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Scheitelpunktform – Sonderfälle

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Scheitelpunktform – Sonderfälle
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunktform – Sonderfälle

Der Scheitelpunkt ist der wohl markanteste Punkt einer Parabel. Er ist der einzige Extrempunkt, denn er ist entweder der höchste (Hochpunkt) oder der tiefste Punkt (Tiefpunkt) einer quadratischen Funktion. In diesem Video möchte ich dich nun genau drei Sonderfälle im Bezug auf den Scheitelpunkt hinweisen. Dazu solltest du bereits den Funktionsterm einer Parabel in die Scheitelpunktform umformen können. Die drei Sonderfälle, die ich dir nun vorstelle, lauten: f(x) = x² - 1 f(x) = ( x + 1 )² f(x) = x²

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. moin dankzbo cleverbot

    Von Nguyenbaonam206, vor fast 6 Jahren

Scheitelpunktform – Sonderfälle Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform – Sonderfälle kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Besonderheiten des Sonderfalls zur Scheitelpunktform.

    Tipps

    Schreibe dir zum Beispiel die Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ auf und schaue einmal, was du schon gegeben hast.

    $a$ muss ungleich $0$ sein, da $f$ sonst keine quadratische Funktion wäre.

    Mit welcher Zahl kann man eine beliebige Zahl multiplizieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert?

    Sowohl $d$ als auch $e$ werden addiert.

    Welche Zahl kann man zu einer beliebigen Zahl addieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert?

    Lösung

    Schreibe zum Beispiel $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ und $f(x)=x^2~-~1$ einmal untereinander.

    Dann fällt dir sicher auf, dass bei dem Beispiel nur $x^2$ in der oberen Schreibweise vorhanden ist: $(x+d)^2$. Hier fehlt das $d$. Welche Zahl kann man zu einer beliebigen Zahl addieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert? Richtig, das ist die $0$. Also muss $d$ gerade $0$ sein.

    Und vor dem Term mit dem Quadrat? Wo ist denn bei dem Beispiel das $a$? Mit welcher Zahl kann man eine beliebige Zahl multiplizieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert? Das ist die $1$. Also muss $a=1$ sein.

    Damit hast du die Scheitelpunktform gefunden, denn $e=-1$ ist schon vorhanden: $f(x)=1~(x+0)^2~~-1$, der Scheitelpunkt lautet also $S(0|-1)$.

  • Ordne der Funktionsgleichung die entsprechende Parabel zu.

    Tipps

    Schau dir jeweils den Scheitelpunkt der Parabeln an.

    Du erhältst die blaue und violette Parabel durch Verschiebung der roten Normalparabel.

    Lösung

    Du siehst drei Normalparabeln, die nach oben geöffnet sind. Also gilt bei allen drei Funktionsgleichungen $a=1$.

    1. Schau dir mal die rote Normalparabel an. Der Scheitelpunkt ist $S(0|0)$. Die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform lautet: $f(x)=1~(x+0)^2~+~0=x^2$.
    2. Nun schau dir die blaue Normalparabel an. Sie hat den Scheitelpunkt $S(-1|0)$, also gilt $d=1$. Bei der x-Koordinate wird das Vorzeichen getauscht. Somit lautet die Scheitelpunktform: $f(x)=1~(x+1)^2~+~0=(x+1)^2$.
    3. Und zuletzt noch die violett gefärbte Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(0|-1)$. Hier sind $d=0$ und $e=-1$. Also lautet die Scheitelpunktform $f(x)=1~(x+0)^2~-~1=x^2-1$.
  • Vervollständige die Scheitelpunktform.

    Tipps

    $a=\frac{1}{2}$ ist bereits gegeben.

    Du kannst also die Scheitelpunktform schon aufschreiben: $f(x)=\frac{1}{2}~(x+?)^2~+~?$.

    Und nun schau dir die Beispielfunktion an.

    Es geht noch um $d$ und $e$. Beide werden addiert.

    Welche Zahl ändert bei der Addition das Ergebnis nicht?

    Lösung

    Die Funktionsgleichung $f(x)=\frac{1}{2}~x^2+2$ ist noch nicht in der Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ gegeben. Wir müssen $a$, $d$ und $e$ bestimmen.

    $a$ und $e$ sind bereits gegeben: $a=\frac{1}{2}$ und $e=2$.

    Es fehlt also das $d$. Welche Zahl kann man zu einer beliebigen Zahl addieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert? Richtig, das ist die $0$. Also muss $d$ gerade $0$ sein.

    Damit hast du die Scheitelpunktform gefunden: $f(x)=\frac{1}{2}~(x+0)^2~+~2$, der Scheitelpunkt ist $S(0|2)$.

  • Arbeite heraus, welche Parabel zu welchem Sonderfall gehört.

    Tipps

    Du kannst dich an der roten Normalparabel orientieren.

    Wie muss $a$ aussehen, damit eine Normalparabel vorliegt?

    Woran kannst du erkennen, ob eine Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist?

    Schau dir bei jeder Funktion den Scheitelpunkt an.

    Alle Scheitelpunkte liegen auf einer der Koordinatenachsen.

    Lösung

    Hier ist die eine Scheitelpunktform zu sehen $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$.

    Die Sonderfälle lauten:

    • $a=1\rightarrow $ nach oben geöffnete Normalparabel
    • $a=-1\rightarrow$ nach unten geöffnete Normalparabel
    • $d=0\rightarrow$ der Scheitelpunkt ist $S(0|e)$, liegt also auf der y-Achse
    • $e=0\rightarrow$ der Scheitelpunkt ist $S(-d|e)$, liegt also auf der x-Achse.
    Und diese Fälle kannst du kombinieren:

    1. $S(1|0)$ und die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel, also sind $0<a<1$ sowie $d=-1$ und $e=0$. Diese Funktion ist grün zu markieren.
    2. $S(2|0)$ und die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel, also sind $a>1$ sowie $d=-2$ und $e=0$. Diese Funktion ist gelb zu markieren.
    3. Dies ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(-2|0)$, also sind $a=1$ sowie $d=2$ und $e=0$. Diese Funktion ist blau zu markieren.
    4. Dies ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(0|2)$, also sind $a=1$ sowie $d=0$ und $e=2$. Diese Funktion ist violett zu markieren.
  • Vervollständige die Scheitelpunktform.

    Tipps

    Schreibe dir die Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ auf und schaue einmal, was du denn schon gegeben hast.

    Mit welcher Zahl kann man eine beliebige Zahl multiplizieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert?

    Sowohl $d$ als auch $e$ werden addiert.

    Welche Zahl kann man zu einer beliebigen Zahl addieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert?

    Lösung

    Die Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist noch nicht in der Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$. Hier fehlen die Variablen $a$, $d$ und $e$.

    Sowohl $d$ als auch $e$ werden addiert. Welche Zahl kann man zu einer beliebigen Zahl addieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert? Richtig, das ist die $0$. Also müssen beide, $d$ und $e$, gerade $0$ sein.

    Was ist bei dem Beispiel $a$? Mit welcher Zahl kann man eine beliebige Zahl multiplizieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert? Das ist die $1$. Also muss $a=1$ sein.

    Damit kannst du die Scheitelpunktform aufstellen: $f(x)=1~(x+0)^2~+~0$. Der Scheitelpunkt lautet dann $S(0|0)$.

  • Bestimme zu den gegebenen Parametern die Form der Parabel.

    Tipps

    Betrachte jeden Sonderfall

    • $a=1$ oder
    • $d=0$ oder
    • $e=0$
    einzeln.

    Diese Sonderfälle kannst du kombinieren.

    Was sagt das Vorzeichen von $a$ über das Öffnungsverhalten der Parabel aus?

    Lösung

    $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$.

    Die Sonderfälle entstehen alle dadurch, dass

    • $a=1$ oder
    • $d=0$ oder
    • $e=0$
    entweder einzelnen oder in Kombination gelten.
    • $a=1 \rightarrow$ nach oben geöffnete Normalparabel
    • $a=-1\rightarrow$ nach unten geöffnete Normalparabel
    • $d=0\rightarrow$ der Scheitelpunkt ist $S(0|e)$, liegt also auf der y-Achse
    • $e=0\rightarrow$ der Scheitelpunkt ist $S(-d|0)$, liegt also auf der x-Achse
    Und diese Fälle kannst du kombinieren:
    1. $a=-1$, $d=0\rightarrow$ eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der y-Achse.
    2. Als weiteres Beispiel: $d=0$, $e=0\rightarrow$ eine Parabel, deren Scheitelpunkt sowohl auf der x- als auch auf der y-Achse liegt. Der einzige Punkt, der dies erfüllt, ist der Koordinatenursprung, also $S(0|0)$.

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