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Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e

Wenn du quadratische Funktionen schon kennengelernt hast, kannst du lernen, was man an der Scheitelpunktform (oder Scheitelform) ablesen kann. In diesem Video werden die wesentlichen Ergebnisse kurz zusammengefasst. Das ist passend für dich, wenn du die Scheitelpunktform an Beispielen verstanden hast und nun eine Zusammenfassung des Gelernten sehen möchtest - oder wenn du dir erst einen abstrakten Überblick über die Scheitellpunktform verschaffen möchtest, bevor du dir die entsprechenden Beispiele dazu ansiehst. Ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform gegeben, kannst du zum einen die Koordinaten des Scheitelpunktes des Graphen der Funktion ablesen, zum anderen aber auch, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und ob sie breiter oder schmaler als die Normalparabel ist.

Die Besprechung der Beispiele beginnt bei 2:05.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. OK

    Von Luis W., vor etwa einem Jahr
  2. @Mika K.: Hallo Mika, das kann jeder Lehrer selber benennen. Wenn du mit xs und ys die x- und y-Koordinaten des Scheitelpunktes meinst, stimmt das. Beachte aber, dass der d-Wert dem negativen x-Wert des Scheitelpunktes entspricht.
    Viel Erfolg beim Lernen!

    Von Rebecca Tomann, vor fast 2 Jahren
  3. Man kann d und e doch auch xs und ys nennen, oder?

    Von Mika K., vor fast 2 Jahren
  4. Ich verstehe nicht, warum von breiten und schmalen Parabeln gesprochen wird,anstatt von gestauchten und gestreckten Parabeln. So lernen sie es nämlich in der Schule. Meine Tochter hat das sehr verwirrt.

    Von Kawink, vor fast 3 Jahren
  5. Die Mathearbeit kann kommen. Danke

    Von Carola Heymann, vor etwa 4 Jahren
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Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform y=a(x+d)²+e kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Begriffe noch fehlen, um die Erklärung zur Scheitelpunktform zu vervollständigen.

    Tipps

    Der blau gestrichelte Graph ist die Normalparabel. Die Funktionsgleichung zu der Funktion mit dem grünen Funktionsgraphen lautet $y=\frac{2}{3}x^2$. Welche Auswirkung hat also der Faktor $\frac{2}{3}$ auf den Funktionsgraphen?

    Beachte bei der Angabe des Scheitelpunktes, dass du in der $x$-Koordinate das Vorzeichen tauschen musst.

    Der Grund: Wenn du in die Scheitelpunktform $-d$ für $x$ einsetzt, erhältst du $e$.

    Die Funktionsgleichungen zu den Funktionen mit diesen Funktionsgraphen besitzen alle ein negatives $a$.

    Lösung

    Was ist eine Scheitelpunktform und was kannst du an ihr ablesen?

    • Jede quadratische Funktion besitzt eine Scheitelpunktform.
    • Diese lautet allgemein $f(x)=a(x+d)^2+e$.
    • Aus dieser Form kann der Scheitelpunkt abgelesen. werden. Er lautet $S(-d|e)$.
    Nun zu dem Faktor $a$ vor dem $x^2$:
    • $a\neq 0$, ansonsten wäre die Funktion ja nicht quadratisch.
    • $a>1$: Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    • $0<a<1$: Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a=1$: nach oben geöffnete Normalparabel.
    • $a=-1$: nach unten geöffnete Normalparabel.
    • $-1<a<0$: Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a<-1$: Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    ... oder anders ...
    • $a>0$: Parabel ist nach oben geöffnet.
    • $a<0$: Parabel ist nach unten geöffnet.
    • $-1<a<0$ oder $0<a<1$: Parabel ist breiter als die Normalparabel.
    • $a>1$ oder $a<-1$: Parabel ist schmaler als die Normalparabel.
  • Bestimme die Form von Parabeln an Beispielen.

    Tipps

    Das ist der Funktionsgraph bzw. die Parabel zu der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=-3\cdot x^2$.

    Lösung

    Hier siehst du, welche Auswirkungen der Faktor $a$ in der Scheitelpunktform $a(x+d)^2 + e$ hat:

    • $a>1$: Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    • $a=1$: nach oben geöffnete Normalparabel.
    • $0<a<1$: Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • Bei $a=0$ fällt der quadratische Term der Funktion weg. Wenn wir von quadratischen Funktionen sprechen ist deshalb $a\neq 0$ festgelegt.
    • $-1<a<0$: Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a=-1$: nach unten geöffnete Normalparabel.
    • $a<-1$: Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    Für die Beispiele oben bedeutet das also:
    1. $a=-7$: Eine nach unten geöffnete Parabel, welche schmaler ist als die Normalparabel.
    2. $a=0,25$: Eine nach oben geöffnete Parabel, welche breiter als die Normalparabel ist.
    3. $a=-1$: Eine nach unten geöffnete Normalparabel.
    4. $a=-0,25$: Eine nach unten geöffnete Parabel, welche breiter als die Normalparabel ist.

  • Bestimme die richtige Form der Parabel.

    Tipps

    Der Parameter $a=±1$ führt zu einer Normalparabel.

    Wann ist diese nach oben und wann nach unten geöffnet?

    Merke dir:

    • $a>0$ führt zu einer nach oben geöffneten Parabel
    • $a<0$ führt zu einer nach unten geöffneten Parabel

    Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ gegeben ist, dann lautet der Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

    Lösung

    Wir betrachten in dieser Aufgabe verschiedene Funktionsterme und schließen auf die Eigenschaften der zugehörigen Parabel:

    • Der Verlauf der Funktion $y=x^2~-~x~+~1$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel, da $a=1$ ist.
    • Der Scheitelpunkt der Funktion $y=2~(x+1)^2~+~1$ ist $S(-1|1)$. Das Vorzeichen wird in der $x$-Koordinate getauscht und nicht in der $y$-Koordinate.
    • Die Parabel zu $y=2~(x+1)^2~+~1$ ist nach oben geöffnet und schmaler ($a=2>1$) als die Normalparabel.
    • Eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(-1|1)$ hat die Gleichung $y=a~(x+1)^2~+~1$, allerdings muss $a>0$ gelten, sonst wäre sie ja nach unten geöffnet.
    • Eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(1|1)$ hat die Gleichung $y=a~x^2~-~2ax~+~a~+~1$ mit $a>0$. Hier hat der Fehlerteufel einen Vorzeichenfehler eingebaut. Du verwendest die 2. binomische Formel zur Berechnung der Funktionsgleichung:
    $\begin{array}{rcl} y&=&a(x-1)^2+1 \\ &=&a(x^2-2x+1)+1 \\ &=&ax^2-2ax+a+1 \end{array}$

  • Entscheide, ob die Aussagen zur Scheitelpunktform und zu Parabeln korrekt sind.

    Tipps

    Ist die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform $y=a~(x+d)^2~+~e$ gegeben, dann ist der zugehörige Scheitelpunkt bei $S(-d\vert e)$.

    Der Grund für das negative Vorzeichen von $d$ ist folgender: Wenn du $-d$ für $x$ einsetzt, wird die Klammer $0$. Das führt zum $y$-Wert $e$.

    Schaue dir das Beispiel $y=-2(x+2)^2+3$ an.

    Die zugehörige Parabel ist nach unten geöffnet und ist schmaler als die Normalparabel.

    Der Scheitelpunkt ist $S(-2|3)$.

    Lösung

    Hier gehen wir die einzelnen Aussagen der Aufgabe durch:

    • Die Funktionsgleichung lautet $y=x^2 + bx +c$. Die zugehörige Parabel ist eine nach oben geöffnete Normalparabel, da vor dem $x^2$ kein Vorfaktor (bzw. eine $1$ als Vorfaktor) steht. Diese Funktion kann man in die Scheitelpunktform umformen. Wir erhalten $y = (x+\frac{b}{2})^2 + \frac{b}{4} + c$. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts lässt sich an dem Klammerterm ablesen und lautet $-\frac{b}{2}
    • Eine Normalparabel kann nach oben ($a=1$) und nach unten ($a=-1$) geöffnet sein.
    • Wenn $a>1$, dann ist die Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel. Stimmt!
    • Ist die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform $y=2(x+3)^2+3$ gegeben, so ist der Scheitelpunkt $S(-3|3)$. Beachte, dass der Wert bei der $x$-Koordinate ein anderes Vorzeichen hat als in der Funktion.
    • Jede quadratische Funktion kann auch in der Scheitelpunktform geschrieben werden und hat damit auch einen Scheitelpunkt. Der Graph von jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel und jede Parabel hat einen Scheitelpunkt.
  • Gib an, welche Eigenschaften die Parabeln der quadratischen Funktionen besitzen.

    Tipps

    Die allgemeine Scheitelpunktform lautet $a(x+d)^2 + e$. Welche Werte hat die Funktion in der Aufgabenstellung für $a$? Was lässt sich daraus ableiten?

    Ein positiver Wert für $a$ führt zu einer nach oben geöffneten Parabel. Ein negativer Wert führt dementsprechend zu einer nach unten geöffneten Parabel.

    Der Wert $a$ hat auch Einfluss auf die Breite einer Parabel. Je größer $a$ betragsmäßig ist, desto breiter ist die Parabel.

    Lösung

    Für die Form der Parabel ist ausschließlich der Faktor $a$ von Bedeutung. Das gilt sowohl für die Ausrichtung (nach oben oder nach unten geöffnet) als auch für die Breite (schmaler oder breiter).

    Zuerst schließen wir den Fall $a=0$ aus, da die Funktion sonst nicht mehr quadratisch wäre. Wir hätten also auch keine Parabel.

    Für alle anderen $a$ gilt:

    • $a>1$: Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    • $0<a<1$: Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a=1$: nach oben geöffnete Normalparabel.
    • $a=-1$: nach unten geöffnete Normalparabel.
    • $-1<a<0$: Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel.
    • $a<-1$: Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
    Für die Beispiele gilt dann:

    1. Bei $y = x^2$ ist $a=1$: Wir haben also eine nach oben geöffnete Normalparabel.
    2. Bei $y = - x^2$ ist $a=-1$: Wir haben also eine nach unten geöffnete Normalparabel.
    3. Bei $y = 0{,}25 x^2$ ist $a=0{,}25$: Wir haben also eine nach oben geöffnete Parabel, die breiter ist als die Normalparabel.
    4. Bei $y = 7 x^2$ ist $a=-7$: Wir haben also eine nach unten geöffnete Parabel, die schmaler ist als die Normalparabel.
  • Bestimme die Scheitelpunkte der Funktionen.

    Tipps

    Wenn die Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen. Achte dabei auf das Vorzeichen der $x$-Koordinate.

    Schaue dir bei jeder Funktion an, wie $a,~b$ und $c$ aussehen und setze diese dann in den allgemeinen Ausdruck für den Scheitelpunkt ein.

    Zur Kontrolle kannst du die Scheitelpunktform auch wieder ausmultiplizieren.

    Du kannst den Scheitelpunkt auch berechnen, indem du zuerst die $x$-Koordinate bestimmst.

    Diese ist $-\frac{b}{2a}$ und diese $x$-Koordinate setzt du dann in die Funktionsgleichung ein.

    Lösung

    Hier nochmal die Formel zur Berechnung des Scheitelpunktes:

    $S \left(-\frac{b}{2a}~ | ~ c - \frac{b^2}{4a} \right)$.

    Funktionsgleichung 1

    Für die Funktionsgleichung $y=x^2~-~2x~+~1$ ist $a=1,~b=-2$ und $c=1$, somit ist $x_S=-\frac{-2}{2 \cdot 1}=1$ und $y_S=1 - \frac{(-2)^2}{4\cdot1}=0$. Also lautet der Scheitelpunkt $S(1 | 0)$.

    Funktionsgleichung 2

    Für die Funktionsgleichung $y=2x^2~+~4x~+~1$ ist $a=2,~b=4$ und $c=1$, somit ist $x_S=-\frac{4}{2 \cdot 2}=-1$ und $y_S=1 - \frac{4^2}{4\cdot2}=-1$. Also lautet der Scheitelpunkt $S(-1 | -1)$.

    Funktionsgleichung 3

    Für die Funktionsgleichung $y=-x^2~-~2x~+~1$ ist $a=-1,~b=-2$ und $c=1$, somit ist $x_S=-\frac{-2}{2 \cdot (-1)}=-1$ und $y_S=1 - \frac{(-2)^2}{4\cdot(-1)}=2$. Also lautet der Scheitelpunkt $S(-1 | 2)$.

    Funktionsgleichung 4

    Bei $y=-\frac{1}{2}(x^2+2)^2~+~1$ kannst du ohne Formel den Scheitelpunkt $S(-2 | 1)$ ablesen.

    Funktionsgleichung 5

    Für die Funktionsgleichung $y=-\frac{1}{2}~x^2~-~2x~+~2$ ist $a=-\frac{1}{2},~b=-2$ und $c=2$, somit ist $x_S=-\frac{-2}{2 \cdot \left( -\frac{1}{2}\right)}=-2$ und $y_S=2 - \frac{(-2)^2}{4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=4$, also ist $S(-2 | 4)$.

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