Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (3)

Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (3) Übung

• Vervollständige die Aussagen über die Normal- und Scheitelpunktform.

  Tipps

  Beachte das Vorzeichen der Zahl $d$ bei der Angabe des Scheitelpunktes.

  Ein Beispiel: Die Scheitelpunktform $f(x)=(x-2)^2+3$ hat den Scheitelpunkt $S(2|3)$.

  Lösung

  Es gibt mehrere Möglichkeiten, Funktionsgleichungen darzustellen. Dabei ändert sich nur die äußere Form der Gleichung; die Funktion bleibt aber dieselbe und erzeugt nach wie vor die gleichen Funktionswerte.

  Eine bekannte Möglichkeit und vermutlich auch die erste, die du kennengelernt hast, ist die Normalform. Funktionen werden in ihr durch durch $f(x) = x^2 + px + q$ dargestellt. Ein Beispiel für eine Normalform wäre $f(x) = x^2 + 3x - \frac{1}{4}$.

  Die Normalform eignet sich aber in den meisten Fällen nicht sonderlich gut, um den Scheitelpunkt abzulesen. Daher gibt es auch die Scheitelpunktform, welche du durch ein paar Umformungen der Normalform erreichst. Die Scheitelpunktform sieht folgendermaßen aus: $f(x) = a \cdot (x+d)^2+e$ mit Scheitelpunkt $S~(-d|e)$. Auch die Schreibweise $f(x) = a \cdot (x-d)^2+e$ mit Scheitelpunkt $S~(d|e)$ ist möglich.

  Eine direkte Umformung der Normalform, welche gleichzeitig den Scheitelpunkt angibt, lautet:

  • $f(x) = x^2 + px + q = x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q = (x + (\frac{p}{2}))^2 - (\frac{p}{2})^2 + q$

  Dabei wurde bei der ersten Umformung erst $(\frac{p}{2})^2$ addiert und dann subtrahiert. Dadurch ändert sich also nichts. Der Vorteil ist der, dass du dir nun die binomische Formel zunutze machen kannst. Der Scheitelpunkt hieße dann $(-\frac{p}{2}|-(\frac{p}{2})^2+q)$.

• Schildere, wie sich der Scheitelpunkt der Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)= x^2 + 7x - 8$ berechnen lässt.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet $(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2$.

  Eine Gleichung bleibt korrekt, wenn du $0$ addierst. Dies tust du auch, wenn du auf einer Seite der Gleichung beispielsweise $3$ addierst und wieder abziehst.

  Lösung

  Die quadratische Ergänzung ist eine gute Methode, um die Normalform einer Funktion in die Scheitelpunktform umzuwandeln. Die Normalform kann im Allgemeinen durch $f(x)=x^2 + px + q$ beschrieben werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung addieren wir einmal $(\frac{p}{2})^2$ und ziehen das gleich wieder ab. $+(\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2$ ist $0$. Deshalb brauchst du dir keine Sorgen zu machen, dass deine Funktion plötzlich andere Funktionswerte erzeugt. Der entscheidende Vorteil ist aber, dass du nun die erste binomische Formel anwenden kannst. Warum wir dies tun, werden wir gleich sehen.

  Es ergibt sich also folgende Rechnung:

  $f(x)=x^2 + px + q =x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q = (x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q$

  Wir haben dabei die erste binomische Formel angewendet. Diese lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. In unserem Fall ist nun $a=x$ und $b=\frac{p}{2}$.

  Nun haben wir es schon fast geschafft. Wir können nun den Scheitelpunkt ablesen. Er liegt bei $S~(-\frac{p}{2}|- (\frac{p}{2})^2 + q)$. Das sieht jetzt vielleicht ein bisschen merkwürdig aus, aber es handelt sich ja auch um die allgemeine Form. Berechnen wir doch einmal den Scheitelpunkt für die Funktion $f(x)= x^2 + 7x - 8$. Wir machen uns klar, dass hier $p=7$ und $q=-8$ ist, und legen los:

  $\begin{align} f(x) &= x^2 + 7x - 8=x^2 + 7x + \left( \small{\frac{7}{2}}\right)^2 - \left(\small{\frac{7}{2}}\right)^2 -8 \\\ &= \left( x+\small{\frac{7}{2}}\right)^2 -\left(\small{\frac{7}{2}}\right)^2 -8 = \left( x+\small{\frac{7}{2}}\right)^2 - \small{\frac{81}{4}} \end{align}$

  Unser Scheitelpunkt liegt also bei $S~(-\frac{7}{2}|- \frac{81}{4})$.

• Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion mit der Normalform $f(x)=x^2 + 2x -1$.

  Tipps

  Die quadratische Ergänzung dient dazu, die erste binomische Formel anwenden zu können.

  Nachdem die erste binomische Formel angewendet wurde, lässt sich die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes direkt ablesen.

  Lösung

  Wir wollen den Scheitelpunkt der Funktion mit der Normalform $f(x)=x^2 + 2x -1$ berechnen. Dazu gehen wir folgendermaßen vor:

  • Wir schreiben die gegebene Funktion auf, die ja bereits in Normalform gegeben ist.
  • Als nächstes wenden wir die sogenannte quadratische Ergänzung an. Diese dient dazu, die Normalform so zu erweitern, dass sich die binomische Formel anwenden lässt. Im Allgemeinen addieren wir zu der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ einfach $(\frac{p}{2})^2$ hinzu und ziehen es danach wieder ab. Auf unsere Funktion angewendet, ergibt sich also $f(x) = x^2 + 2x + 1^2 + 1^2 -1^2$, da $p=2$ ist.
  • Dies lässt sich durch die erste binomische Formel zusammenfassen, sodass sich $f(x)=(x+1)^2 - 2$ ergibt. Mache dir klar, wie hier die binomische Formel verwendet wurde.
  • Nun haben wir, was wir wollten. Wir können den Scheitelpunkt direkt ablesen. Ein beliebter Fehler ist allerdings, die $x$-Koordinate falsch abzulesen. Deswegen denke immer daran, dass die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes stets ein anderes Vorzeichen besitzt als die Zahl, welche in der Klammer neben dem $x$ steht. Der Scheitelpunkt lautet somit $S~(-1|-2)$.

• Ermittle die Scheitelpunktformen zu den gegebenen Parabeln.

  Tipps

  Ermittle den Scheitelpunkt, indem du den Funktionsgraphen untersuchst.

  Der Scheitelpunkt bei einer nach oben offenen Parabel ist der tiefste Punkt des Graphen.

  Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Scheitelpunktform ablesen.

  Zur Funktion $f(x) = a \cdot (x + d)^2 + e$ lautet der Scheitelpunkt $S~(-d|e)$.

  Lösung

  Um Scheitelpunktformen von Funktionen mit den entsprechenden Graphen zu verbinden, bietet es sich an, den Scheitelpunkt des Funktionsgraphen abzulesen. Der hier abgebildete violette Funktionsgraph besitzt den Scheitelpunkt $S~(-2|-2)$.

  Die Scheitelpunktform lässt sich mit dieser Information bereits erstellen. Sie lautet $f(x)=(x+2)^2-2$. Dabei hat sich das Vorzeichen der $x$-Koordinate des Scheitelpunktes in der Klammer umgedreht.

  Genauso lässt sich mit den übrigen Scheitelpunktformen verfahren. Der blaue Funktionsgraph hat die Scheitelpunktform $f(x)=(x+0)^2+1 = x^2 +1$. Wenn die $x$-Koordinate gleich $0$ ist, kann die Klammer weggelassen werden.

• Gib an, welche Aussagen zur Scheitelpunktform stimmen.

  Tipps

  Bei der quadratischen Ergänzung schreibst du eine Summe von Quadraten als Quadrat einer Summe.

  Überlege dir, wie der Graph einer quadratischen Funktion aussieht. Was kannst du über die Scheitelpunkte aussagen?

  Die Scheitelpunktform $f(x)=(x+2)^2-3$ kannst du auch als $f(x)=(x-(-2))^2-3$ schreiben. Lese jeweils die Scheitelpunkte ab.

  Lösung

  Wir verwenden die quadratische Ergänzung als Mittel, um die Normalform in die Scheitelpunktform umzuwandeln. Wenn wir die allgemeine Normalform $f(x) = x^2 + px + q$ betrachten, so wird bei der quadratischen Ergänzung $(\frac{p}{2})^2$ einmal zu der Normalform addiert und wieder abgezogen. Dies ändert nichts, aber wir wollen diese kleine Veränderung einmal so belassen und nicht gleich durch $0$ ersetzen. Es ergibt sich also $f(x) = x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q$.

  So können wir die erste binomische Formel anwenden und einen Teil der erweiterten Normalform, nämlich $x^2 + px + (\frac{p}{2})^2$, zu $(x+\frac{p}{2})^2$ umwandeln. Hieraus lässt sich die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes ablesen. Er lautet $-\frac{p}{2}$. Wichtig ist hier, auf das veränderte Vorzeichen zu achten. Es lässt sich sagen: Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes hat immer ein anderes Vorzeichen als der Wert, der in der Scheitelpunktform neben $x$ in der Klammer steht.

  Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes lässt sich etwas leichter ermitteln. Dazu rechnen wir nämlich nur die übrig bleibenden Ausdrücke $-(\frac{p}{2})^2 + q$ zusammen.

  Im Allgemeinen sieht die Scheitelpunktform folgendermaßen aus:

  1. $f(x)= a \cdot (x+d)^2 + e$ mit Scheitelpunkt $(-d|e)$ oder
  2. $f(x)= a \cdot (x-d)^2 + e$ mit Scheitelpunkt $(d|e)$.

  Möglicherweise verwendest du in deiner Klasse ganz andere Variablen für $a$, $d$ und $e$. Lass dich davon aber nicht verwirren. Die Variablen können auch anders gewählt werden.

• Leite die Normalform der Funktion her, deren Funktionsgraph abgebildet ist.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt lässt sich aus dem Funktionsgraphen ablesen.

  Denke an das Vorzeichen, wenn du die Scheitelpunktform aufstellst.

  Aus der Scheitelpunktform lässt sich schnell die Normalform herleiten.

  Multipliziere dazu die Scheitelpunktform aus.

  Lösung

  Bei dem abgebildeten Funktionsgraphen liegt der Scheitelpunkt bei $S~(2|-1)$. Da es sich um eine auf $x$- und $y$-Achse verschobene Normalparabel handelt, vor dem $x^2$ also kein Parameter steht, können wir die Scheitelpunktform aufstellen. Sie lautet $f(x)=(x-2)^2 -1$. Wie du siehst hat sich innerhalb der Klammer das Vorzeichen geändert. Dahinter steckt dieselbe Überlegung, wie beim Ablesen der $x$-Koordinate aus der Scheitelpunktform.

  Nun, da die Scheitelpunktform gegeben ist, können wir die Normalform berechnen, indem wir den gesamten Term ausmultiplizieren:

  $f(x)=(x-2)^2-1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$

  Die gesuchte Normalform ist also $f(x)=x^2 - 4x +3$.