Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Übersicht Eigenschaften

Worum geht es bei Rekonstruktionen von Funktionen?

Du kennst sicherlich die Kurvendiskussion: Dort ist der Term einer Funktion bekannt und du sollst die Eigenschaften ihres Graphen, wie die Lage von Extrem- und Wendepunkten, herausfinden.

Heute geht es um das Thema Rekonstruktion von Funktionen: Aufgaben, bei denen gewisse Eigenschaften der Funktion bekannt sind und ihr Term herausgefunden werden soll. Diese Art von Aufgabe wird daher auch Steckbriefaufgabe oder „Kurvendiskussion rückwärts“ genannt.

Wenn das Thema in einen Sachkontext eingebunden ist, geht es häufig um den Bau von Straßen oder Gleisen, die an bestehende Bedingungen, wie bereits existierende Straßenabschnitte, angepasst werden müssen. Einen geplanten Verkehrsweg nennt man Trasse und spricht dann von Trassierungsaufgaben.

Unabhängig davon, wie du diese Aufgaben nennst, musst du zu ihrer Lösung zunächst einen Text mathematisieren, um anschließend rechnen zu können. Im folgenden Text bekommst du Tipps zum Vorgehen.

Rekonstruktion von Funktionen – Vorgehen

Die folgenden vier Schritte können dir helfen, eine Struktur in deine Aufgaben zu bringen. Sie werden am Beispiel der folgenden Aufgabe veranschaulicht:

Schritt 1: allgemeinen Funktionsterm und dessen Ableitungen finden

Um den allgemeinen Funktionsterm aufzustellen, muss man zunächst beachten, dass der Grad den höchsten Exponenten der Funktion angibt. Die Koeffizienten (Vorfaktoren) sind unbekannt und werden mit Parametern $a$, $b$, $c$… geschrieben. So lautet der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grads:

${f(x)=a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e}$

Bilde die Ableitungen der allgemeinen Funktion mithilfe von Potenzregel und Summenregel. Beachte, dass nach der Variable $x$ differenziert (abgeleitet) wird, d. h., die Parameter $a$ bis $e$ werden wie Zahlen behandelt.

$\begin{array}{rcl} f^{\prime} (x) & = & 4\cdot a\cdot x^{3}+3 \cdot b\cdot x^{2}+2\cdot c\cdot x+d \\ f^{\prime\prime}(x) & = & 12\cdot a\cdot x^{2}+6 \cdot b\cdot x+2\cdot c \\ \end{array}$

Ausnahmen: Funktionen mit Symmetrien

Wenn eine Funktion mit Achsensymmetrie zur $y$-Achse gesucht ist, dann hat der Funktionsterm nur Glieder mit geraden Exponenten. Der allgemeine Funktionsterm einer achsensymmetrischen Funktion vierten Grads lautet damit: ${f(x)=a\cdot x^{4}+c\cdot x^{2}+e(\cdot x^{0})}$

Wenn eine Funktion mit Punktsymmetrie zum Ursprung gesucht ist, dann hat der Funktionsterm nur Glieder mit ungeraden Exponenten. Der allgemeine Funktionsterm einer punktsymmetrischen Funktion fünften Grads lautet damit: ${f(x)=a\cdot x^{5}+c\cdot x^{3}+e\cdot x^{1}}$

Schritt 2: Bedingungen in Form von Gleichungen formulieren

Da wir in unserem Beispiel fünf unbekannte Parameter haben, benötigen wir auch fünf Gleichungen, die aus dem Text herauszulesen sind:

• Die Funktion verläuft durch den Punkt $(3\vert 1)$.
  Also ist an der Stelle $x=3$ der Funktionswert $y=1$, wir schreiben: $f(3)=1$.

• Die Funktion hat ein Maximum im Punkt $(0\vert 1)$.
  Zum einen können wir $f(0)=1$ ablesen. Zum anderen ist noch eine zweite Bedingung enthalten: Da es sich um ein Maximum, also einen Extrempunkt, handelt, ist die Steigung und somit die erste Ableitung an dieser Stelle gleich null ($f^{\prime}(0)=0$).

• Die Funktion berührt an der Stelle $x=1$ die Gerade mit der Gleichung ${g(x)={-}4x+3}$.
  Auch in diesem Satz sind zwei Bedingungen enthalten. Zum einen hat die Funktion an der Stelle $x=1$ die gleiche Steigung wie die Gerade. Die Steigung der Geraden können wir ablesen: $m={-}4$, also gilt $f^{\prime}(1)={-}4$. Zum anderen haben $f$ und $g$ an der Stelle $x=1$ den gleichen Funktionswert. Wir berechnen $g(1)= {-}4\cdot 1+3={-}1$ und wissen daher: $f(1)={-}1$.

Schritt 3: Gleichungssystem aufstellen und lösen

Unsere fünf Bedingungen aus Schritt 2 können wir in die allgemeinen Gleichungen aus Schritt 1 einsetzen.

$\begin{array}{lcrcr} f(3)=1& \implies & a\cdot 3^{4}+b\cdot 3^{3}+c\cdot 3^{2}+d\cdot 3+e = 1\\ f(0)=1 & \implies & a\cdot 0^{4}+b\cdot 0^{3}+c\cdot 0^{2}+d\cdot 0+e = 1\\ f^{\prime}(0)=0 & \implies & 4\cdot a\cdot 0^{3}+3 \cdot b\cdot 0^{2}+2\cdot c\cdot 0+d= 0\\ f^{\prime}(1)={-}4 & \implies & 4\cdot a\cdot 1^{3}+3 \cdot b\cdot 1^{2}+2\cdot c\cdot 1+d= {-}4 \\ f(1)={-}1 & \implies & a\cdot 1^{4}+b\cdot 1^{3}+c\cdot 1^{2}+d\cdot 1+e= {-}1\\ \end{array}$

Wir vereinfachen die Gleichungen und erhalten ein lineares Gleichungssystem aus fünf Gleichungen und fünf Unbekannten.

$\begin{array}{rcr} a\cdot 81 +b\cdot 27+c\cdot 9+d\cdot 3+e &=& 1\\ e &=& 1\\ d&=& 0\\ 4\cdot a\cdot 1+3 \cdot b\cdot 1+2\cdot c\cdot 1+d&= &{-}4 \\ a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1+d\cdot 1+e&=& {-}1\\ \end{array}$

Da $d=0$ und $e=1$ direkt abgelesen werden können, setzen wir diese Lösungen in die anderen Gleichungen ein. Wir vereinfachen erneut und erhalten:

$\begin{array}{rcr} 81 \cdot a+27 \cdot b+ 9 \cdot c&=& 0\\ 4\cdot a+3\cdot b+2\cdot c&= &{-}4 \\ a+b+c&=& {-}2\\ \end{array}$

Dies ist nun ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das mit dem Gauß-Algorithmus lösbar ist.

Als Ergebnisse erhalten wir $a=0,5$ , $b={-}1$ und $c={-}1{,}5$. Der Funktionsterm lautet also insgesamt ${f(x)=0{,}5x^{4}{-}x^{3}{-}1{,}5x^{2}+1}$.

Schritt 4: Probe

Wenn du den Funktionsterm gefunden hast, solltest du immer die Probe durchführen und gegebenenfalls den Graphen skizzieren, um zu prüfen, ob die Bedingungen aus der Aufgabenstellung erfüllt sind.

Übersetzung von Bedingungen in mathematische Gleichungen

Eine der größten Schwierigkeiten bei Rekonstruktionsaufgaben ist es, aus dem Aufgabentext die Bedingungen herauszulesen und in mathematische Gleichungen zu formulieren. Häufig sind die Texte sehr kompakt formuliert und in einem Satz sind mehrere Bedingungen enthalten. Denke daran, dass du genügend Bedingungen brauchst, damit das LGS aus Schritt 3 eindeutig lösbar ist.

Die Beispiele in der folgenden Tabelle können dir helfen, den Text in mathematische Gleichungen zu schreiben. Zu den Beispielen mit Sternchen findest du unten zusätzliche Erläuterungen.

Zusätzliche Erläuterungen

• Zu 4: Warum gilt $f(1)=5$?
  $g$ und $f$ haben im Schnittpunkt den gleichen Funktionswert, berechne also $g(1)=5$.
• Zu 7: Warum gilt $f^{\prime}(4)=0$?
  Wenn der Graph die $x$-Achse berührt (doppelte Nullstelle), gibt es dort immer eine Extremstelle, also eine waagerechte Tangente, und die Steigung an dieser Stelle ist null.
• Zu 13: Warum gilt $f(3)={-}5$?
  $f$ hat im Berührpunkt den gleichen Funktionswert wie die Wendetangente, berechne also ${t(3)={-2}\cdot 3 + 1={-}5}$.
• Zu 15: Warum gilt $f^{\prime}(5)={-}\frac{1}{7}$?
  Zunächst berechnen wir die Steigung der Tangente an $p$ an der Stelle ${x=2}$. Es ist ${p^{\prime}(x)=2x-3}$ und ${p^{\prime}(5)=2\cdot 5-3=7}$. Wenn zwei Geraden orthogonale Steigungen haben, gilt ${m_{1}=-\frac{1}{m_2}}$, also ist hier die Steigung der Wendetangente ${m=-\frac{1}{7}}$ und dies entspricht auch dem Wert der ersten Ableitung an der Stelle $x=5$.
• Zu 16: Warum gilt $f(3)=3$ und ${f^{\prime}(3)={-}1}$?
  Die erste Winkelhalbierende/Winkelhalbierende im ersten Quadranten ist die Gerade mit der Gleichung ${w(x)=x}$. Damit gilt ${f(3)=w(3)=3}$ und für die Steigung gilt: ${m={-}\frac{1}{1}={-}1}$.

Vorgehen bei der Rekonstruktionen von Funktionen – Zusammenfassung

Rekonstruktion von Funktionen – Übungen