Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (2)

Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (2) Übung

• Berechne die Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=x^2+2x+6$.

  Tipps

  Die 1. binomische Formel lautet $\large{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$. Dabei ist hier $a=x$. Wie muss dann $b$ aussehen?

  Wende zunächst die quadratische Ergänzung an und benutze dann die binomische Formel.

  Am Ende sollte ein Term der Form $f(x)=(x+d)^2+e$ stehen.

  Lösung

  Zur Herleitung der Scheitelpunktform musst du

  • den Term quadratisch ergänzen, um dann
  • eine binomische Formel anwenden zu können.

  Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Hier ist $a=x$ und $b$ ist die Hälfte der Zahl vor dem $x$, also in unserem Fall $b=\frac22$.

  $\begin{align*} x^2+2x+6&=x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=x^2+2\cdot x \cdot \frac22+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=\left(x+\frac22\right)^2-1+6\\ &=(x+1)^2+5. \end{align*}$

• Gib den Scheitelpunkt $S~(x_1|y_1)$ der Funktion an.

  Tipps

  Bei der Scheitelpunktform $\large{y=a(x+d)^2+e}$ ist der Scheitelpunkt $\large{S(-d|e)}$.

  Bei der Scheitelpunktform $\large{y=a(x-d)^2+e}$ ist der Scheitelpunkt $\large{S(d|e)}$.

  Beim Scheitelpunkt wird die y-Koordinate aus der Scheitelpunktform abgeschrieben, bei der x-Koordinate gilt es, das richtige Vorzeichen zu berücksichtigen.

  Lösung

  Die Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=x^2+2x+6$ ist $f(x)=(x+1)^2+5$.

  Die allgemeine Darstellung der Scheitelpunktform ist

  • entweder $y=a(x+d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(-d|e)$
  • oder $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

  Beim Scheitelpunkt wird die y-Koordinate aus der Scheitelpunktform abgeschrieben, bei der x-Koordinate gilt es, das richtige Vorzeichen zu berücksichtigen.

  In diesem Beispiel ist $a=1$, das heißt, es handelt sich um eine Normalparabel. Bei der oberen Schreibweise der Scheitelpunktform ist $d=1$ und $e=5$. Somit ist der Scheitelpunkt $S(-1|5)$.

• Bestimme die Scheitelpunktform der Funktion.

  Tipps

  Die quadratische Ergänzung erfolgt, um eine binomische Formel anwenden zu können.

  Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und die 2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Lösung

  Zur Bestimmung der Scheitelpunktform musst du den Term quadratisch ergänzen. Wie geschieht dies?

  Du wendest eine binomische Formel an $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. In diesem Beispiel ist $a=x$. Um besser zu erkennen, wie $b$ aussieht, schreibst du den Term um

  • $x^2-12x+4 = x^2+2\cdot x \cdot (-6)+2$

  Hier kannst du erkennen, dass $b=-6$ ist. Also

  $\begin{align*} x^2+2\cdot x \cdot (-6)+2&=x^2+2\cdot x \cdot (-6)+(-6)^2-(-6)^2+2\\ & =(x+(-6))^2-36+2\\ &=(x-6)^2-34. \end{align*}$

  Aus der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S(6|-34)$ ablesen.

• Ermittle die Scheitelpunktform der Funktion.

  Tipps

  Bei der binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ist $a=x$. $b$ ist gerade die Hälfte des Faktors vor dem $x$.

  Bei der Funktion $f(x)=x^2+4x+4$ wäre $a=x$ und $b=2$.

  Lösung

  Es wird

  • zuerst quadratisch ergänzt, um
  • dann eine binomische Formel anwenden zu können.

  $\begin{align} x^2-6x+3& = x^2+2\cdot x \cdot (-3)+(-3)^2-(-3)^2+3\\ & =(x-3)^2-9+3\\ &=(x+3)^2-6. \end{align}$

  Die Scheitelpunktform lautet daher $f(x)=(x+3)^2-6$. Die Funktion besitzt den Scheitelpunkt $S(-3|-6)$.

• Ermittle die einzelnen Schritte, welche bei der Umformung von Normalform zur Scheitelpunktform durchgeführt werden.

  Tipps

  Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=(x+d)^2+e$.

  In der Scheitelpunktform steht eine binomische Formel.

  Lösung

  Zur Herleitung der Scheitelpunktform musst du

  • den Term quadratisch ergänzen, um dann
  • die 1. oder 2. binomische Formel anwenden zu können.

  Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Um zu erkennen, was $a$ und was $b$ ist, muss der Term zunächst quadratisch ergänzt werden. In diesem Fall ist $a=x$ und $b=1$. $\begin{align*} x^2+2x+6&=x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=x^2+2\cdot x \cdot \frac22+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=\left(x+\frac22\right)^2-1+6\\ &=(x+1)^2+5. \end{align*}$

• Leite die p-q-Formel her.

  Tipps

  Beachte beim Ziehen der Wurzel das „$±$“, da zum Beispiel sowohl $2^2=4$ als auch $(-2)^2=4$ ist.

  Der Term $\left(\frac p2\right)^2-q$ steht in der Lösung der obigen Gleichung unter der Wurzel. Dieser Term heißt Diskriminante.

  Eine Wurzel ist nur definiert für Zahlen, die größer oder gleich 0 sind.

  Die Zusammenfassung der oben angegebenen Lösung wird auch als p-q-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen $x^2+px+q=0$ bezeichnet.

  Lösung

  Die Scheitelpunktform von $x^2+px+q$ ist $\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q$.

  Also kann statt der Gleichung $x^2+px+q=0$ auch die Gleichung $\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q=0$ gelöst werden. Die Addition von $\left(\frac p2\right)^2$ und Subtraktion von $q$ führt zu

  $\begin{align*} \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q&=0 &|& +\left(\frac p2\right)^2-q\\ \left(x+\frac p2\right)^2&=\left(\frac p2\right)^2-q \end{align*}$

  Nun kann auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass das Ergebnis sowohl positiv als auch negativ sein kann, da zum Beispiel sowohl $2^2=4$ als auch $(-2)^2=4$ ist.:

  $x+\frac p2=±\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Nun wird $\frac p2$ subtrahiert und man erhält die Lösungsformel, welche als p-q-Formel bezeichnet wird.

  $\mathbf{x_{1/2}=-\frac p2±\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}}$.

  Sei nun der Term, der unter der Wurzel steht, $\left(\frac p2\right)^2-q$ größer als 0, so existieren zwei Lösungen $x_1$ durch Addition und $x_2$ durch Subtraktion des Wurzelterms.

  Ist der Term gleich 0, so existiert nur eine Lösung, nämlich $x_1=-\frac p2$.

  Wenn der Term kleiner ist als 0, so kann die Wurzel nicht gebildet werden und es gibt keine Lösung.

  Dieser Term wird als Diskriminante bezeichnet.