Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele

Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e – Beispiele Übung

• Fasse die Bedeutung von a in der Scheitelpunktform zusammen.

  Tipps

  Die Bedeutung von $a$ in Bezug auf „schmaler oder breiter als die Normalparabel“ kannst du dir an Funktionen mit der Funktionsgleichung $y=a~x^2$ klarmachen.

  $y= x^2$ ist die Funktionsgleichung mit dem Funktionsgraphen der Normalparabel, die nach oben geöffnet ist.

  Wenn die Normalparabel an der x-Achse gespiegelt wird, dann ist diese nach unten geöffnet. Die Funktionsgleichung lautet dann $y=- x^2$

  Hier siehst du die Funktionsgraphen (Parabeln) der quadratischen Funktionen mit den folgenden Funktionsgleichungen:

  rot: $y=-\frac{1}{2}x^2$

  blau: $y=-x^2$

  grün: $y=-\frac{3}{2}x^2$

  Lösung

  Präge dir die Bedeutung des Faktors $a$ bei der Scheitelpunktform gut ein:

  • $a>1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
  • $a=1$:Die Parabel ist die nach oben geöffnete Normalparabel.
  • $0<a<1$: Die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a=0$: Jetzt wäre die Funktion nicht quadratisch. Merke dir $a≠0$.
  • $-1<a<0$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a=-1$: Die Parabel ist die nach unten geöffnete Normalparabel.
  • $a<-1$: Die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

• Beschreibe die Bedeutung des Faktors a für die Form der Parabel.

  Tipps

  Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

  $y=a~(x+d)^2+e$

  Schmaler oder breiter?

  Die Parabel wird schmaler, wenn in der Scheitelpunktform entweder $a>1$ oder $a<-1$ ist.

  Sonst ist die Parabel breiter als die Normalparabel.

  Du kannst dir eine Eselsbrücke für die Öffnung bauen:

  • a größer 0 -> nach oben geöffnet.
  • a kleiner 0 -> nach unten geöffnet.

  Lösung

  Bei der Frage, ob eine Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist, musst du nur $a$ betrachten.

  • Wenn $a>1$ oder $a<-1$ ist, dann ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.
  • Wenn $-1<a<1$ oder $0<a<1$ gelten, dann ist die Parabel breiter als die Normalparabel.

  Das kannst du dir bei den Beispielen anschauen.

  • $y=-\frac{1}{10} \cdot (x+1)^2~+~5$, hier gilt $-1<a=-\frac{1}{10}<0$. Die Parabel ist also nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $y=2 \cdot (x-1)^2~-~3$, hier gilt $a=2>1$. Diese Parabel ist also nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
  • $y=\frac{1}{4} \cdot (x-0,5)^2~-~4$, hier gilt $0<a=\frac{1}{4}<1$. Diese Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $y=-13 \cdot (x+2)^2~+~3$, hier gilt $a=-13<-1$. Die Parabel ist also nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

  Beachte bitte: Bei der Frage, ob die Parabel schmaler oder breiter als die Normalparabel ist, sind die Koordinaten des Scheitelpunktes $d$ und $e$ aus der Scheitelpunktform $y=a~(x-d)^2~+~e$ nicht entscheidend.

• Bestimmte die Eigenschaften der Funktion in der Scheitelpunktform.

  Tipps

  Beachte bei der Angabe des Scheitelpunktes, dass du bei der x-Koordinate das Vorzeichen vertauschst.

  Ganz allgemein ist eine Darstellung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform gegeben durch $y=a~(x+d)^2~+~e$.

  Vergleiche diese allgemeine Darstellung mit dem Beispiel oben.

  Lösung

  Wir wollen nun klären, welche Aussagen richtig oder falsch waren.

  • $d=2$: Das stimmt, mit d wird aber die x- und nicht die y-Koordinate des Scheitelpunktes bestimmt. Also ist die erste Aussage falsch.
  • In diesem Beispiel ist $a=1,5>1$. Damit ist die Parabel nach oben geöffnet ($a>0$) und schmaler als die Normalparabel ($a>1$). Die zweite Aussage ist also auch falsch.
  • Den Scheitelpunkt kannst du aus der Scheitelpunktform $y=1,5~(x+2)^2~-~1$ ablesen. Es gilt nämlich $y=a~(x+d)^2~+~e \rightarrow S(-d|e)$. Beachte dabei bitte, dass in der x-Koordinate das Vorzeichen getauscht wird und nicht in der y-Koordinate. Also ist der Scheitelpunkt $S(-2|-1)$. Darum ist die 4. Aussage falsch und die 5. dann aber richtig.

• Bestimme jeweils den Scheitelpunkt.

  Tipps

  Nicht vergessen: Vorzeichen tauschen in der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

  Schau dir die allgemeine Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ an. Für den Scheitelpunkt brauchst du nur $d$ und $e$.

  Lösung

  Den Scheitelpunkt kannst du an der Scheitelpunktform ablesen. Denke daran: Tausche das Vorzeichen bei der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

  • $y=-(x+3)^2~+~1$ hat den Scheitelpunkt $S(-3|1)$.
  • $y=-\frac{1}{3}~(x-3)^2~+~6$ hat den Scheitelpunkt $S(3|6)$.
  • $y=(x+1)^2$. Hier steht kein $e$? Doch, und zwar ist $e=0$. Also hat die Funktion den Scheitelpunkt $S(-1|0)$.
  • $y=a~(x+5,5)^2~-~3,5$ hat den Scheitelpunkt $S(-5,5|-3,5)$. Der Faktor $a$ ist beim Scheitelpunkt in der allgemeinen Scheitelpunktform unerheblich für die Lage des Scheitelpunktes.

• Ergänze die Erklärungen zur Scheitelpunktform.

  Tipps

  Das Vorzeichen von $a$ bestimmt die Öffnung.

  Blau gestrichelt gezeichnet ist eine nach oben geöffnete Normalparabel $y=x^2$.

  Die Parabel zu $y=\frac{2}{3}~x^2$ ist grün gezeichnet. Diese ist breiter als die Normalparabel. Woran liegt das?

  Der Name „Scheitelpunktform“ sagt aus, wofür diese Darstellung benötigt wird.

  Lösung

  Die Scheitelpunktform lautet $y=a~(x+d)^2~+~e$.

  An dieser Scheitelpunktform kannst du die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen.

  Du kannst sehen, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist: Du kannst dir eine Eselsbrücke für die Öffnung bauen:

  • a größer 0 $\rightarrow$ nach oben geöffnet.
  • a kleiner 0 $\rightarrow$ nach unten geöffnet.

  Du kannst auch erkennen, ob die Parabel breiter oder schmaler ist als die Normalparabel: Merke:

  • $a>1$ $\rightarrow$ nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
  • $0<a<1$ $\rightarrow$ nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $-1<a<0$ $\rightarrow$ nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a<-1$ $\rightarrow$ nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

• Erkläre den Weg von der allgemeinen quadratischen Funktionsgleichung zur Scheitelpunktform.

  Tipps

  Bei einer quadratischen Ergänzung wird ein quadratischer Term zu einer binomischen Formel durch die Addition von 0 ergänzt.

  Die 1. binomische Formel lautet: $(a+b)^2=a^2~+~2ab~+~b^2$.

  Hier ein Beispiel: $(x+1)^2=x^2+2x+1$

  Bei der quadratischen Ergänzung wird eine 0 addiert. Hier ein Beispiel:

  $x^2+2x=x^2+2\cdot 1x=x^2+2\cdot 1x~+1^2~-1^2$.

  Die ersten drei Terme bilden also die 1. binomische Formel. Es gilt also: $(x+1)^2-1$

  Nach dem Distributivgesetz gilt: $a \cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

  Lösung

  Hier ist der gesamte Rechenweg:

  $\begin{align*} y & =2~x^2~+~8x~+~6 \\ & =2(x^2~+~4x)~+~6 \\ & =2(x^2~+~4x~+~2^2~-~2^2)~+~6 \\ & =2((x+2)^2~-~4)~+~6 \\ & =2(x+2)^2~-~8~+~6 \\ & =2(x+2)^2~-2 \end{align*}$

  1. Ausklammern von $a=2$.
  2. quadratische Ergänzung - geschicktes Addieren der $0=2^2~-~2^2=4-4$.
  3. 1. binomische Formel
  4. Ausmultiplizieren der Klammer

  Fertig.

  Und aus dieser Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S(-2|-2)$ ablesen.