Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e

Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e Übung

• Gib an, welche Begriffe noch fehlen, um die Erklärung zur Scheitelpunktform zu vervollständigen.

  Tipps

  Die Gleichung einer quadratischen Funktion in Normalform lautet:

  $y=ax^2+bx+c$.

  Du kannst dir für den Zusammenhang zwischen der Öffnung der Parabel und dem Faktor $a$ eine Eselsbrücke bauen:

  oben größer

  unten kleiner

  Lösung

  Was ist eine Scheitelpunktform und was kannst du daran ganz leicht erkennen?

  • Jede quadratische Funktion besitzt eine Scheitelpunktform.
  • Diese lautet $y=a~(x-d)^2~+~e$.
  • Aus dieser Form kann der Scheitelpunkt abgelesen. werden. Er lautet $S(d|e)$.
  • Der Verlauf einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

  Von dem Faktor $a$ hängt die Öffnung der Parabel ab:

  • ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.
  • ob sie schmaler oder breiter als die Normalparabel ist.

  • $a≠0$, ansonsten wäre die Funktion ja nicht quadratisch.
  • $a>1$: Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
  • $0<a<1$: Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a=1$: nach oben geöffnete Normalparabel.
  • $a=-1$: nach unten geöffnete Normalparabel.
  • $-1<a<0$: Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a<-1$: Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

  Es ist wichtig, dass du dir diese Bedeutung von $a$ einprägst.

• Ergänze zu jedem Faktor $a$ die Beschreibung zur Form der Parabel.

  Tipps

  Schau dir noch mal das Bild oben an.

  Du siehst eine nach oben geöffnete Normalparabel.

  „oben“ (Eselsbrücke) „größer“

  Zeichne den Verlauf der Funktion $y=x^2$ in ein Koordinatensystem.

  Bei der Funktionsgleichung $y=2~x^2$ gilt $a>1$.

  Zeichne diese Funktion in das gleiche Koordinatensystem ein.

  Zeichne den Verlauf der Funktion $y=x^2$ in ein Koordinatensystem.

  Bei der Funktionsgleichung $y=\frac{1}{2}~x^2$ gilt $0<a<1$.

  Zeichne diese Funktion in das gleiche Koordinatensystem.

  Die Funktionsgleichung zu der Parabel oben lautet: $y= 1\cdot (x-0)^2-2=x^2-2$

  Lösung

  Von dem Faktor $a$ hängt der Verlauf der Parabel ab:

  • ob sie nach oben oder unten geöffnet ist.
  • ob sie schmaler oder breiter als die Normalparabel ist.

  • $a≠0$, ansonsten wäre die Funktion nicht quadratisch.
  • $a>1$: Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
  • $0<a<1$: Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a=1$: nach oben geöffnete Normalparabel.
  • $a=-1$: nach unten geöffnete Normalparabel.
  • $-1<a<0$: Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a<-1$: Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

  Es ist wichtig, dass du dir diese Bedeutung von $a$ einprägst.

• Arbeite die Beschreibungen zu den Funktionsgraphen der Beispiele heraus.

  Tipps

  Wenn in der Funktionsgleichung $a=±1$ ist, dann entspricht der Funktionsgraph einer Normalparabel.

  Wann ist diese nach oben und wann nach unten geöffnet?

  Schau dir die Funktionsgleichung ganz oben an:

  Der Verlauf des Funktionsgraphen entspricht einer Normalparabel, die nach unten geöffnet ist und der Scheitelpunkt lautet $S(2|2)$.

  Hier ist ein Fehler aufgetaucht.

  Die Parabel ist keine Normalparabel, denn dafür müsste $a=±1$ sein. Hier ist allerdings $a=-2$.

  Die Parabel ist nach unten geöffnet ($a<1$) und der Scheitelpunkt ist auch korrekt.

  Lösung

  Der Funktionsgraph der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=(x-1)^2~+~1$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel, da $a=1>0$ ist.

  Der Scheitelpunkt der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=2~(x-1)^2~+~1$ ist $S(1|1)$. Die y-Koordinate des Scheitelpunktes kannst du abschreiben. Die x-Koordinate erhalten wir durch einen Vorzeichenwechsel.

  Die Parabel zur Funktion mit der Funktionsgleichung $y=2~(x-1)^2~+~1$ ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel, da $a=2>1$ ist.

  Eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(-1|1)$ hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=a~(x-1)^2~+~1$, bei der $a>0$ sein muss.

• Prüfe die folgenden Aussagen zur Scheitelpunktform und zu Parabeln auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Ist die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform $y=a~(x-d)^2~+~e$ gegeben, so beachte, dass in der x-Koordinate $d$ das Vorzeichen getauscht wird, in der y-Koordinate $e$ nicht.

  Die Scheitelpunktform lautet $y=a~(x-d)^2~+~e$.

  Dann ist durch $S~(~d~|~e~)$ der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion gegeben.

  Die blau gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. Die dazugehörige Funktionsgleichung lautet $y=x^2$.

  Die grüne Parabel gehört zu der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=\frac{2}{3}x^2$.

  Welche Parabel ist breiter? Was ist der Unterschied in den Funktionsgleichungen?

  Lösung

  Ist die Funktion in der Scheitelpunktform $y=a~(x-d)^2~+~e$ gegeben, so ist die x-Koordinate $d$. In dem obigen Beispiel wäre diese $3$ und nicht $-3$. Die Aussage ist also falsch.

  Eine Normalparabel kann nach oben ($a=1$) und nach unten ($a=-1$) geöffnet sein. Die Aussage war also auch falsch.

  Wenn $a<-1$, dann ist die Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel. Diese Aussage ist wahr.

  Ist die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform $y=2(x-3)^2+2$ gegeben, so ist der Scheitelpunkt $S(3|2)$. Merke: Bei der x-Koordinate wird das Vorzeichen getauscht, die y-Koordinate kannst du einfach abschreiben. Die Aussage war also falsch.

  Jede quadratische Funktion kann auch in der Scheitelpunktform geschrieben werden und hat damit auch einen Scheitelpunkt. Die Aussage war also richtig.

• Gib den richtigen Verlauf der Funktion an.

  Tipps

  Der Graph von $3(x-1)^2+2$ ist eine nach oben geöffnete ($a=3>0$) Parabel, die schmaler ($a=3>1$) ist als die Normalparabel.

  Ist in der Scheitelpunktform $y=a(x-d)^2+e$ zum Beispiel $a>0$, so ist die Parabel nach oben geöffnet.

  Ist in der Scheitelpunktform $y=a(x-d)^2+e$ zum Beispiel $0<a<1$, so ist die Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.

  Lösung

  Für den Verlauf (oben, unten, schmaler, breiter) ist ausschließlich der Faktor $a$ von Bedeutung.

  Präge dir dies gut ein.

  • $a≠0$, ansonsten wäre die Funktion ja nicht quadratisch.
  • $a>1$: Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
  • $0<a<1$: Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a=1$: nach oben geöffnete Normalparabel.
  • $a=-1$: nach unten geöffnete Normalparabel.
  • $-1<a<0$: Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
  • $a<-1$: Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.

  1. Der Graph von $y=1(x-0)^2+0$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel ($a=1$).
  2. Der Graph von $y=-1(x-0)^2+0$ ist eine nach unten geöffnete Normalparabel ($a=-1$).
  3. Der Graph von $y=7(x-0)^2+0$ ist eine nach oben geöffnete Parabel, die schmaler ist als die Normalparabel ($a=7$).
  4. Der Graph von $y=0,25(x-0)^2+0$ ist eine nach oben geöffnete Parabel, die breiter als die Normalparabel ist ($a=0,25$).

  Der Scheitelpunkt bei allen Funktionen ist der Ursprung $S~(~0~|~0~)$.

• Bestimme die Koordinaten der Scheitelpunkte der Funktionen.

  Tipps

  Wenn die Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist, kannst du den Scheitelpunkt ganz leicht ablesen.

  Achte dabei bitte auf das Vorzeichen der x-Koordinate.

  Schaue dir bei jeder Funktion an, wie $a,~b$ und $c$ aussehen und setze diese dann in die Formel für den Scheitelpunkt ein.

  Zur Kontrolle kannst du die Scheitelpunktform auch wieder ausmultiplizieren.

  Du kannst den Scheitelpunkt auch berechnen, indem du zuerst die x-Koordinate bestimmst.

  Diese ist $-\frac{b}{2a}$ und diese x-Koordinate setzt du in der Funktionsgleichung ein.

  Lösung

  Für die Funktionsgleichung $y=x^2$ gelten $a=1,~b=0$ und $c=0$. Der Funktionsgraph ist die Normalparabel. Die Koordinaten des Scheitelpunkts lauten also $S(0|0)$.

  Die Funktionsgleichung $y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$ ist in Scheitelpunktform gegeben. Hier kannst du den Scheitelpunkt einfach ablesen $S(2|1)$.

  Für die Funktionsgleichung $y=2x^2~+~8x-4$ gelten $a=2,~b=8$ und $c=-4$. Wir berechnen die Koordinaten des Scheitelpunktes mit der Formel und erhalten: $x_S=-\frac{8}{2 \cdot 2}=-\frac{8}{4}=-2$ und $y_S=-4-\frac{8^2}{4 \cdot 2}=-4-8=-12$. Also lautet der Scheitelpunkt $S(-2|-12)$.

  Für die Funktionsgleichung $y=x^2~+~2x$ gelten $a=1,~b=2$ und $c=0$. Wir berechnen die x-Koordinate des Scheitelpunktes mit der Formel und erhalten: $x_S=-\frac{2}{2 \cdot 1}=-1$. Wenn wir die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen, erhalten wir $y_S=f(-1)=(-1)^2+2 \cdot (-1)=1-2=-1$. Also lautet der Scheitelpunkt $S(-1|-1)$.

  Für die letzte Funktionsgleichung $y=-\frac{1}{2}~x^2~-~2x~+~2$ mit $a=-\frac{1}{2},~b=-2,~c=2$ ergibt sich dann mit der Formel der Scheitelpunkt $S(-2 | 4)$.