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Reifeprüfung Mathematik – Trigonometrie für große Winkel 10:57 min

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Transkript Reifeprüfung Mathematik – Trigonometrie für große Winkel

Hallo. In der standardisierten schriftlichen Reifeprüfung in Mathematik kann auch das Thema Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel größer als 90° im ersten Teil vorkommen. Es können auch trigonometrische Funktionen vorkommen, das ist aber ein anderes Thema, das soll nicht Thema dieses Films sein. Also eine Grundkompetenz ist einfach, dass man Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel größer als 90° kennt und einsetzen kann. Dazu kann man sich folgende Aufgabe vorstellen: Du weißt ja, dass Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis definiert werden, also zumindest für Winkel größer als 90°. Und wir haben hier einen Punkt auf dem Einheitskreis, der sich da bewegt. Und wenn der sich von hier losbewegt, dann befindet er sich hier erstmal auf der x-Achse, da ist die positive Richtung der x-Achse, da ist die positive Richtung der y-Achse oder einfach der zweiten Achse. Und wenn der jetzt hier losgeht, der Punkt, dann beschreibt er einen Winkel. Immer weiter, so, bis er schließlich zum Beispiel dort angekommen ist, zum Beispiel hier. Und jetzt haben wir hier verschiedene Strecken, die wir quasi da abgreifen können. Wir können zum Beispiel sagen, wir schauen uns den Abstand zur grünen Achse an. Und weil ein Abstand immer positiv ist, muss ich das ein bisschen anders sagen. Wir haben hier eine Zahl, die wir von diesem Punkt abgreifen können, die geht von dieser Achse nach unten und der Betrag dieser Zahl, gibt den Abstand dieses Punktes von der grünen Achse an. Wir haben weiter die Möglichkeit eine Zahl zu bilden, wenn wir uns die y-Achse angucken, wir können quasi das Lot auf die y-Achse fällen von hier aus. Und dann können wir sagen, okay, wir gehen von dieser Achse nach rechts, das zählt positiv. Das heißt, diese gelbe Strecke hier ist der Abstand. Sollte der Punkt sich hier befinden zählt das hier, dann ist das negativ, dann ist das nicht mehr der Abstand. Aber der Betrag dieser Zahl, die wir hier dann abgreifen können, ist dann der Abstand des Punktes von der gelben Achse. Dann können wir aber noch weitere Zahlen hier sehen, nämlich wir können diesen Winkelschenkel hier verlängern und dann außen am Kreis wieder hier Längen sehen, also zum Beispiel diese Länge hier, von da bis da. Zählt jetzt negativ, weil es von hier nach unten geht. Würde positiv zählen, wenn die Kugel hier ist oder da. Dann geht es ja hier jeweils nach oben, das soll das positiv zählen. Betrag ist wieder der Abstand, und zwar des Punktes auf dieser Verlängerung hier, zur grünen Achse hin. Und dann haben wir noch etwas in blau. Und zwar, wenn wir hier vom Kreis ausgehen, rechtwinklig zur y-Achse zu diesem Punkt gehen, dann kriegen wir auch hier eine Länge. Und normalerweise macht man das so, dass man hier natürlich einen Kreis zeichnet, der ist dann nicht so dick, sondern der hat dann keine Ausdehnung. Also die Kreislinie hat zumindest dann in der Breite keine Ausdehnung. Kann ich jetzt hier nicht genauso zeigen mit der Kugel. Aber das soll natürlich einfach hier außen am Kreis sein. Ja und die Frage ist jetzt, bei welchen Zahlen, die wir hier so abgreifen können, handelt es sich um Sinus, Cosinus oder Tangens? Ist es rot, gelb, blau oder grün? Ja, komm mir so ein bisschen vor, wie so ein Taschenspieler...rosso, yellow, blue, verde. Wenn Du das als konkrete Aufgabe siehst, dann würde da natürlich das nicht so in Farben dargestellt werden, dann wäre da auch keine Kugel, sondern das würde man dann hier mit Buchstaben bezeichnen und dann müsstest Du einfach die entsprechenden Funktionen, Sinus, Cosinus und Tangens zuordnen. Wie immer, gilt auch hier der Hinweis, wenn Du dir selber Gedanken machst, dann bringt das am meisten. Meine Lösung kommt jetzt. Also wir können uns Folgendes vorstellen: Zunächst mal, die Kugel ist zum Beispiel hier. Ja ich mach die mal hier wieder fest ein bisschen, dann haben wir einen Winkel von ungefähr 45°. Wie ist jetzt hier, für diesen Winkel zum Beispiel der Sinus definiert? Wir haben ja hier ein Dreieck, das bilde ich mal eben nach, und zwar in grün. Ja wir haben hier einmal die Hypotenuse und da haben wir die Kathete, die diesem Winkel gegenüber liegt. Wir wissen, im rechtwinklige Dreieck gilt, Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse ist der Sinus. Wenn jetzt hier im Einheitskreis der Radius dieses Kreises unsere Einheit sein soll, deshalb heißt es Einheitskreis, teilen wir dann diese Länge hier durch eins und damit ist diese Länge der Wert des Sinus für diesen Winkel. Wenn die Kugel hier ist, ist das negativ, wenn die Kugel da ist, ist der Sinus auch negativ und da ist er wieder positiv. Das heißt, grün ist also hier der Sinus. Ich mache weiter mit gelb, ja Du ahnst es schon, das wird der Cosinus werden. Wenn wir hier wieder uns die Hypotenuse vorstellen für Winkel, die kleiner als 90° sind, da haben wir hier in gelb die Ankathete, in grün die Gegenkathete. Und die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse ist der Cosinus, so ist er in Dreiecken definiert. Wenn wir diese Strecke hier durch den Radius teilen, der jetzt unsere Einheit ist, teilen wir diese Strecke durch eins und damit ist diese Strecke gleich dem Cosinus. Und wenn jetzt die Kugel hier weitergeht, dann kriegen wir auch Strecken, nämlich die hier. Und die, die zählen dann negativ, ja, das ist dann nicht der Abstand, sondern wenn man den Betrag dieser Zahl bildet, erhält man den Abstand. Und damit ist das gelbe hier der Cosinus. Ja, jetzt haben wir diese beiden noch übrig hier, für den Tangens. Der Tangens ist also definiert, von diesem Winkel aus gesehen, als Gegenkathete durch Ankathete. Wir können uns jetzt vorstellen, wenn wir hier bei null anfangen und der Winkel größer wird bis hier hin, bis da zum Beispiel, wenn die Kugel dann da stehen bleibt. Dann können wir diese Hypotenuse hier verlängern, und zwar außen am Kreis bis da hin. Und wir wissen jetzt, diese Strecke geteilt durch diese Strecke ist genauso groß wie diese Strecke durch diese Strecke. Ja, Strahlensatz. Diese Strecke durch diese Strecke ist der Tangens. Diese Strecke durch eins ist auch der Tangens. Und weil wir diese Strecke durch eins teilen ist diese Strecke also der Wert des Tangens an dieser Stelle. Ja und wenn Du dich an die Tangensfunktion erinnerst, kommt das auch hin. Die fängt hier bei null an, wird dann immer größer. Wenn der Winkel gegen 90° geht, gehen die Werte des Tangens hier gegen plus unendlich. Hier kommen die wieder aus plus unendlich zurück. Wenn wir das mal so salopp sagen, das ist jetzt nicht mathematisch ganz exakt gewesen. Und hier haben wir dann das gleiche Spiel, diese Strecke ist dann der Tangens, weil wir letzten Endes diese Strecke durch eins teilen. Und wenn wir dann über 180° sind, dann ist der Tangens negativ. Ja, dann können wir hier auch rechnen, ich zeige es eben. Ja, das sind unsere beiden Katheten, von dem Winkel aus gesehen hier, ist es jetzt das die Gegenkathete, das ist die Ankathete und das geteilt durch eins ist das Gleiche, wie das durch das. Und dieser Wert hier, das ist der Tangens für den Winkel, der von hier bis da geht, also für den Winkel, der dann letzten Endes so aussieht. Also hier bei, um diesen grünen Winkel geht es. Diese Strecke ist der Tangens dieses grünen Winkels. Ja und das blaue haben wir nicht gebracht, ist übrigens der Cotangens, so nennt sich das. Ist ein bisschen aus der Mode gekommen den zu definieren. Dann können wir das auch lassen, ist egal. Ja, das war die Aufgabe. Es war jetzt sehr bunt, gebe ich zu. Manchen Leuten liegt das nicht, man kann es nicht jedem recht machen, manche freuen sich über sowas. Ich finde es lustig und mathematisch ist es ja absolut korrekt, ob ich nun hier a, b, c zu sage oder alpha, beta, gamma oder ob ich nun rot, grün, blau sage ist eigentlich egal, es ist die gleiche Mathematik. Und hier geht es jetzt eigentlich nur darum, ob man noch weiß, wie Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel größer als 90° definiert sind. Das musste man hier anwenden und ich glaube, damit kann man auch leben. Viel Spaß damit. Tschüss.

1 Kommentar
  1. cool

    Von rouven s., vor etwa 2 Jahren