Scheitelpunktform – Herleitung 07:53 min

Hallo. Von der Normalform in die Scheitelpunktform können wir uns jetzt mal ansehen. Und zwar an der allgemeinen quadratischen Funktion. Allgemein deshalb, weil der Funktionsterm dann nur aus Variablen besteht. Wir haben f(x) = ax² + bx + c. Wenn man hier für a, b und c Zahlen einsetzt, hat man den Funktionsterm einer quadratischen Funktion, a darf aber dabei nicht null sein. Wie man diese allgemeine Funktion in Scheitelpunktform bringt, möchte ich jetzt mal zeigen mit allen Umformungen, mit allen Zwischenschritten. Also auch mit der Herleitung. Was müssen wir als erstes machen? Wir müssen ausklammern, und zwar das a ausklammern. Dann haben wir a(x² + (b/a)x) + c. Da in dem b kein a drinsteckt, schreiben wir einfach b/a, a * (b/a) ist ja wieder b. Dann passt das wieder. Plus c ist hintendran, da brauchen wir nichts ausklammern, das schleifen wir so mit. Dann kommt die quadratische Ergänzung: Wir müssen für die quadratische Ergänzung hiervon die Hälfte nehmen, quadrieren und das Ganze addieren. Also b/a/2 ist (b/2a), das wird quadriert und auch gleich wieder abgezogen, -(b/2a)². Dann muss diese Klammer noch zugehen, das ist hier der Fall, +c, nehmen wir wieder mit: a(x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)²) + c. Jetzt können wir hierauf die Erste Binomische Formel anwenden. Und dafür möchte ich das auch nochmal hier umschreiben, dass ist nicht unbedingt nötig, das umzuschreiben. Aber ich glaube, man sieht dann doch besser, wie man hier die Binomische Formel anwendet. Ich schreibe statt (b/a)x jetzt einfach 2 * x(b/2a). Das ist ja das Gleiche wie das hier. Aber dann sieht man besser, dass dieses b/2a halt schon auftaucht, dass, was wir hier zum Quadrat haben. Wenn Du Dir das nochmal vor Augen hältst, dass die erste Binomische Formel ja lautet: a² + 2ab + b² auf der einen Seite, dann siehst Du hier auch die Struktur der Binomischen Formel. Wir haben hier a² + 2ab, b ist dann b/2a in unserem Fall, a² + 2ab + b². Ich schreib die Binomische Formel jetzt nicht hin, weil ja in der Binomischen Formel a und b vorkommen, hier kommt ja auch a und b vor. Bedeuten aber was anderes, da kann man andere Zahlen für einsetzen. Deshalb möchte ich die hier stehen haben, damit da es nicht durcheinander gerät. Aber wir können jetzt auf jeden Fall diese Binomische Formel anwenden. Das heißt, wir können schreiben: a((x + b/2a)², diese drei Summanden stehen jetzt hier so umgeformt, den Rest hier müssen wir nur abschreiben. Diese Klammer zu hier, +c haben wir auch noch: a((x + b/2a)² - (b/2a)²) + c. Jetzt müssen wir noch das a ausmultiplizieren, kann man ausmultiplizieren, so heißt es ja genauer. Wir bekommen dann- also es geht um diese Klammer, die ausmultipliziert wird. Wir multiplizieren a mit dieser Klammer. Das steht hier: a(x + (b/2a)². Und dann noch a mal das hier. Na ja, das kann ich jetzt ausrechnen. (b/2a)². Das b² geteilt durch 4a². Wenn man das jetzt mit a multipliziert, hat man b²/4a. Minuszeichen nicht vergessen. Also steht hier und das c ist auch noch da: a(x + b/2a)² - (b²/4a) + c. So und dann wissen wir, wo der Scheitel ist. Der ist nämlich bei S(-b/2a), das ist die x-Koordinate. Die y-Koordinate ist (-b²/4a + c). So, ich möchte auch noch zeigen, warum hier das Minuszeichen steht. Wir sind aber eigentlich im Prinzip fertig. Nicht nur im Prinzip, wir sind fertig. Wir haben diese allgemeine Funktion in Scheitelpunktform umgeformt und wir können jetzt hier sehen, wo der Scheitel ist. Also wenn wir jetzt Zahlen einsetzen würden, hätten wir da ja Ergebnisse stehen. Und dann sind das die Koordinaten des Scheitelpunktes. Wenn wir von der Scheitelpunktform ausgehen, die folgendermaßen aussieht: f(x) = a(x + d)² + e, dann ist der Scheitel bei S(-d I e). Wenn wir ausgehen von der Scheitelpunktform ausgehen f(x) = a(x - d)² + e, dann ist der Scheitel bei S(d I e). e ist jeweils kein Problem, dass was hier nach der Klammer steht, wird einfach abgeschrieben, das kommt da rein. Dieses e ist das. Das läuft. Wir haben hier jetzt ein Pluszeichen und d ist bei uns jetzt, das was hier steht, also b/2a. Der Scheitelpunkt hat dann die x-Koordinate -d, deshalb steht hier das Minuszeichen, dann passt das. Bei der Scheitelpunktform ist das ein kleines bisschen anders, weil wir ja hier kein Minuszeichen stehen haben. Aber das kann man umformen. Ja, wir können auch schreiben: = a(x - (-b/2a))² und dann kommt noch der Rest dazu, also -b²/4a + c. So, und jetzt haben wir hier das Minuszeichen, was wir hier in der Scheitelpunktform erwarten. d ist dann -b/2a. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist d und das ist -b/2a, hier nur anders geschrieben mit dem Minuszeichen, aber das ist ja vom Wert her das Gleiche. So, damit haben wir alles hier erledigt. Übrigens kannst Du diese Form auch verwenden, um direkt den Scheitelpunkt auszurechnen, wenn Du jetzt eine Funktion gegeben hast. In dieser Form kannst Du also direkt damit den Scheitelpunkt ausrechnen, falls das so erwünscht ist, falls das so erlaubt ist. Wenn natürlich die Aufgabe lautet, bringe die und die konkrete Funktion in Scheitelpunktform, dann sollst Du nicht den Scheitelpunkt angeben, sondern wirklich die Umformung mit der quadratischen Ergänzung machen. das wars dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.