \cdot (x+2)^2~+~3$, hier gilt $a=-13<-1$. Die Parabel ist also nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    Beachte bitte: Bei der Frage, ob die Parabel schmaler oder breiter als die Normalparabel ist, sind die Koordinaten des Scheitelpunktes $d$ und $e$ aus der Scheitelpunktform $y=a~(x-d)^2~+~e$ nicht entscheidend.

  • Bestimmte die Eigenschaften der Funktion in der Scheitelpunktform.

    Tipps

    Beachte bei der Angabe des Scheitelpunktes, dass du bei der x-Koordinate das Vorzeichen vertauschst.

    Ganz allgemein ist eine Darstellung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform gegeben durch $y=a~(x+d)^2~+~e$.

    Vergleiche diese allgemeine Darstellung mit dem Beispiel oben.

    Lösung

    Wir wollen nun klären, welche Aussagen richtig oder falsch waren.

    • $d=2$: Das stimmt, mit d wird aber die x- und nicht die y-Koordinate des Scheitelpunktes bestimmt. Also ist die erste Aussage falsch.
    • In diesem Beispiel ist $a=1,5>1$. Damit ist die Parabel nach oben geöffnet ($a>0$) und schmaler als die Normalparabel ($a>1$). Die zweite Aussage ist also auch falsch.
    • Den Scheitelpunkt kannst du aus der Scheitelpunktform $y=1,5~(x+2)^2~-~1$ ablesen. Es gilt nämlich $y=a~(x+d)^2~+~e \rightarrow S(-d|e)$. Beachte dabei bitte, dass in der x-Koordinate das Vorzeichen getauscht wird und nicht in der y-Koordinate. Also ist der Scheitelpunkt $S(-2|-1)$. Darum ist die 4. Aussage falsch und die 5. dann aber richtig.

  • Bestimme jeweils den Scheitelpunkt.

    Tipps

    Nicht vergessen: Vorzeichen tauschen in der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

    Schau dir die allgemeine Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ an. Für den Scheitelpunkt brauchst du nur $d$ und $e$.

    Lösung

    Den Scheitelpunkt kannst du an der Scheitelpunktform ablesen. Denke daran: Tausche das Vorzeichen bei der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

    • $y=-(x+3)^2~+~1$ hat den Scheitelpunkt $S(-3|1)$.
    • $y=-\frac{1}{3}~(x-3)^2~+~6$ hat den Scheitelpunkt $S(3|6)$.
    • $y=(x+1)^2$. Hier steht kein $e$? Doch, und zwar ist $e=0$. Also hat die Funktion den Scheitelpunkt $S(-1|0)$.
    • $y=a~(x+5,5)^2~-~3,5$ hat den Scheitelpunkt $S(-5,5|-3,5)$. Der Faktor $a$ ist beim Scheitelpunkt in der allgemeinen Scheitelpunktform unerheblich für die Lage des Scheitelpunktes.

  • Ergänze die Erklärungen zur Scheitelpunktform.

    Tipps

    Das Vorzeichen von $a$ bestimmt die Öffnung.

    Blau gestrichelt gezeichnet ist eine nach oben geöffnete Normalparabel $y=x^2$.

    Die Parabel zu $y=\frac{2}{3}~x^2$ ist grün gezeichnet. Diese ist breiter als die Normalparabel. Woran liegt das?

    Der Name „Scheitelpunktform“ sagt aus, wofür diese Darstellung benötigt wird.

    Lösung

    Die Scheitelpunktform lautet $y=a~(x+d)^2~+~e$.

    An dieser Scheitelpunktform kannst du die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen.

    Du kannst sehen, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist: Du kannst dir eine Eselsbrücke für die Öffnung bauen:

    • a größer 0 $\rightarrow$ nach oben geöffnet.
    • a kleiner 0 $\rightarrow$ nach unten geöffnet.
    Du kannst auch erkennen, ob die Parabel breiter oder schmaler ist als die Normalparabel: Merke:
    • $a>1$ $\rightarrow$ nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    • $0<a<1$ $\rightarrow$ nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $-1<a<0$ $\rightarrow$ nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a<-1$ $\rightarrow$ nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

  • Erkläre den Weg von der allgemeinen quadratischen Funktionsgleichung zur Scheitelpunktform.

    Tipps

    Bei einer quadratischen Ergänzung wird ein quadratischer Term zu einer binomischen Formel durch die Addition von 0 ergänzt.

    Die 1. binomische Formel lautet: $(a+b)^2=a^2~+~2ab~+~b^2$.

    Hier ein Beispiel: $(x+1)^2=x^2+2x+1$

    Bei der quadratischen Ergänzung wird eine 0 addiert. Hier ein Beispiel:

    $x^2+2x=x^2+2\cdot 1x=x^2+2\cdot 1x~+1^2~-1^2$.

    Die ersten drei Terme bilden also die 1. binomische Formel. Es gilt also: $(x+1)^2-1$

    Nach dem Distributivgesetz gilt: $a \cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

    Lösung

    Hier ist der gesamte Rechenweg:

    $\begin{align*} y & =2~x^2~+~8x~+~6 \\ & =2(x^2~+~4x)~+~6 \\ & =2(x^2~+~4x~+~2^2~-~2^2)~+~6 \\ & =2((x+2)^2~-~4)~+~6 \\ & =2(x+2)^2~-~8~+~6 \\ & =2(x+2)^2~-2 \end{align*}$

    1. Ausklammern von $a=2$.
    2. quadratische Ergänzung - geschicktes Addieren der $0=2^2~-~2^2=4-4$.
    3. 1. binomische Formel
    4. Ausmultiplizieren der Klammer
    Fertig.

    Und aus dieser Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S(-2|-2)$ ablesen.

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