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Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (2)

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Martin Wabnik
Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (2)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (2)

Ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Normalform gegeben, kannst du sie in Scheitelpunktform (Scheitelform) bringen. Im Video wird dir dieses Verfahren am Beispiel der quadratischen Funktion f ( x ) = x² + 2x + 6 vorgestellt. Hierfür benötigst du die quadratische Ergänzung sowie die binomischen Formeln. Wie wendet man nun die quadratische Ergänzung an und wie lauten die binomischen Formeln? Nutze die Gelegenheit und wiederhole in diesem Zusammenhang die quadratische Ergänzung sowie die binomischen Formeln.

Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=x^2+2x+6$.

    Tipps

    Die 1. binomische Formel lautet $\large{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$. Dabei ist hier $a=x$. Wie muss dann $b$ aussehen?

    Wende zunächst die quadratische Ergänzung an und benutze dann die binomische Formel.

    Am Ende sollte ein Term der Form $f(x)=(x+d)^2+e$ stehen.

    Lösung

    Zur Herleitung der Scheitelpunktform musst du

    • den Term quadratisch ergänzen, um dann
    • eine binomische Formel anwenden zu können.
    Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Hier ist $a=x$ und $b$ ist die Hälfte der Zahl vor dem $x$, also in unserem Fall $b=\frac22$.

    $\begin{align*} x^2+2x+6&=x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=x^2+2\cdot x \cdot \frac22+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=\left(x+\frac22\right)^2-1+6\\ &=(x+1)^2+5. \end{align*}$

  • Gib den Scheitelpunkt $S~(x_1|y_1)$ der Funktion an.

    Tipps

    Bei der Scheitelpunktform $\large{y=a(x+d)^2+e}$ ist der Scheitelpunkt $\large{S(-d|e)}$.

    Bei der Scheitelpunktform $\large{y=a(x-d)^2+e}$ ist der Scheitelpunkt $\large{S(d|e)}$.

    Beim Scheitelpunkt wird die y-Koordinate aus der Scheitelpunktform abgeschrieben, bei der x-Koordinate gilt es, das richtige Vorzeichen zu berücksichtigen.

    Lösung

    Die Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=x^2+2x+6$ ist $f(x)=(x+1)^2+5$.

    Die allgemeine Darstellung der Scheitelpunktform ist

    • entweder $y=a(x+d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(-d|e)$
    • oder $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.
    Beim Scheitelpunkt wird die y-Koordinate aus der Scheitelpunktform abgeschrieben, bei der x-Koordinate gilt es, das richtige Vorzeichen zu berücksichtigen.

    In diesem Beispiel ist $a=1$, das heißt, es handelt sich um eine Normalparabel. Bei der oberen Schreibweise der Scheitelpunktform ist $d=1$ und $e=5$. Somit ist der Scheitelpunkt $S(-1|5)$.

  • Bestimme die Scheitelpunktform der Funktion.

    Tipps

    Die quadratische Ergänzung erfolgt, um eine binomische Formel anwenden zu können.

    Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und die 2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Lösung

    Zur Bestimmung der Scheitelpunktform musst du den Term quadratisch ergänzen. Wie geschieht dies?

    Du wendest eine binomische Formel an $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. In diesem Beispiel ist $a=x$. Um besser zu erkennen, wie $b$ aussieht, schreibst du den Term um

    • $x^2-12x+4 = x^2+2\cdot x \cdot (-6)+2$
    Hier kannst du erkennen, dass $b=-6$ ist. Also

    $\begin{align*} x^2+2\cdot x \cdot (-6)+2&=x^2+2\cdot x \cdot (-6)+(-6)^2-(-6)^2+2\\ & =(x+(-6))^2-36+2\\ &=(x-6)^2-34. \end{align*}$

    Aus der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S(6|-34)$ ablesen.

  • Ermittle die Scheitelpunktform der Funktion.

    Tipps

    Bei der binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ist $a=x$. $b$ ist gerade die Hälfte des Faktors vor dem $x$.

    Bei der Funktion $f(x)=x^2+4x+4$ wäre $a=x$ und $b=2$.

    Lösung

    Es wird

    • zuerst quadratisch ergänzt, um
    • dann eine binomische Formel anwenden zu können.
    $\begin{align} x^2-6x+3& = x^2+2\cdot x \cdot (-3)+(-3)^2-(-3)^2+3\\ & =(x-3)^2-9+3\\ &=(x+3)^2-6. \end{align}$

    Die Scheitelpunktform lautet daher $f(x)=(x+3)^2-6$. Die Funktion besitzt den Scheitelpunkt $S(-3|-6)$.

  • Ermittle die einzelnen Schritte, welche bei der Umformung von Normalform zur Scheitelpunktform durchgeführt werden.

    Tipps

    Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=(x+d)^2+e$.

    In der Scheitelpunktform steht eine binomische Formel.

    Lösung

    Zur Herleitung der Scheitelpunktform musst du

    • den Term quadratisch ergänzen, um dann
    • die 1. oder 2. binomische Formel anwenden zu können.
    Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Um zu erkennen, was $a$ und was $b$ ist, muss der Term zunächst quadratisch ergänzt werden. In diesem Fall ist $a=x$ und $b=1$. $\begin{align*} x^2+2x+6&=x^2+2x+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=x^2+2\cdot x \cdot \frac22+\left(\frac22\right)^2-\left(\frac22\right)^2+6\\ &=\left(x+\frac22\right)^2-1+6\\ &=(x+1)^2+5. \end{align*}$

  • Leite die p-q-Formel her.

    Tipps

    Beachte beim Ziehen der Wurzel das „$±$“, da zum Beispiel sowohl $2^2=4$ als auch $(-2)^2=4$ ist.

    Der Term $\left(\frac p2\right)^2-q$ steht in der Lösung der obigen Gleichung unter der Wurzel. Dieser Term heißt Diskriminante.

    Eine Wurzel ist nur definiert für Zahlen, die größer oder gleich 0 sind.

    Die Zusammenfassung der oben angegebenen Lösung wird auch als p-q-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen $x^2+px+q=0$ bezeichnet.

    Lösung

    Die Scheitelpunktform von $x^2+px+q$ ist $\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q$.

    Also kann statt der Gleichung $x^2+px+q=0$ auch die Gleichung $\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q=0$ gelöst werden. Die Addition von $\left(\frac p2\right)^2$ und Subtraktion von $q$ führt zu

    $\begin{align*} \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q&=0 &|& +\left(\frac p2\right)^2-q\\ \left(x+\frac p2\right)^2&=\left(\frac p2\right)^2-q \end{align*}$

    Nun kann auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass das Ergebnis sowohl positiv als auch negativ sein kann, da zum Beispiel sowohl $2^2=4$ als auch $(-2)^2=4$ ist.:

    $x+\frac p2=±\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    Nun wird $\frac p2$ subtrahiert und man erhält die Lösungsformel, welche als p-q-Formel bezeichnet wird.

    $\mathbf{x_{1/2}=-\frac p2±\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}}$.

    Sei nun der Term, der unter der Wurzel steht, $\left(\frac p2\right)^2-q$ größer als 0, so existieren zwei Lösungen $x_1$ durch Addition und $x_2$ durch Subtraktion des Wurzelterms.

    Ist der Term gleich 0, so existiert nur eine Lösung, nämlich $x_1=-\frac p2$.

    Wenn der Term kleiner ist als 0, so kann die Wurzel nicht gebildet werden und es gibt keine Lösung.

    Dieser Term wird als Diskriminante bezeichnet.

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