Transkript Scheitelpunktform – Herleitung
Hallo. Von der Normalform in die Scheitelpunktform können wir uns jetzt mal ansehen. Und zwar an der allgemeinen quadratischen Funktion. Allgemein deshalb, weil der Funktionsterm dann nur aus Variablen besteht. Wir haben f(x) = ax² + bx + c. Wenn man hier für a, b und c Zahlen einsetzt, hat man den Funktionsterm einer quadratischen Funktion, a darf aber dabei nicht null sein. Wie man diese allgemeine Funktion in Scheitelpunktform bringt, möchte ich jetzt mal zeigen mit allen Umformungen, mit allen Zwischenschritten. Also auch mit der Herleitung. Was müssen wir als erstes machen? Wir müssen ausklammern, und zwar das a ausklammern. Dann haben wir a(x² + (b/a)x) + c. Da in dem b kein a drinsteckt, schreiben wir einfach b/a, a * (b/a) ist ja wieder b. Dann passt das wieder. Plus c ist hintendran, da brauchen wir nichts ausklammern, das schleifen wir so mit. Dann kommt die quadratische Ergänzung: Wir müssen für die quadratische Ergänzung hiervon die Hälfte nehmen, quadrieren und das Ganze addieren. Also b/a/2 ist (b/2a), das wird quadriert und auch gleich wieder abgezogen, -(b/2a)². Dann muss diese Klammer noch zugehen, das ist hier der Fall, +c, nehmen wir wieder mit: a(x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)²) + c. Jetzt können wir hierauf die Erste Binomische Formel anwenden. Und dafür möchte ich das auch nochmal hier umschreiben, dass ist nicht unbedingt nötig, das umzuschreiben. Aber ich glaube, man sieht dann doch besser, wie man hier die Binomische Formel anwendet. Ich schreibe statt (b/a)x jetzt einfach 2 * x(b/2a). Das ist ja das Gleiche wie das hier. Aber dann sieht man besser, dass dieses b/2a halt schon auftaucht, dass, was wir hier zum Quadrat haben. Wenn Du Dir das nochmal vor Augen hältst, dass die erste Binomische Formel ja lautet: a² + 2ab + b² auf der einen Seite, dann siehst Du hier auch die Struktur der Binomischen Formel. Wir haben hier a² + 2ab, b ist dann b/2a in unserem Fall, a² + 2ab + b². Ich schreib die Binomische Formel jetzt nicht hin, weil ja in der Binomischen Formel a und b vorkommen, hier kommt ja auch a und b vor. Bedeuten aber was anderes, da kann man andere Zahlen für einsetzen. Deshalb möchte ich die hier stehen haben, damit da es nicht durcheinander gerät. Aber wir können jetzt auf jeden Fall diese Binomische Formel anwenden. Das heißt, wir können schreiben: a((x + b/2a)², diese drei Summanden stehen jetzt hier so umgeformt, den Rest hier müssen wir nur abschreiben. Diese Klammer zu hier, +c haben wir auch noch: a((x + b/2a)² - (b/2a)²) + c. Jetzt müssen wir noch das a ausmultiplizieren, kann man ausmultiplizieren, so heißt es ja genauer. Wir bekommen dann- also es geht um diese Klammer, die ausmultipliziert wird. Wir multiplizieren a mit dieser Klammer. Das steht hier: a(x + (b/2a)². Und dann noch a mal das hier. Na ja, das kann ich jetzt ausrechnen. (b/2a)². Das b² geteilt durch 4a². Wenn man das jetzt mit a multipliziert, hat man b²/4a. Minuszeichen nicht vergessen. Also steht hier und das c ist auch noch da: a(x + b/2a)² - (b²/4a) + c. So und dann wissen wir, wo der Scheitel ist. Der ist nämlich bei S(-b/2a), das ist die x-Koordinate. Die y-Koordinate ist (-b²/4a + c). So, ich möchte auch noch zeigen, warum hier das Minuszeichen steht. Wir sind aber eigentlich im Prinzip fertig. Nicht nur im Prinzip, wir sind fertig. Wir haben diese allgemeine Funktion in Scheitelpunktform umgeformt und wir können jetzt hier sehen, wo der Scheitel ist. Also wenn wir jetzt Zahlen einsetzen würden, hätten wir da ja Ergebnisse stehen. Und dann sind das die Koordinaten des Scheitelpunktes. Wenn wir von der Scheitelpunktform ausgehen, die folgendermaßen aussieht: f(x) = a(x + d)² + e, dann ist der Scheitel bei S(-d I e). Wenn wir ausgehen von der Scheitelpunktform ausgehen f(x) = a(x - d)² + e, dann ist der Scheitel bei S(d I e). e ist jeweils kein Problem, dass was hier nach der Klammer steht, wird einfach abgeschrieben, das kommt da rein. Dieses e ist das. Das läuft. Wir haben hier jetzt ein Pluszeichen und d ist bei uns jetzt, das was hier steht, also b/2a. Der Scheitelpunkt hat dann die x-Koordinate -d, deshalb steht hier das Minuszeichen, dann passt das. Bei der Scheitelpunktform ist das ein kleines bisschen anders, weil wir ja hier kein Minuszeichen stehen haben. Aber das kann man umformen. Ja, wir können auch schreiben: = a(x - (-b/2a))² und dann kommt noch der Rest dazu, also -b²/4a + c. So, und jetzt haben wir hier das Minuszeichen, was wir hier in der Scheitelpunktform erwarten. d ist dann -b/2a. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist d und das ist -b/2a, hier nur anders geschrieben mit dem Minuszeichen, aber das ist ja vom Wert her das Gleiche. So, damit haben wir alles hier erledigt. Übrigens kannst Du diese Form auch verwenden, um direkt den Scheitelpunkt auszurechnen, wenn Du jetzt eine Funktion gegeben hast. In dieser Form kannst Du also direkt damit den Scheitelpunkt ausrechnen, falls das so erwünscht ist, falls das so erlaubt ist. Wenn natürlich die Aufgabe lautet, bringe die und die konkrete Funktion in Scheitelpunktform, dann sollst Du nicht den Scheitelpunkt angeben, sondern wirklich die Umformung mit der quadratischen Ergänzung machen. das wars dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.
Videobeschreibung
Der wohl markanteste Punkt einer Parabel ist ihr Scheitelpunkt. Jede quadratische Funktion in der Darstellungsweise y = ax² + bx + c ( Normalform einer Parabel ) hat ihn. Und gleichzeitig ist er sogar der Extremwert einer quadratischen Funktion. Denn er ist entweder Hoch- oder Tiefpunkt. Daher ist es auch von Bedeutung diesen markanten Punkt, zu berechnen. Nur wie? In diesem Video möchte ich mit dir gemeinsam eine Formel herleiten, bei der du die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen kannst. Viel Spaß dabei!
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Scheitelpunktform – Herleitung
Scheitelpunktform – Herleitung Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
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Bestimme den Scheitelpunkt einer allgemeinen quadratischen Funktion.
Tipps
Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=a(x+\frac{b}{2a} )^2+c-\frac{b^2}{4a}$. Diese erhältst du mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung aus der allgemeinen Darstellung einer quadratischen Funktion.
Aus der Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ kannst du den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.
Beachte, dass du in der $x$-Koordinate das Vorzeichen tauschen musst.
Lösung
Aus der Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ kannst du den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.
Die Scheitelpunktform zu der allgemeinen quadratischen Funktion $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ lautet $f(x)=a~\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}~+~c$.
Hier sind folgende Belegungen gegeben:
- $d=\frac{b}{2a}$
- $e=-\frac{b^2}{4a}~+~c$.
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Beschreibe, wie du bei gegebener Scheitelpunktform den Scheitelpunkt ablesen kannst.
Tipps
Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes erhältst du, wenn der quadratische Term in der Scheitelpunktform Null wird.
Die Scheitelpunktsform einer allgemeinen quadratischen Funktion ist folgendermaßen gegeben:
Lösung
Die Scheitelpunktform wird vor allem auf $2$ verschiedene Weisen dargestellt. Je nach Form ändert sich auch der Scheitelpunkt.
Form 1
$f(x)=a(x+d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(-d|e)$
Form 2
$f(x)=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$
Kleine Eselsbrücke: Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes erhältst du, wenn der quadratische Term $0$ wird.
Eine allgemeine quadratische Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kannst du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung als $f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c$ schreiben. Den Schnittpunkt kannst du ablesen:
$S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$.
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Gib die Schritte zur Herleitung der Scheitelpunktform an.
Tipps
Versuche die Herleitungsschritte für die Scheitelpunktform nochmals für dich nachzuvollziehen.
Tipp: Die Rechnung wird einfacher, wenn du in $f(x)=ax^2+bx+c$ den Vorfaktor $a$ ausklammerst.
Die erste binomische Formel besagt:
$\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2$
Wenn du von der allgemeinen quadratischen Gleichung zur Scheitelpunktform willst, könntest du auch rückwärts von der Scheitelpunktform zur quadratischen Gleichung gehen.
Im Anschluss rekonstruierst du die Schritte von der quadratischen Gleichung zur Scheitelpunktform.
Lösung
Wie gelangen wir von der allgemeinen Gleichung $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ zur Scheitelpunktform?
- Zunächst klammerst du $a$ aus. Es ergibt sich $f(x)=a~\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)~+~c$.
- Nun ergänzt du den Term in der Klammer so, dass du eine binomische Formel anwenden kannst. Du erhältst $f(x)=a~\left(x^2+2x\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)~+~c$. Dies ist die quadratische Ergänzung.
- Die ersten drei Summanden in der Klammer kannst du mit der 1. binomischen Formel umschreiben zu $f(x)=a~\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)~+~c$.
- Du multiplizierst die rechte Klammer aus und multiplizierst mit dem $a$ vor der großen Klammer. Dadurch erhältst du $f(x)=a~\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}~+~c$.
- Das ist die Scheitelpunktform. Wir können nun den Scheitelpunkt $S\left( -\frac{b}{2a}\big| -\frac{b^2}{4a}+c\right)$ ablesen.
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Ermittle die Scheitelpunktformen der quadratischen Gleichungen.
Tipps
1. Möglichkeit: Du kannst bei jeder Funktion $a$ ausklammern, quadratisch ergänzen, die 1. oder 2. binomische Formel anwenden und die Klammer ausmultiplizieren.
2. Möglichkeit: Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$.
Du kannst also die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes ausrechnen und das Vorzeichen tauschen. Auf diese Weise erhältst du $d$. Die Variable $e$ erhältst du, wenn du die $x$-Variable einsetzt. $e$ ist gerade die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes.
Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts lautet $x=-\frac{b}{2a}$.
Lösung
Wir zeigen dir hier zwei Möglichkeiten, wie man die Aufgabe lösen kann:
1. Möglichkeit: Du kannst bei jeder Funktion $a$ ausklammern, quadratisch ergänzen, die 1. oder 2. binomische Formel anwenden und die Klammer ausmultiplizieren.
2. Möglichkeit: Du kannst die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes ausrechnen und das Vorzeichen tauschen. So erhältst du $d$. $e$ ist gerade die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes.
Diese kannst du dann in die Scheitelpunktform $f(x)=a~(x+d)^2~+~e$ einsetzen. Der Faktor $a$ bleibt dabei stehen.
- $f(x)=4~x^2~+~8x~+~7=4~(x+1)^2~+~3$
- $f(x)=-~x^2~+~4x~-~2=-~(x-2)^2~+~2$
- $f(x)=-2~x^2~-~12x~-~20=-2~(x+3)^2~-~2$
- $f(x)=3~x^2~+~24x=3~(x+4)^2~-~48$
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Wende die allgemeine Darstellung des Scheitelpunktes auf zwei quadratische Funktionen an.
Tipps
Die Variable $a$ steht vor dem „$x^2$“, $b$ vor dem „$x$“ und $c$ steht alleine.
Die Formel sieht vielleicht recht kompliziert aus.
Dies hilft dir, sie zu strukturieren:
- Die $x$-Koordinate ist die Hälfte von $b$ mit umgekehrtem Vorzeichen geteilt durch $a$.
- Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du die Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt.
Lösung
Bei beiden Funktionen schaust du dir zuerst einmal $a$, $b$ und $c$ an:
- $a$ steht vor dem „$x^2$“
- $b$ vor dem „$x$“
- $c steht alleine
Hier ist $a=3$, $b=-18$ und $c=28$. Achte dabei auf das Vorzeichen. Nun musst du diese Werte noch in die allgemeine Scheitelpunktformel $S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$ einsetzen. Für die $x$-Koordinate erhältst du $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-18}{2\cdot 3}=3$ und für die $y$-Koordinate $y= -\frac{b^2}{4a}+c=-\frac{(-18)^2}{4\cdot 3}+28=-27+28=1$. Der Scheitelpunkt ist also $S(3|1)$.
2. Funktion: ** $\mathbf{f(x)=4~x^2~+~8x~+~6}$Hier ist $a=4$, $b=8$ und $c=6$. Auch diese Werte setzt du wieder in die Scheitelpunktformel ein. Du erhältst den Scheitelpunkt $S(-1|2)$. Der Scheitelpunkt hat also die $x$-Koordinate $-1$ und die $y$-Koordinate $2$.
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Ordne die Funktionen ihren Scheitelpunkten zu.
Tipps
Die allgemeine Darstellung des Scheitelpunktes der Funktion $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ lautet:
$S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$.
Die Formel sieht vielleicht recht kompliziert aus. Du kannst dir merken:
- Die $x$-Koordinate ist die Hälfte von $b$ mit umgekehrtem Vorzeichen geteilt durch $a$.
- Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du die Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt.
Lösung
Die allgemeine Darstellung des Scheitelpunktes der Funktion $f(x)=a~x^2~+~bx~+~c$ lautet:
$S\left(-\frac{b}{2a} |-\frac{b^2}{4a}~+~c\right)$.
Wenn eine quadratische in Scheitelpunktform gegeben ist, kann der Scheitelpunkt abgeschrieben werden. Achte dabei unbedingt auf das Vorzeichen der $x$-Koordinate.
Die Funktion $f(x)=\frac{1}{2}~(x-3)^2~+~2$ gehört also zu dem Scheitelpunkt $S(3|2)$.
Zu diesem gehört auch die Funktion $f(x)=2~x^2~-~12x~+~20$. Teile die Hälfte von $b=-12$, also -6 durch $a=2$ und tausche das Vorzeichen, schon hast du die $3$. Eingesetzt in der Funktion bekommst du die $y$-Koordinate $2$.
Bei den übrigen vier Funktion ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes jeweils $-1$.
Nun kannst du die $y$-Koordinate entweder über die allgemeine Scheitelpunktdarstellung bekommen oder du setzt die $-1$ in die jeweilige Funktion ein. Beides führt zum gleichen Ergebnis.
- Die beiden Funktionen $f(x)=x^2~+~2x$ und $f(x)=-2~x^2~-~4x~-~3$ haben den gemeinsamen Scheitelpunkt $S(-1|-1)$.
- Die beiden Funktionen $f(x)=x^2~+~2x~+~1$ und $f(x)=-\frac{1}{2}~x^2~-~x~-~\frac{1}{2}$ haben den gemeinsamen Scheitelpunkt $S(-1|0)$.
3 Kommentare
@Lisaschell: Schau mal hier nach: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/quadratische-ergaenzung-erklaerung
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.
Kann man das statt quadratischer Ergänzung mit einer Formel berechnen? Wenn ja gibt es dazu auch ein video?
Sehr gut erklärt ! in meinem Mathebuch stand erst ein Beispiel dass ich nicht verstanden hab...jetzt aber ,dank diesem Video,versteh ich es!