Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (4)

Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (4) Übung

• Bestimme die Scheitelpunktform der Funktion.

  Tipps

  Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=a(x+d)^2+e$. Das heißt, dass der Faktor vor dem $x^2$ zunächst ausgeklammert werden muss.

  Nach dem Ausklammern wird der Term in der Klammer quadratisch ergänzt.

  Das Distributivgesetz lautet $a(b+c)=a\cdot b+a \cdot c$.

  Lösung

  Da vor dem $x^2$ noch der Faktor $2$ steht, musst du diesen zuerst ausklammern. Den Term $x^2+2x-1$ kannst du quadratisch so ergänzen, dass du die 1. binomische Formel anwenden kannst.

  $\begin{align*} 2x^2+4x-2& = 2(x^2+2x-1)\\ &= 2\left(x^2+2x+\left(\frac22 \right)^2-\left(\frac22 \right)^2-1\right) \\ & =2\left(\left(x+\frac22 \right)^2-2\right)\\ &=2(x+1)^2-4. \end{align*}$

  Dabei wurde die 1. binomische Formel so verwendet, dass aus demTerm $x^2+2x+\left( \frac22 \right)^2$ der Term $\left(x+\frac22 \right)^2$ wird. Die allgemeine 1. binomischen Formel ist $\left(a+b \right)^2=a^2+2ab+b^2$. In unserem konkreten Term entspricht $a=x$ und $b=\frac{2}{2}$.

• Beschreibe die einzelnen Schritte, welche bei der Umformung von Normalform zur Scheitelpunktform durchgeführt werden.

  Tipps

  Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=a(x+d)^2+e$.

  Hieran kannst du bereits den ersten Schritt erkennen.

  In der Scheitelpunktform steht eine binomische Formel.

  Du könntest auch rückwärts von der Scheitelpunktform zur Normalform umformen.

  Lösung

  Du startest mit einer quadratischen Funktion in Normalform.

  Wie sieht die Scheitelpunktform aus?

  $f(x)=a(x+d)^2+e$.

  1. Daran kannst du bereits den ersten Schritt erkennen. Du musst $a$ ausklammern. Wenn vor dem $x^2$ kein $a$ steht, dann ist $a=1$. Dies ist eine Normalparabel. $f(x)=a(x^2+px+q)$, dabei ist $p=\frac ba$ und $q= \frac ca$. Du könntest die ganze Vorgehensweise auch mit den Bruchtermen aufschreiben. Zum Verständnis reicht es auch mit $p$ und $q$.
  2. Jetzt erfolgt eine quadratische Ergänzung, um einen Term zu erhalten, welchen du von den binomischen Formeln kennst: $x^2+px+q=x^2+px+\left(\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q$. Hier wird ein quadratischer Term addiert, sodass du die 1. binomische Formel erhältst, und gleich wieder subtrahiert.
  3. Auf die ersten drei Summanden ist die 1. binomische Formel anwendbar: $x^2+px+\left(\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q=\left( x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q$.
  4. Bei den letzten beiden Schritten wurde der Faktor $a$ nicht betrachtet. Dieser wird jetzt mit dem Term multipliziert und die Scheitelpunktform ist fertig: $f(x)=a\left( x+\frac p2\right)^2-a\left(\frac p2\right)^2+a \cdot q$.

• Bestimme die Scheitelpunktform der Funktion.

  Tipps

  Um quadratisch ergänzen zu können, muss der zu ergänzende Term in der Form $x^2+px+q$ vorliegen.

  Nach der quadratischen Ergänzung wird hier die 2. binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ verwendet.

  Dabei gilt hier $a=x$ und $b=-2$.

  Lösung

  In diesem Beispiel muss zunächst der Faktor $\frac12$ vor dem $x^2$ ausgeklammert werden.

  $\frac12x^2-2x+3 =\frac12(x^2-4x+6)$.

  Der Term in der Klammer wird so umgeformt, dass gut erkennbar ist, welche binomische Formel angewendet werden kann und wie dabei $a$ und $b$ aussehen. Der Term wird quadratisch ergänzt.

  $\begin{align*} \frac12(x^2-4x+6)& = \frac12(x^2-2\cdot x \cdot 2+6)\\ &=\frac12(x^2-2\cdot x \cdot 2+2^2-2^2+6) \end{align*}$

  Es gilt $x^2-4x+4=(x-2)^2$ und somit

  $\begin{align*} \frac12(x^2-2\cdot x \cdot 2+2^2-2^2+6)&=\frac12((x-2)^2+2)\\ &=\frac12(x-2)^2+1 \end{align*}$.

  Dies ist die gesuchte Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt lautet $S(2|1)$.

• Leite die Funktionsgleichung in Normalform her.

  Tipps

  Allgemein lautet die Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$.

  Wofür stehen $a$, $d$ und $e$?

  Welche Bedeutung hat die Tatsache, dass es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, auf den Faktor $a$?

  Zum Beispiel ist zu der Funktion $f(x)=(x-1)^2+2$ der Scheitelpunkt $S(1|2)$.

  Lösung

  Ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion $S(d|e)$ gegeben, so kann die Scheitelpunktform mit $f(x)=a(x-d)^2+e$ angegeben werden.

  Somit gilt hier $f(x)=a(x-(-2))^2+3=a(x+2)^2+3$.

  Da es sich in dieser Aufgabe um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist $a=1$.

  Somit kann die Normalform hergeleitet werden:

  $\begin{align*} f(x)&=(x+2)^2+3&\\ &=x^2+4x+4+3\\ &=x^2+4x+7. \end{align*}$

  Wenn du Schwierigkeiten mit der $x$-Koordinate des Scheitelpunktes hast, so merke dir einfach, dass die Klammer, welche diese $x$-Koordinate angibt, stets gleich $0$ sein muss, wenn du die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes für $x$ einsetzt.

• Gib den Scheitelpunkt der Funktion an.

  Tipps

  Bei der Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ ist der Scheitelpunkt $S(-d|e)$. Bei der Scheitelpunktform $y=a(x-d)^2+e$ ist der Scheitelpunkt $S(d|e)$.

  Beim Scheitelpunkt wird die y-Koordinate abgeschrieben, in der x-Koordinate wird das Vorzeichen vertauscht.

  Lösung

  Die Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=2x^2+4x-2$ ist $f(x)=2(x+1)^2-4$.

  Die allgemeine Darstellung der Scheitelpunktform ist

  • entweder $y=a(x+d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(-d|e)$
  • oder $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

  Beide Male wird in der x-Koordinate das Vorzeichen getauscht, die y-Koordinate wird abgeschrieben.

  In diesem Beispiel ist $a=2$. Bei der oberen Schreibweise der Scheitelpunktform ist $d=1$ und $e=-4$. Somit ist der Scheitelpunkt $S(-1|-4)$.

• Gib die allgemeine Scheitelpunktform an.

  Tipps

  Die 1. binomische Formel wird hier angewendet: $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$.

  Hier ist $u=x$ und $v=\frac {b}{2a}$.

  Lösung

  Die Scheitelpunktform von $ax^2+bx+c$ soll hergeleitet werden.

  Der Faktor $a$ vor dem $x^2$ wird ausgeklammert.

  $ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac {b}{a}x + \frac {c}{a}\right)$

  Zunächst wird der Term $x^2+\frac {b}{a}x + \frac {c}{a}$ so geschrieben, dass erkennbar ist, wie $u$ und $v$ für die binomische Formel zu wählen sind.

  $x^2+\frac {b}{a}x + \frac {c}{a}=x^2+2\cdot x \cdot \frac b{2a} +\frac ca$.

  Hier kann man bereits an den ersten beiden Summanden erkennen, dass $u=x$ und $v=\frac b{2a}$ ist.

  Der Term wird jetzt quadratisch ergänzt. Hierfür wird das Quadrat von $v=\frac b{2a}$ einmal addiert und dann wieder subtrahiert.

  $x^2+\frac {b}{a}x + \frac {c}{a}=x^2+\frac ba x+\left( \frac b{2a}\right)^2-\left( \frac b{2a}\right)^2+ \frac ca $.

  Die ersten drei Summanden bilden die rechte Seite der 1. binomischen Formel $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$.

  $x^2+\frac ba x+\left( \frac b{2a}\right)^2-\left( \frac b{2a}\right)^2+ \frac ca =\left(x+\frac b{2a} \right)^2 -\left( \frac b{2a}\right)^2+ \frac ca$.

  Durch Ausmultiplizieren von $a$ führt dies zu der gesuchten Scheitelpunktform $a\left(x+\frac b{2a} \right)^2 - \frac {b^2}{4a}+ c$.

  Damit kann auch eine allgemeine Formel für die Bestimmung eines Scheitelpunktes der Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ angegeben werden: $S\left(-\frac {b}{2a}|-\frac{b^2}{4a}+c\right)$.