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Scheitelpunkt

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Scheitelpunkt
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Scheitelpunkt

Was ist der Scheitelpunkt?

Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt. In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was der Scheitelpunkt ist und wie du ihn berechnen kannst. Zuerst erinnern wir daran, was du schon kennst: Jede Funktion hat einen Funktionsgraphen. Bei jeder quadratischen Funktion ist der Funktionsgraph eine Parabel. Diese Parabel liegt so im Koordinatensystem, dass ihre Symmetrieachse parallel zur $y$-Achse verläuft. Die Parabel hat einen besonderen Punkt, nämlich den Scheitelpunkt. Die Parabel ist entweder nach oben oder nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt bei einer nach oben geöffneten Parabel oder der höchste Punkt bei einer nach unten geöffneten Parabel.

Scheitelpunkt Definition

Der Scheitelpunkt einer Parabel im Koordinatensystem ist der Extremalpunkt der Parabel, das heißt der höchste oder der tiefste Punkt. Ist die Parabel durch die Funktionsgleichung $y = f(x)$ beschrieben, so ist der Scheitelpunkt derjenige Punkt des Funktionsgraphen mit dem kleinsten bzw. größten $y$-Wert. Der Scheitelpunkt $S$ wird durch seine Koordinaten $S(x|y)$ angegeben. Die Frage nach dem Scheitelpunkt einer Parabel ist also die Frage nach den Koordinaten dieses Punktes. Am Scheitelpunkt ist die Krümmung des Funktionsgraphen am größten. Der Scheitelpunkt ist der einzige Punkt der Parabel, an dem die Steigung Null ist. Die Symmetrieachse der Parabel verläuft durch den Scheitelpunkt.

Scheitelpunkt bestimmen – Scheitelpunktform

Ist die quadratische Funktion der Parabel in Scheitelpunktform gegeben, so kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Umgekehrt ist eine Parabel durch den Scheitelpunkt und den Streckfaktor eindeutig bestimmt. Für Parabeln in Normalform genügt sogar die Angabe des Scheitelpunktes. Um den Scheitelpunkt zu berechnen, kannst du die Funktionsgleichung der Parabel in die Scheitelpunktform umformen.

Aus der Normalform einer quadratischen Funktion erhältst du die Scheitelpunktform mit einer quadratischen Ergänzung. Die Funktionsgleichung $f(x) = x^{2}+2x-1$ in Normalform kannst du umformen zu der Scheitelpunktform $f(x) = (x+1)^{2} -2 = (x-(-1))^{2} -2$. Wie du diese Umformung findest, wird dir im Video zur Scheitelpunktform erklärt. An der Scheitelpunktform kannst du nun die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen: $S(-1|-2)$

Scheitelpunkt und Symmetrieachse

Ist die quadratische Funktion nicht in Normalform gegeben, so enthält die Scheitelpunktform außer den Koordinaten des Scheitelpunktes auch noch einen Streckfaktor. Die Scheitelpunktform zu der quadratischen Funktion $f(x) = -\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{8}{3}$ ist dann $f(x) = -\frac{1}{3} (x-1)^{2} +3$ mit dem Scheitelpunkt $S(1|3)$ und dem Streckfaktor $\frac{1}{3}$.

Dieses Video

In diesem Video wird verständlich erklärt, was der Scheitelpunkt einer Parabel ist, und welche Eigenschaften der Scheitelpunkt hat. Du erfährst auch, wie du die Koordinaten des Scheitelpunktes aus der Scheitelpunktform der Parabelgleichung ablesen kannst.

Transkript Scheitelpunkt

Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel. Das ist jetzt unsere Frage. Überlegen wir erst mal in welcher Situation wir sind. Wir haben eine quadratische Funktion, diese quadratische Funktion hat einen Graphen. Dieser Graph ist immer eine Parabel, und eine Parabel hat immer einen ganz besonderen Punkt, den Scheitelpunkt.So und wir können uns nun rein optisch angucken, was dieser Scheitelpunkt ist und dazu habe ich hier ein paar Funktionen vorbereitet: Das ist eine Parabel und der Scheitelpunkt ist hier und hat die Koordinaten - 1 und - 2. So, was haben wir jetzt gesehen, wir haben hier gesehen, dass der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel ist. Und wir haben gesehen, dass der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.Und das ist auch schon die Definition und das können wir auch so aufschreiben. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der höchste bzw. der tiefste Punkt des Graphen. Wenn jetzt in einer Aufgabe nach dem Scheitelpunkt gefragt wird, wenn die Aufgabe z.B. lautet: Bestimme den Scheitelpunkt des Graphen dieser quadratischen Funktion. Was muss man dann antworten? Man muss antworten, mit den Koordinaten dieses Scheitelpunktes. Und das können wir eben auch nochmal aufschreiben.Die Frage nach dem Scheitelpunkt einer Parabel ist die Frage nach den Koordinaten dieses Punktes.Jetzt kommt die Frage: „Was ist denn so besonders an diesem Scheitelpunkt?“. Da gibt es gleich mehrere Dinge, z.B. ist bei diesem Scheitelpunkt die Krümmung des Graphen am größten. Es gibt noch eine Besonderheit, nämlich, dass die Steigung an diesem Punkt gleich Null ist. Dann haben wir noch eine Besonderheit, nämlich, dass der Scheitelpunkt die Parabel bestimmt. Wenn man also den Scheitelpunkt hat und den Streckfaktor, dann weiß man schon alles über die Parabel. Und das kann man ablesen an der Scheitelpunktform. Das sind die Besonderheiten, und hier ging es darum, den Scheitelpunkt zu definieren, das haben wir gemacht und dann sind wir hier fertig! Viel Spaß damit. Tschüss.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Einfach perfekt

    Von Travis, vor etwa 2 Monaten
  2. die letzte Aufgabe war unverständlich aber ansonsten gut erklärt und simpel.

    Von Richard S., vor mehr als 3 Jahren
  3. i like it

    Von jule d., vor mehr als 3 Jahren
  4. mehr videos von diesem tutor

    Von Ozan Y., vor etwa 4 Jahren
  5. Zweiter .. :P

    Sie sind mein Held!! besser kann man das nicht erklären.

    Von Deleted User 185772, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Scheitelpunkt Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunkt kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was der Scheitelpunkt einer Parabel ist.

    Tipps

    Der Graph

    • einer linearen Funktion ist eine Gerade,
    • einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

    Jeder Punkt im Koordinatensystem besitzt eine $x$- und eine $y$-Koordinate.

    Der Scheitelpunkt der obigen Parabel ist $S(2|0)$.

    Lösung

    Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

    Die Parabel besitzt einen tiefsten oder einen höchsten Punkt. Dieser Punkt ist der Scheitelpunkt der Parabel.

    Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt.

    Der Scheitelpunkt ist ein Punkt im Koordinatensystem und hat eine $x$- sowie eine $y$-Koordinate. Bei der Bestimmung des Scheitelpunktes geht es darum, diese Koordinaten zu bestimmen.

  • Gib den Scheitelpunkt der Funktion an.

    Tipps

    Die allgemeine Scheitelpunktform lautet $f(x)=a(x+d)^2+e$.

    Der Scheitelpunkt ist $S(-d|e)$.

    • Bei der $x$-Koordinate wird das Vorzeichen vertauscht,
    • die $y$-Koordinate wird abgeschrieben.

    So hat die Funktion $f(x)=(x-4)^2+2$ den Scheitelpunkt $(4|2)$.

    Lösung

    Zu der allgemeinen Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ lautet der Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

    Wichtig ist zu beachten, dass bei der $x$-Koordinate das Vorzeichen vertauscht ist.

    • $f(x)=-\frac13(x-1)^2+3$ hat den Scheitelpunkt $S(1|3)$.
    • $f(x)=-(x+1)^2+2$ hat den Scheitelpunkt $S(-1|2)$.
    • $f(x)=(x-1)^2-2$ hat den Scheitelpunkt $S(1|-2)$.
    • $f(x)=\frac13(x-2)^2+1$ hat den Scheitelpunkt $S(2|1)$.

  • Entscheide, ob der Scheitelpunkt der höchste oder tiefste Punkt der Parabel ist.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder der höchste Punkt der Parabel.

    • Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel,
    • andernfalls der höchste Punkt der Parabel.

    Die Scheitelpunktkoordinaten sind bei allen Scheitelpunkten ganze Zahlen.

    Die nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt $S(0|0)$.

    Lösung

    • Ist eine Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel.
    • Ist eine Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt Parabel.
    Die Öffnung der Parabel hängt von dem Faktor vor dem $x^2$, dem Streckfaktor ab:
    • ist dieser positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet,
    • ist dieser negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
    Die erste Parabel ist nach unten geöffnet, die letzte auch, also ist bei beiden der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel. Bei den anderen beiden (nach oben geöffneten Parabeln) ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel.
    1. Der Scheitelpunkt der ersten Parabel ist $S(2|3)$.
    2. Der Scheitelpunkt der zweiten Parabel ist $S(1|1)$.
    3. Der Scheitelpunkt der dritten Parabel ist $S(-1|3)$.
    4. Der Scheitelpunkt der vierten Parabel ist $S(-1|2)$.

  • Beschreibe die Lage und Öffnung der Parabel.

    Tipps

    Ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ gegeben, so kann man daran den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.

    Die Parabel zu $f(x)=a(x+d)^2+e$ ist nach oben ($a>0$) oder unten ($a<0$) geöffnet. Dementsprechend ist der Scheitelpunkt der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.

    Lösung

    Ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ gegeben, so kann man daran

    • den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen.
    • erkennen, ob die Parabel nach oben ($a>0$) oder unten ($a<0$) geöffnet ist. Je nachdem ist der Scheitelpunkt der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.
    • erkennen, ob die Parabel schmaler ($a>1$ oder $a<-1$) oder breiter ($-1<a<0$ oder $0<a<1$) als die Normalparabel $x^2$ ist.
    Die Parabel zu $f(x)=\frac12(x-2)^2-1$
    • hat den Scheitelpunkt $S(2|-1)$,
    • dieser ist der tiefste Punkte der Parabel, da sie nach oben ($\frac12>0$) geöffnet ist und
    • die Parabel ist breiter als die Normalparabel $x^2$, da $0<\frac12<1$ ist.

  • Benenne die Besonderheiten des Scheitelpunktes.

    Tipps

    Zeichne dir einige Parabeln in ein Koordinatensystem und untersuche diese auf Gemeinsamkeiten.

    Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der tiefste oder der höchste Punkt der Parabel.

    Du kannst verschiedene Parabelschablonen anfertigen.

    Diese unterscheiden sich nur darin, ob

    • sie breiter oder
    • schmaler als die Normalparabel sind.

    Lösung

    Der Scheitelpunkt ist nicht nur der höchste oder der tiefste Punkt einer Parabel. Er hat auch noch weitere Eigenschaften:

    • Er ist der Punkt der Parabel, in welchem die größte Krümmung vorliegt.
    • Die Steigung im Scheitelpunkt ist $0$.
    • Wenn der Scheitelpunkt sowie der Streckfaktor bekannt sind, kann die Parabel mit einer entsprechenden Schablone, welche im Scheitelpunkt nach oben (Streckfaktor größer als $0$) oder unten (Streckfaktor kleiner als $0$) geöffnet ist, gezeichnet werden.
    • Darüber hinaus verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt die Symmetrieachse der Parabel.

  • Gib den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion an.

    Tipps

    Mache dir bei jeder der Funktionen klar, welche Werte $a$, $b$ und $c$ haben.

    Wenn du den Scheitelpunkt $S(x_S|y_S)$ kennst, kannst du die Scheitelpunktform aufstellen:

    $f(x)=a(x-x_S)^2+y_S$.

    Diese kannst du ausmultiplizieren und du erhältst die quadratischen Gleichung in Normalform.

    Lösung

    Eine allgemeine quadratische Gleichung in Normalform lautet: $f(x)=ax^2+bx+c$.

    • $f(x)=x^2+2x+1$. Hier ist $a=1$, $b=2$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 2{2\cdot1}=-1$ und $y_s=1-\frac {2^2}{4\cdot 1}=1-1=0$. Der Scheitelpunkt lautet $S(-1|0)$.
    • $g(x)=-x^2+4x+1$. Hier ist $a=-1$, $b=4$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 4{2\cdot(-1)}=2$ und $y_s=1-\frac {4^2}{4\cdot (-1)}=1+4=5$. Der Scheitelpunkt lautet $S(2|5)$.
    • $h(x)=2x^2+4x+1$. Hier ist $a=2$, $b=4$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 4{2\cdot4}=-1$ und $y_s=1-\frac {4^2}{4\cdot 2}=1-2=-1$. Der Scheitelpunkt lautet $S(-1|-1)$.
    • $h(x)=-2x^2+4x+1$. Hier ist $a=-2$, $b=4$ und $c=1$. Somit ist $x_s=-\frac 4{2\cdot(-2)}=1$ und $y_s=1-\frac {4^2}{4\cdot (-2)}=1+2=3$. Der Scheitelpunkt lautet $S(1|3)$.
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