Scheitelpunktform – Herleitung

Scheitelpunktform – Herleitung Übung

• Bestimme den Scheitelpunkt einer allgemeinen quadratischen Funktion.

  Tipps

  Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=a(x+\frac{b}{2a} )^2+c-\frac{b^2}{4a}$. Diese erhältst du mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung aus der allgemeinen Darstellung einer quadratischen Funktion.

  Aus der Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ kannst du den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.

  Beachte, dass du in der $x$-Koordinate das Vorzeichen tauschen musst.

  Lösung

  Aus der Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ kannst du den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.

  Die Scheitelpunktform zu der allgemeinen quadratischen Funktion $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ lautet $f(x)=a~\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}~+~c$.

  Hier sind folgende Belegungen gegeben:

  • $d=\frac{b}{2a}$
  • $e=-\frac{b^2}{4a}~+~c$.

  Der Scheitelpunkt lautet also $S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$.

• Gib die Schritte zur Herleitung der Scheitelpunktform an.

  Tipps

  Versuche die Herleitungsschritte für die Scheitelpunktform nochmals für dich nachzuvollziehen.

  Tipp: Die Rechnung wird einfacher, wenn du in $f(x)=ax^2+bx+c$ den Vorfaktor $a$ ausklammerst.

  Die erste binomische Formel besagt:

  $\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2$

  Wenn du von der allgemeinen quadratischen Gleichung zur Scheitelpunktform willst, könntest du auch rückwärts von der Scheitelpunktform zur quadratischen Gleichung gehen.

  Im Anschluss rekonstruierst du die Schritte von der quadratischen Gleichung zur Scheitelpunktform.

  Lösung

  Wie gelangen wir von der allgemeinen Gleichung $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ zur Scheitelpunktform?

  • Zunächst klammerst du $a$ aus. Es ergibt sich $f(x)=a~\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)~+~c$.

  • Nun ergänzt du den Term in der Klammer so, dass du eine binomische Formel anwenden kannst. Du erhältst $f(x)=a~\left(x^2+2x\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)~+~c$. Dies ist die quadratische Ergänzung.

  • Die ersten drei Summanden in der Klammer kannst du mit der 1. binomischen Formel umschreiben zu $f(x)=a~\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)~+~c$.

  Fast fertig!

  • Du multiplizierst die rechte Klammer aus und multiplizierst mit dem $a$ vor der großen Klammer. Dadurch erhältst du $f(x)=a~\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}~+~c$.

  • Das ist die Scheitelpunktform. Wir können nun den Scheitelpunkt $S\left( -\frac{b}{2a}\big| -\frac{b^2}{4a}+c\right)$ ablesen.

  Hinweis: Setze doch mal zur Probe den $x$-Wert des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktform ein.

• Wende die allgemeine Darstellung des Scheitelpunktes auf zwei quadratische Funktionen an.

  Tipps

  Die Variable $a$ steht vor dem „$x^2$“, $b$ vor dem „$x$“ und $c$ steht alleine.

  Die Formel sieht vielleicht recht kompliziert aus.

  Dies hilft dir, sie zu strukturieren:

  • Die $x$-Koordinate ist die Hälfte von $b$ mit umgekehrtem Vorzeichen geteilt durch $a$.
  • Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du die Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt.

  Lösung

  Bei beiden Funktionen schaust du dir zuerst einmal $a$, $b$ und $c$ an:

  • $a$ steht vor dem „$x^2$“
  • $b$ vor dem „$x$“
  • $c steht alleine

  1. Funktion: ** $\mathbf{f(x)=3~x^2~-~18x~+~28}$

  Hier ist $a=3$, $b=-18$ und $c=28$. Achte dabei auf das Vorzeichen. Nun musst du diese Werte noch in die allgemeine Scheitelpunktformel $S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$ einsetzen. Für die $x$-Koordinate erhältst du $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3$ und für die $y$-Koordinate $y= -\frac{b^2}{4a}+c=-\frac{(-18)^2}{4\cdot 3}+28=-27+28=1$. Der Scheitelpunkt ist also $S(3|1)$.

  2. Funktion: ** $\mathbf{f(x)=4~x^2~+~8x~+~6}$

  Hier ist $a=4$, $b=8$ und $c=6$. Auch diese Werte setzt du wieder in die Scheitelpunktformel ein. Du erhältst den Scheitelpunkt $S(-1|2)$. Der Scheitelpunkt hat also die $x$-Koordinate $-1$ und die $y$-Koordinate $2$.

• Ordne die Funktionen ihren Scheitelpunkten zu.

  Tipps

  Die allgemeine Darstellung des Scheitelpunktes der Funktion $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ lautet:

  $S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$.

  Die Formel sieht vielleicht recht kompliziert aus. Du kannst dir merken:

  • Die $x$-Koordinate ist die Hälfte von $b$ mit umgekehrtem Vorzeichen geteilt durch $a$.
  • Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du die Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt.

  Probiere es doch mal aus.

  Lösung

  Die allgemeine Darstellung des Scheitelpunktes der Funktion $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ lautet:

  $S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$.

  Wenn eine quadratische in Scheitelpunktform gegeben ist, kann der Scheitelpunkt abgeschrieben werden. Achte dabei unbedingt auf das Vorzeichen der $x$-Koordinate.

  Die Funktion $f(x)=\frac{1}{2}~(x-3)^2~+~2$ gehört also zu dem Scheitelpunkt $S(3|2)$.

  Zu diesem gehört auch die Funktion $f(x)=2~x^2~-~12x~+~20$. Teile die Hälfte von $b=-12$, also -6 durch $a=2$ und tausche das Vorzeichen, schon hast du die $3$. Eingesetzt in der Funktion bekommst du die $y$-Koordinate $2$.

  Bei den übrigen vier Funktion ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes jeweils $-1$.

  Nun kannst du die $y$-Koordinate entweder über die allgemeine Scheitelpunktdarstellung bekommen oder du setzt die $-1$ in die jeweilige Funktion ein. Beides führt zum gleichen Ergebnis.

  • Die beiden Funktionen $f(x)=x^2~+~2x$ und $f(x)=-2~x^2~-~4x~-~3$ haben den gemeinsamen Scheitelpunkt $S(-1|-1)$.
  • Die beiden Funktionen $f(x)=x^2~+~2x~+~1$ und $f(x)=-\frac{1}{2}~x^2~-~x~-~\frac{1}{2}$ haben den gemeinsamen Scheitelpunkt $S(-1|0)$.

• Beschreibe, wie du bei gegebener Scheitelpunktform den Scheitelpunkt ablesen kannst.

  Tipps

  Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes erhältst du, wenn der quadratische Term in der Scheitelpunktform Null wird.

  Die Scheitelpunktsform einer allgemeinen quadratischen Funktion ist folgendermaßen gegeben:

  Lösung

  Die Scheitelpunktform wird vor allem auf $2$ verschiedene Weisen dargestellt. Je nach Form ändert sich auch der Scheitelpunkt.

  Form 1

  $f(x)=a(x+d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(-d|e)$

  Form 2

  $f(x)=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$

  Kleine Eselsbrücke: Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes erhältst du, wenn der quadratische Term $0$ wird.

  Eine allgemeine quadratische Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kannst du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung als $f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c$ schreiben. Den Schnittpunkt kannst du ablesen:

  $S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$.

• Ermittle die Scheitelpunktformen der quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  1. Möglichkeit: Du kannst bei jeder Funktion $a$ ausklammern, quadratisch ergänzen, die 1. oder 2. binomische Formel anwenden und die Klammer ausmultiplizieren.

  2. Möglichkeit: Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$.

  Du kannst also die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes ausrechnen und das Vorzeichen tauschen. Auf diese Weise erhältst du $d$. Die Variable $e$ erhältst du, wenn du die $x$-Variable einsetzt. $e$ ist gerade die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes.

  Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts lautet $x=-\frac{b}{2a}$.

  Lösung

  Wir zeigen dir hier zwei Möglichkeiten, wie man die Aufgabe lösen kann:

  1. Möglichkeit: Du kannst bei jeder Funktion $a$ ausklammern, quadratisch ergänzen, die 1. oder 2. binomische Formel anwenden und die Klammer ausmultiplizieren.

  2. Möglichkeit: Du kannst die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes ausrechnen und das Vorzeichen tauschen. So erhältst du $d$. $e$ ist gerade die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes.

  Diese kannst du dann in die Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ einsetzen. Der Faktor $a$ bleibt dabei stehen.

  1. $f(x)=4~x^2~+~8x~+~7=4~(x+1)^2~+~3$
  2. $f(x)=-~x^2~+~4x~-~2=-~(x-2)^2~+~2$
  3. $f(x)=-2~x^2~-~12x~-~20=-2~(x+3)^2~-~2$
  4. $f(x)=3~x^2~+~24x=3~(x+4)^2~-~48$