30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (1)

Bewertung

Ø 4.3 / 16 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (1)

Ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Normalform gegeben, kannst du sie in Scheitelpunktform ( Scheitelform ) bringen. Im Video wird dir dieses Verfahren am Beispiel der quadratischen Funktion f ( x ) = x² - 8x + 17 vorgestellt. Hierfür benötigst du die quadratische Ergänzung sowie die binomischen Formeln. Wie wendet man nun die quadratische Ergänzung an und wie lauten die binomischen Formeln? Nutze die Gelegenheit und versuche die Umformung von der Normalform in die Scheitelpunktform zunächst selbständig. Nur so kannst du überprüfen, ob du das Verfahren verstanden hast. Im Anschluss kannst du dein Ergebnis mithilfe des Videos vergleichen. Viel Erfolg!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Wirklich klasse! Du schaffst es was mein Lehrer in einer Stunde nicht schafft mir zu erklären, in sieben Minuten mir es zu erklären.

    Von L&M, vor 10 Monaten
  2. super erklärt!!

    Von Tras Mail, vor mehr als 3 Jahren
  3. @Bschmidtjaeger: Schau dir das Video nochmal an und speziell ab der Stelle 3:04 wird erklärt, woher die 2 und woher das x kommt.
    Die erste binomische Formel lautet: (a+b)²=a²+2ab+b²
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 4 Jahren
  4. Was sind denn diese 2 mal x

    Von Bschmidtjaeger, vor mehr als 4 Jahren
  5. Sehr gut erklärt!
    Vielen Dank!

    Von Milli254, vor fast 5 Jahren

Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform aufstellen – Aufgabe (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Scheitelpunktform der Funktion.

    Tipps

    Bei der quadratischen Ergänzung wird der Term so ergänzt, dass eine binomische Formel angewendet werden kann.

    Die 1. binomische Formel lautet $\large{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$.

    Dabei ist hier $\large{a=x}$. Wie muss dann $\large{b}$ aussehen?

    Lösung

    Ergänze zunächst den Term $x^2-8x+17$ quadratisch. Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Hier ist $a=x$ und $b=\frac{-8}2=-4$.

    Also lautet die binomische Formel $(x-4)^2=x^2-8x+16$. Der Summand $16$ ist zu viel, muss also wieder abgezogen werden:

    $\begin{align*} x^2-8x+17& = x^2-8x+\left(\frac{-8}2 \right)^2-\left(\frac{-8}2 \right)^2+17 \\ & =\left(x+\frac{-8}2 \right)^2-16+17\\ &=(x-4)^2+1. \end{align*}$

  • Gib den Scheitelpunkt der Funktion an.

    Tipps

    Bei der Scheitelpunktform $\large{y=a(x+d)^2+e}$ ist der Scheitelpunkt $\large{S(-d|e)}$.

    Bei der Scheitelpunktform $\large{y=a(x-d)^2+e}$ ist der Scheitelpunkt $\large{S(d|e)}$.

    Beim Scheitelpunkt kann die y-Koordinate aus der Scheitelpunktform abgeschrieben werden, bei der x-Koordinate gilt es, das richtige Vorzeichen zu beachten.

    Lösung

    Die Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=x^2-8x+17$ ist $f(x)=(x-4)^2+1$.

    Die allgemeine Darstellung der Scheitelpunktform ist

    • entweder $y=a(x+d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(-d|e)$
    • oder $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.
    In beiden Fällen gilt es, das Vorzeichen der x-Koordinate zu beachten. Dabei kannst du dir merken, dass die Klammer der Scheitelpunktform immer gleich 0 sein muss, wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunktes einsetzt. Die y-Koordinate wird aus der Scheitelpunktform abgeschrieben.

    In diesem Beispiel ist $a=1$, das heißt, es handelt sich um eine Normalparabel. Bei der unteren Schreibweise der Scheitelpunktform ist $d=4$ und $e=1$. Somit ist der Scheitelpunkt $S(4|1)$.

  • Erläutere das Vorgehen bei der Bestimmung der Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=x^2+5x+3,25$.

    Tipps

    Die quadratische Ergänzung erfolgt, um eine binomische Formel anwenden zu können.

    Die 1. binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ und die 2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Lösung

    Die Herleitung der Scheitelpunktform verläuft immer in diesen Schritten:

    1. Gegebenenfalls Ausklammern des Faktors vor dem $x^2$.
    2. Quadratische Ergänzung des Terms $x^2+px+q$, welcher nach dem Ausklammern in der Klammer steht.
    3. Anwenden einer binomischen Formel und Ausmultiplizieren der Klammer.
    Um zu erkennen, was die Rolle von $a$ und was die von $b$ in der 1. binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ spielt, kannst du den Term zunächst umschreiben:

    • $x^2+5x+3,25= x^2+2\cdot x \cdot 2,5+3,25$, also ist $a=x$ und $b=2,5$.
    • Jetzt wird der Term quadratisch ergänzt, um eine binomische Formel anwenden zu können.
    $\begin{align*} x^2+5x+3,25& = x^2+2\cdot x \cdot 2,5+3,25\\ &= x^2+2\cdot x \cdot 2,5+(2,5)^2-(2,5)^2+3,25\\ & =(x+2,5)^2-6,25+3,25\\ &=(x+2,5)^2-3. \end{align*}$

    Aus der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt $S(-2,5|-3)$ ablesen.

  • Leite die Scheitelpunktform der Funktion $f(x)=x^2-4x+5$ her.

    Tipps

    Du könntest bei jeder der Scheitelpunktformen eine binomische Formel anwenden und so zur Normalform gelangen.

    Bei der binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ist $a=x$. $b$ ist gerade die Hälfte des Faktors vor dem $x$.

    Lösung

    Bei jeder der Funktionen wendest du die 1. binomische Formel an. Diese lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Natürlich kannst du auch die 2. binomische Formel anwenden.

    In diesem Beispiel gilt, dass $a=x$ ist. Wenn du dann noch weißt, dass $b$ gerade die Hälfte des Faktors vor dem $x$ ist, bist du fast fertig.

    $x^2-4x+5$: Hier ist $b=-2$. Also lautet die Scheitelpunktform $(x-2)^2+...$. Wir fragen uns, was da stehen muss. Wir haben ja, um die binomische Formel anwenden zu können, $(-2)^2$ ergänzt, sodass sich aus $x^2-4x+5$ der Term $x^2-4x+(-2)^2-(-2)^2+5$ ergibt. In den ersten drei Gliedern lässt sich die binomische Formel erkennen: $x^2-4x+(-2)^2=(x-2)^2$. Der Rest kann zu $-(-2)^2+5=-4+5=1$ zusammengefasst werden.

    Es ergibt sich die Scheitelpunktform $(x-2)^2+1$.

  • Gib die einzelnen Schritte an, welche bei der Umformung von Normalform zur Scheitelpunktform durchgeführt werden.

    Tipps

    Die Scheitelpunktform lautet $f(x)=(x+d)^2+e$.

    In der Scheitelpunktform ist eine binomische Formel enthalten.

    Lösung

    Du startest mit einer quadratischen Funktion in Normalform.

    Wie sieht die Scheitelpunktform aus?

    $f(x)=x^2-8x+17$.

    1. Zunächst wird der Term quadratisch ergänzt, um einen Term zu erhalten, welcher mit den binomischen Formeln umgeformt werden kann. $x^2-8x+17=x^2-8x+(-4)^2-(-4)^2+17$. Hier wird ein quadratischer Term addiert, sodass du die 1. binomische Formel erhältst, und dann gleich wieder subtrahiert.
    2. Auf die ersten drei Glieder ist die 1. binomische Formel anwendbar: $x^2-8x+(-4)^2=(x-4)^2$ und damit ist $f(x)=x^2-8x+17=(x-4)^2-(-4)^2+17$.
    3. Das Zusammenfassen der letzten beiden Terme führt zu der Scheitelpunktform $f(x)=(x-4)^2+1$.
  • Stelle die Scheitelpunktform allgemein auf.

    Tipps

    Die 1. binomische Formel wird hier angewendet: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Hier ist $a=x$ und $b=\frac p2$.

    Lösung

    Die Scheitelpunktform von $x^2+px+q$ soll hergeleitet werden.

    Zunächst wird der Term so geschrieben, dass erkennbar ist, wie $a$ und $b$ für die binomische Formel zu wählen sind.

    $x^2+px+q=x^2+2\cdot x \cdot \frac p2 +q$. Hier kann man bereits an den ersten beiden Summanden erkennen, dass $a=x$ und $b=\frac p2$ ist.

    Der Term wird jetzt quadratisch ergänzt, sodass die ersten drei Summanden durch die 1. binomische Formel umgewandelt werden können. Hierfür wird das Quadrat von $b=\frac p2$ einmal addiert und dann wieder subtrahiert.

    $x^2+px+q=x^2+2\cdot x \cdot \frac p2+\left( \frac p2\right)^2-\left( \frac p2\right)^2+q$.

    Die ersten drei Summanden bilden die rechte Seite der 1. binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    $x^2+2\cdot x \cdot \frac p2+\left( \frac p2\right)^2-\left( \frac p2\right)^2+q=\left(x+\frac p2\right)^2-\left( \frac p2\right)^2+q$.

    Dies ist die gesuchte Scheitelpunktform $(x+d)^2+e$, wobei

    • $d=\frac p2$ und
    • $e=-\left( \frac p2\right)^2+q$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.832

Lernvideos

44.281

Übungen

38.925

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden