Scheitelpunkt

Scheitelpunkt Übung

• Beschreibe, was der Scheitelpunkt einer Parabel ist.

  Tipps

  Der Graph

  • einer linearen Funktion ist eine Gerade,
  • einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

  Jeder Punkt im Koordinatensystem besitzt eine $x$- und eine $y$-Koordinate.

  Der Scheitelpunkt der obigen Parabel ist $S(2|0)$.

  Lösung

  Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

  Die Parabel besitzt einen tiefsten oder einen höchsten Punkt. Dieser Punkt ist der Scheitelpunkt der Parabel.

  Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt.

  Der Scheitelpunkt ist ein Punkt im Koordinatensystem und hat eine $x$- sowie eine $y$-Koordinate. Bei der Bestimmung des Scheitelpunktes geht es darum, diese Koordinaten zu bestimmen.

• Gib den Scheitelpunkt der Funktion an.

  Tipps

  Die allgemeine Scheitelpunktform lautet $f(x)=a(x+d)^2+e$.

  Der Scheitelpunkt ist $S(-d|e)$.

  • Bei der $x$-Koordinate wird das Vorzeichen vertauscht,
  • die $y$-Koordinate wird abgeschrieben.

  So hat die Funktion $f(x)=(x-4)^2+2$ den Scheitelpunkt $(4|2)$.

  Lösung

  Zu der allgemeinen Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ lautet der Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

  Wichtig ist zu beachten, dass bei der $x$-Koordinate das Vorzeichen vertauscht ist.

  • $f(x)=-\frac13(x-1)^2+3$ hat den Scheitelpunkt $S(1|3)$.
  • $f(x)=-(x+1)^2+2$ hat den Scheitelpunkt $S(-1|2)$.
  • $f(x)=(x-1)^2-2$ hat den Scheitelpunkt $S(1|-2)$.
  • $f(x)=\frac13(x-2)^2+1$ hat den Scheitelpunkt $S(2|1)$.

• Entscheide, ob der Scheitelpunkt der höchste oder tiefste Punkt der Parabel ist.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder der höchste Punkt der Parabel.

  • Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel,
  • andernfalls der höchste Punkt der Parabel.

  Die Scheitelpunktkoordinaten sind bei allen Scheitelpunkten ganze Zahlen.

  Die nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt $S(0|0)$.

  Lösung

  • Ist eine Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel.
  • Ist eine Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt Parabel.

  Die Öffnung der Parabel hängt von dem Faktor vor dem $x^2$, dem Streckfaktor ab:

  • ist dieser positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet,
  • ist dieser negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.

  Die erste Parabel ist nach unten geöffnet, die letzte auch, also ist bei beiden der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel. Bei den anderen beiden (nach oben geöffneten Parabeln) ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel.

  1. Der Scheitelpunkt der ersten Parabel ist $S(2|3)$.
  2. Der Scheitelpunkt der zweiten Parabel ist $S(1|1)$.
  3. Der Scheitelpunkt der dritten Parabel ist $S(-1|3)$.
  4. Der Scheitelpunkt der vierten Parabel ist $S(-1|2)$.

• Beschreibe die Lage und Öffnung der Parabel.

  Tipps

  Ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ gegeben, so kann man daran den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.

  Die Parabel zu $f(x)=a(x+d)^2+e$ ist nach oben ($a>0$) oder unten ($a<0$) geöffnet. Dementsprechend ist der Scheitelpunkt der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.

  Lösung

  Ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ gegeben, so kann man daran

  • den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.
  • erkennen, ob die Parabel nach oben ($a>0$) oder unten ($a<0$) geöffnet ist. Je nachdem ist der Scheitelpunkt der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.
  • erkennen, ob die Parabel schmaler ($a>1$ oder $a<-1$) oder breiter ($-1<a<0$ oder $0<a<1$) als die Normalparabel $x^2$ ist.

  Die Parabel zu $f(x)=\frac12(x-2)^2-1$

  • hat den Scheitelpunkt $S(2|-1)$,
  • dieser ist der tiefste Punkte der Parabel, da sie nach oben ($\frac12>0$) geöffnet ist und
  • die Parabel ist breiter als die Normalparabel $x^2$, da $0<\frac12<1$ ist.

• Benenne die Besonderheiten des Scheitelpunktes.

  Tipps

  Zeichne dir einige Parabeln in ein Koordinatensystem und untersuche diese auf Gemeinsamkeiten.

  Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der tiefste oder der höchste Punkt der Parabel.

  Du kannst verschiedene Parabelschablonen anfertigen.

  Diese unterscheiden sich nur darin, ob

  • sie breiter oder
  • schmaler als die Normalparabel sind.

  Lösung

  Der Scheitelpunkt ist nicht nur der höchste oder der tiefste Punkt einer Parabel. Er hat auch noch weitere Eigenschaften:

  • Er ist der Punkt der Parabel, in welchem die größte Krümmung vorliegt.
  • Die Steigung im Scheitelpunkt ist $0$.
  • Wenn der Scheitelpunkt sowie der Streckfaktor bekannt sind, kann die Parabel mit einer entsprechenden Schablone, welche im Scheitelpunkt nach oben (Streckfaktor größer als $0$) oder unten (Streckfaktor kleiner als $0$) geöffnet ist, gezeichnet werden.
  • Darüber hinaus verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt die Symmetrieachse der Parabel.

• Gib den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion an.

  Tipps

  Mache dir bei jeder der Funktionen klar, welche Werte $a$, $b$ und $c$ haben.

  Wenn du den Scheitelpunkt $S(x_S|y_S)$ kennst, kannst du die Scheitelpunktform aufstellen:

  $f(x)=a(x-x_S)^2+y_S$.

  Diese kannst du ausmultiplizieren und du erhältst die quadratischen Gleichung in Normalform.

  Lösung

  Eine allgemeine quadratische Gleichung in Normalform lautet: $f(x)=ax^2+bx+c$.

  • $f(x)=x^2+2x+1$. Hier ist $a=1$, $b=2$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 2{2\cdot1}=-1$ und $y_s=1-\frac {2^2}{4\cdot 1}=1-1=0$. Der Scheitelpunkt lautet $S(-1|0)$.
  • $g(x)=-x^2+4x+1$. Hier ist $a=-1$, $b=4$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 4{2\cdot(-1)}=2$ und $y_s=1-\frac {4^2}{4\cdot (-1)}=1+4=5$. Der Scheitelpunkt lautet $S(2|5)$.
  • $h(x)=2x^2+4x+1$. Hier ist $a=2$, $b=4$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 4{2\cdot4}=-1$ und $y_s=1-\frac {4^2}{4\cdot 2}=1-2=-1$. Der Scheitelpunkt lautet $S(-1|-1)$.
  • $h(x)=-2x^2+4x+1$. Hier ist $a=-2$, $b=4$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 4{2\cdot(-2)}=1$ und $y_s=1-\frac {4^2}{4\cdot (-2)}=1+2=3$. Der Scheitelpunkt lautet $S(1|3)$.