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Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1)

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André Otto
Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1)

Herzlich Willkommen zum Video „ Scheitelpunt ohne Scheitelpunktformel “. Es handelt sich im Video um die graphische Darstellung quadratischer Funktionen. Wie bestimmt man ohne Differentialrechnung den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion? Du solltest bereits wissen, was quadratisch Funktionen und Normalparabeln sind. Außerdem wäre es schön, wenn du die Funktionsgleichung quadratischer Funktionen kennst und die Nullstellenbestimmung ausführen kannst. Eine weitere Lernvoraussetzung ist die Kenntnis der Scheitelpunktsform sowie der richtige Umgang mit Termen und das Lösen von quadratischen Gleichungen. Dir wird in diesem Video mithilfe von Beispielen gezeigt, wie man einen Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktsform bestimmen kann. Viel Spaß beim Film!

Transkript Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1)

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, herzlich willkommen zum Video Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1). Ihr werdet es sicher schon erraten haben, es handelt sich hier um Scheitelpunkte von Parabeln, von grafischen Darstellungen, von quadratischer Funktionen. 2 deren Vertreter möchte ich einmal darstellen, eine sei nach oben geöffnet, die andere nach unten geöffnet. Dann sei der Scheitelpunkt der roten Kurve SR, der Scheitelpunkt der blauen Kurve SB. Ganze Generationen von Schülerinnen und Schüler wurden nun fast in den Wahnsinn getrieben, um diese Scheitelpunkte zu bestimmen und das ohne Differenzialrechnung in den Klassenstufen 9 und 10. Wie gehen sie ran? Ja richtig, sie suchen die Scheitelpunktsformel. So, wir wollen heute versuchen, die Aufgabe zu lösen, ohne diese Formel zu verwenden. Wir werden schrittweise vorangehen, von einfachen bis zu komplizierteren Fällen und am Ende werden wir sehen, dass wir auch in schwierigen Fällen Erfolg haben werden. Ich möchte die wichtigsten Lernvoraussetzungen angehen. Als Erstes solltet ihr über quadratische Funktionen bescheid wissen, das heißt: a) die Normalparabel kennen b) ihr solltet die Funktion f(x)=x2+px+q kennen c) ihr solltet mit der Nullstellenbestimmung vertraut sein d) ich solltet euch schon mal mit dem Bestimmen der Scheitelpunktsformen auseinandergesetzt haben e) ihr solltet die Scheitelpunktformel kennen f) ihr solltet sir Funktion f(x)=ax2+bx+c kennen Als 2. solltet ihr mit Termumformung und des Lösen quadratischer Gleichungen vertraut sein. So, dann beginnen wir einmal mit dem einfachsten Fall. Ich habe in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion f1(x)=x2, ihr kennt diese Funktion. Der Graph dieser Funktion ist die Normalparabel, sie hat den Scheitelpunkt S(0/0).

Wir wollen nun diese Normalparabel verschieben. Wir nehmen dafür die Funktion f2(x)=x2-1. Im Vergleich zur Normalparabel iste der Graph dieser Funktion, hier mit lila Farbe gekennzeichnet, um 1 in Richtung der y-Achse verschoben. Nun wollen wir eine Verschiebung der Normalparabel entlang der x-Achse bewerkstelligen. Wir schreiben mit grüner Farbe: f3(x)=(x-2)2. Der Graph dieser Funktion ist um +2 entlang der x-Achse im Vergleich zur Normalparabel verschoben. Wir können die Scheitelpunkte der beiden letzten Graphen sehr einfach ablesen. Sie betragen für lila S(0/-1) und für grün S(2/0). Nun wollen wir den Graphen der Normalparabel sowohl in Richtung der x-Achse als auch in Richtung der y-Achse verschieben. Wir erhalten die Funktionsgleichung f4(x)=(x-2)2-1. Wir haben bei Hellblau sozusagen lila und grün miteinander kombiniert. Der Scheitelpunkt des Graphen der letzten Funktion ist leicht ablesbar. Er beträgt (2/-1). Das Leben könnte so schön sein und wir könnten sagen, wir haben die Aufgabe gelöst, aber so ist es nicht. Die letzte Form ist bereits die Scheitelpunktsform und es gibt andere Darstellungsweisen für quadratische Funktionen und denen wollen wir uns nun widmen. Inzwischen habe ich noch einmal ein Koordinatensystem frisch vorbereitet und wähle zur Untersuchung der Funktion f(x)=x2-5x+6. Ich möchte nun zeigen, wie man ausgehend von dieser Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmt. Zunächst ermittelt man die Nullstellen, man setzt f(x)=0. Nun verwendet man die p-q-F. Wir erhalten x1,2=5/2±\sqrt(5/22-6)). Wir rechnen weiter, nächste Zeile =5/2±\sqrt(25/4-24/4)) Wir haben die 5/2 in Nenner und Zähler quadriert und aus den -6 einen Bruch gemacht, in der im Nenner ebenfalls eine 4 steht. Wir machen weiter in der 2. Zeile: =5/2±\sqrt(1/4)) 3.Zeile: x1,2=5/2±1/2 Wir erhalten somit als Lösung der quadratischen Gleichung x1=3 und x2=2 jeweils einmal unterstrichen. Soweit ist alle klar, aber es ist noch unklar, worauf wir eigentlich hinaus wollen. Und nun setzt die eigentliche Idee ein. Wir wissen nämlich, dass Parabeln symmetrisch sind. Demzufolge befindet sich die x-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen x1 und x2. Sie ist gewisser Maßen von beiden das arithmetisches Mittel. Somit erhalten wir, mit rot gekennzeichnet, xs=x1+x2/2, wir setzen ein und erhalten xs=3+2/2=5/2=5/2 oder wer es so besser mag, 2,5. Andererseits wissen wir aber, dass es sich bei der Funktion um eine eindeutige Abbildung. Das heißt, wenn wir xs ermittelt haben, können wir durch Einsetzen des Wertes in der Funktionsgleichung den dazu gehörigen Wert ys bestimmen. Also, ys=f(xs) f(5/2)=(5/2)2-5×5/2+6. Blau geschrieben darunter, geschrieben=25/4-50/4+24/4=-1/4=-0,25 (wir haben den gemeinsamen Nenner 4 geschaffen). Wir scheuen uns nur noch einmal an, wie dieses grafisch aussieht. Wir haben den Scheitelpunkt S erhalten. Die x-Koordinate beträgt 2,5, die y-Koordinate -0,25. Die Nullstellen kennen wir, sie liegen bei 2 und 3. Durch Anlegen der Kurvenschablone erhalten wir den Graphen S der dazugehörigen Funktionsgleichung f(x)=x2-5x+6. Aber, ja, ich habe diese knarrende und ständig unzufriedene Stimme gehört. Es gibt noch andere Fälle, wo dieses Verfahren nicht funktioniert, aber Fortsetzung folgt.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Wow auch von mir!

    Von Jan Michael Witt, vor fast 4 Jahren
  2. ^Wow^

    Von Jeanluc Werba, vor etwa 4 Jahren
  3. ys erhält man durch Einsetzen von xs in die Funktionsgleichung und Ausrechnen.
    Die zweite Frage verstehe ich nicht.
    A. O.

    Von André Otto, vor fast 7 Jahren
  4. wie haben sie ys heraus bekommen ?? wie kamen sie auf den rechenweg????

    Von Deleted User 185772, vor fast 7 Jahren
  5. danke

    Von Reggi15, vor mehr als 10 Jahren

Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die einzelnen Schritte zur Bestimmung des Scheitelpunktes.

    Tipps

    Rot eingezeichnet siehst du die Symmetrieachse dieser Parabel.

    Jede Parabel besitzt eine zur $y$-Achse parallele Symmetrieachse. Diese verläuft durch den Scheitelpunkt.

    Die Parabel hat die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=2$ sowie den Scheitelpunkt $S(1|-1)$.

    Lösung

    Du kannst bei quadratischen Funktionen, welche zwei Nullstellen besitzen, den Scheitelpunkt wie folgt bestimmen:

    1. Berechne die beiden Nullstellen $x_1$ und $x_2$ der zugehörigen Parabel.
    2. Die $x$-Koordinate liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen. Es ist also $x_S=\frac{x_1+x_2}2$.
    3. Nun kannst du die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes bestimmen, indem du die $x$-Koordinate $x_S$ in die Funktionsgleichung einsetzt. Es ist also $y_S=f(x_S)$.
    4. Schließlich kannst du den Scheitelpunkt angeben: $S(x_S|y_S)$.
    Begründung für die $x$ -Koordinate

    • In dem Bild siehst du eine Parabel. Diese hat die Nullstellen $x_1=0$ sowie $x_2=2$.
    • Rot eingezeichnet ist die Symmetrieachse. Diese verläuft parallel zur $y$-Achse durch den Scheitelpunkt, hier $S(1|-1)$.
    • Die Nullstellen liegen symmetrisch zu dieser Achse.
    • Das bedeutet, dass die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte dieser Nullstellen liegt: $x_S=\frac{0+2}2=1$.
    Einschränkungen dieses Vorgehens

    Dieses Vorgehen funktioniert nur dann, wenn die Parabel zwei Nullstellen hat. Allerdings muss nicht jede Parabel zwei Nullstellen haben. Sie kann auch nur eine oder gar keine Nullstelle besitzen.

  • Beschreibe, wie du den Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktform ermitteln kannst.

    Tipps

    Verwende für die Berechnung der Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ die $pq$-Formel:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Eine zu einer quadratischen Funktion gehörende Parabel ist achsensymmetrisch.

    Die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt.

    Wenn eine Parabel zwei Nullstellen hat, dann liegt die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte der beiden Nullstellen.

    Ein beliebiger Punkt auf dem Funktionsgraphen einer Funktion $f$ lautet $P(x|f(x))$.

    Lösung

    Hier siehst du die Parabel zu der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2-5x+6$.

    Du kannst daran erkennen, dass zum einen zwei Nullstellen vorliegen und zum anderen die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen liegt. Anders ausgedrückt: Diese Parabel hat eine Symmetrieachse, welche durch den Scheitelpunkt verläuft. Das trifft übrigens auch auf jede andere Parabel zu.

    Berechnen der Nullstellen

    Verwende hierfür die $pq$-Formel:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac {-5}2\pm\sqrt{\left(\frac {-5}2\right)^2-6}\\ &=&2,5\pm\sqrt{0,25}\\ x_1&=&2,5+0,5=3\\ x_2&=&2,5-0,5=2\\ \end{array}$

    Ermitteln der $x$-Koordinate des Scheitelpunktes

    Da die $x$-Koordinate genau in der Mitte der beiden Nullstellen liegt, gilt $x_S=\frac{2+3}2=\frac52=2,5$.

    Berechnen der $y$-Koordinate des Scheitelpunktes

    Bei bekannter $x$-Koordinate kannst du die $y$-Koordinate durch Einsetzen in die Funktionsgleichung berechnen:

    $y_S=2,5^2-5\cdot 2,5+6=-0,25$.

    Nun kannst du den Scheitelpunkt angeben. Dieser lautet $S(2,5|-0,25)$. Schau einmal genau hin. Du kannst diesen Scheitelpunkt auch in dem Bild erkennen.

  • Leite den Scheitelpunkt der Parabel her.

    Tipps

    Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ kannst du mit der $pq$-Formel wie folgt bestimmen:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Das arithmetische Mittel zweier Zahlen $a$ und $b$ ist gegeben durch $\frac{a+b}2$.

    Achte darauf, dass bei Punkten zunächst die $x$- und dann die $y$-Koordinate aufgeschrieben wird.

    Merke dir hierfür die Reihenfolge im Alphabet: „x“ kommt vor „y“.

    Lösung

    Hier siehst du die zu der quadratischen Funktion $f$ mit $f(x)=x^2-4x-5$ gehörende Parabel. Nun kannst du sehen, wie Marie den Scheitelpunkt bestimmt:

    Nullstellenberechnung

    Verwende die $pq$-Formel:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac {-4}2\pm\sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2+5}\\ &=&2\pm\sqrt{9}\\ x_1&=&2+3=5\\ x_2&=&2-3=-1\\ \end{array}$

    Diese Nullstellen kannst du in dem Bild erkennen. Sie sind dort abzulesen, wo die Parabel die $x$-Achse schneidet.

    Berechnen der Scheitelpunkt-$x$-Koordinate

    Diese ist gegeben als das arithmetische Mittel der beiden Nullstellen $x_S=\frac{-1+5}2=\frac42=2$.

    Berechnen der Scheitelpunkt-$y$-Koordinate

    Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes ist der Funktionswert an der Stelle $x_S$, also $y_S=f(x_S)$. Setze also $x_S=2$ in die Funktionsgleichung ein. So erhältst du $y_S=2^2-4\cdot2 -5=-9$.

    Angabe des Scheitelpunktes

    Jeder Punkt $(x|y)$ im Koordinatensystem hat eine $x$- sowie eine $y$-Koordinate. Achte auf die Reihenfolge.

    Der Scheitelpunkt lautet $S(2|-9)$.

    Auch diesen kannst du in dem Bild erkennen.

  • Ermittle den Scheitelpunkt der Parabel.

    Tipps

    Da die Parabel nach oben geöffnet ist, muss die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes negativ sein.

    Da die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte der beiden Nullstellen liegt, kannst du $x_S=-\frac p2$ aus der $pq$-Formel verwenden.

    $p$ ist dabei der Koeffizient vor der Variablen $x$, wenn die quadratische Funktion in der Normalform ist.

    Warum ist das so?

    • Die Nullstellen liegen symmetrisch zur $x$-Koordinate des Scheitelpunktes.
    • In der $pq$-Formel wird einmal $\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$ addiert und einmal subtrahiert.

    Wenn du die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes kennst, kannst du die $y$-Koordinate durch Einsetzen dieser $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung ermitteln.

    Lösung

    Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel zu $f(x)=x^2+6x-16$.

    Du kannst den Weg zur Bestimmung des Scheitelpunktes einer Parabel mit zwei Nullstellen ein wenig beschleunigen.

    Die Nullstellen lassen sich mit der $pq$-Formel berechnen:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Du siehst, dass durch die Addition beziehungsweise Subtraktion von $\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$ die beiden Nullstellen symmetrisch zu $-\frac p2$ liegen. Aha: Das bedeutet doch, dass $-\frac p2$ die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes sein muss.

    Somit ist $x_S=-\frac62=-3$.

    Nun kannst du die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes so berechnen: $y_S=f({-3})=({-3})^2+6\cdot ({-3})-16=-25$.

    Der Scheitelpunkt lautet dann $S(-3|-25)$.

  • Gib die Scheitelpunkte der Parabeln an.

    Tipps

    Einen Punkt $P$ im Koordinatensystem gibst du wie folgt an:

    $P(x\vert y)$.

    Der Scheitelpunkt bei den abgebildeten Parabeln ist jeweils der tiefste Punkt.

    Ist eine quadratische Funktion $f$ in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ gegeben, so kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Dieser ist $S(d|e)$.

    Lösung

    Jede der hier abgebildeten Parabeln gehört zu einer quadratischen Funktion der Form $x^2+bx+c$. Der Streckfaktor ist also jeweils $a=1$.

    Die dunkelblaue, grüne und hellblaue Parabel gehen jeweils durch Verschiebung aus der roten Parabel hervor.

    Die rote Parabel hat den Koordinatenursprung als Scheitelpunkt $S(0|0)$.

    Die dunkelblaue Parabel

    • ... entsteht durch Verschiebung entlang der $y$-Achse um eine Einheit nach unten.
    • Damit ist $g(x)=x^2-1$.
    • So verschiebt sich auch der Scheitelpunkt zu $S(0|-1)$.
    Die grüne Parabel

    • ... entsteht durch Verschiebung entlang der $x$-Achse um zwei Einheiten nach rechts.
    • Somit ist $h(x)=(x-2)^2$.
    • So kannst du auch den Scheitelpunkt verschieben zu $S(2|0)$.
    Die hellblaue Parabel

    • ... entsteht durch zwei Verschiebungen: Entlang der $y$-Achse um eine Einheit nach unten und entlang der $x$-Achse um zwei Einheiten nach rechts.
    • So erhältst du $k(x)=(x-2)^2-1$.
    • So verschiebt sich auch der Scheitelpunkt zu $S(2|-1)$.
  • Arbeite heraus, wie du Scheitelpunkte berechnen kannst, wenn keine zwei Nullstellen vorhanden sind.

    Tipps
    • Jeder Punkt auf der $x$-Achse hat die $y$-Koordinate $0$.
    • Jeder Punkt auf der $y$-Achse hat die $x$-Koordinate $0$.

    Übrigens: Die Bestimmung des Scheitelpunktes für den Fall, dass keine Nullstelle vorliegt, kannst du auch bei zwei Nullstellen oder einer Nullstelle anwenden.

    Rechne rückwärts ausgehend von der Scheitelpunktform $f(x)=(x-d)^2+e$.

    • Zunächst einmal ist der Scheitelpunkt $S(d|e)$. An der Stelle $x=d$ wird also der kleinste Funktionswert angenommen. Dies liegt daran, dass $(x-d)^2$ für $x=d$ gerade den kleinsten Wert $0$ annimmt.
    • Es ist $f(x)=x^2-2dx+d^2+e$.
    • Hier kannst du erkennen, dass die $x$-Koordinate $d$ gerade die Hälfte des Faktors $-2d$ vor $x$ mit umgekehrtem Vorzeichen ist.
    Lösung

    Eine Parabel kann entweder zwei, eine oder keine Nullstellen haben

    Zwei Nullstellen

    Diesen Fall kennst du bereits:

    • Du bestimmst das arithmetische Mittel der beiden Nullstellen. So erhältst du die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes.
    • Dann bestimmst du die $y$-Koordinate durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.
    Eine Nullstelle

    Hat eine Parabel nur eine Nullstelle $x_N$, dann ist der Punkt $S(x_N|0)$ der Scheitelpunkt der Parabel. Der Scheitelpunkt liegt also auf der $x$-Achse.

    Keine Nullstelle

    Das nun beschriebene Vorgehen kannst du in den beiden obigen Fällen auch anwenden.

    • Es ist $x_S=-\frac p2$.
    • Damit ist $y_S=f(x_S)=\left(-\frac p2\right)^2+p\cdot \left(-\frac p2\right)+q=-\frac{p^2}4+q$.
    Ganz allgemein ist der Scheitelpunkt zu $f(x)=x^2+px+q$ dann gegeben durch

    $S\left(-\frac p2\big\vert-\frac{p^2}4+q\right)$.

    Hier siehst du noch die Begründung für die $x$-Koordinate.

    Ergänze $f(x)=x^2+px+q$ quadratisch:

    $f(x)=x^2+2\cdot \frac p2x+\left(\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q$.

    Nun kannst du die erste binomische Formel anwenden:

    $f(x)=\left(x+ \frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q$.

    An dieser Darstellung kannst du die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes $x_S=-\frac p2$ ablesen und übrigens auch die $y$-Koordinate $y_S=-\left(\frac p2\right)^2+q$.

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