30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Rationale Zahlen – Klammerregeln 09:20 min

Textversion des Videos

Transkript Rationale Zahlen – Klammerregeln

Du siehst hier ein weiteres Video zur Addition und Subtraktion rationaler Zahlen. Heute geht es um die Klammerregeln. Du lernst heute vorteilhaft rechnen und ich zeige Dir, wie man Klammern auflösen kann. Damit Du alles gut verstehen kannst, solltest Du das Kommutativgesetz kennen, wissen, was Zahl und Gegenzahl sind und die Rechenregeln für die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen kennen. Du weißt bereits, jede Subtraktion einer rationalen Zahl ist dasselbe, wie die Addition ihrer Gegenzahl. Die Subtraktion der positiven Zahl Sieben ist also dasselbe wie die Addition der negativen Zahl minus Sieben. 5-7=5+(-7). Du kennst bereits das Kommutativgesetz der Addition. Es besagt, Summanden kann man beliebig vertauschen. Wir wollen einmal sehen, ob das auch für rationale Zahlen gilt. Bei rationalen Zahlen müssen wir deshalb die Zahl immer mit ihrem Vorzeichen zusammen betrachten. Die beiden Zahlenkärtchen hier zeigen Dir, dass ich die rationalen Zahlen minus drei und plus fünf auch einfach vertauschen kann. Dann wird aus -3+5 die Aufgabe 5-3. Du weißt, laut unserer Vereinbarung, dass wir einer positiven Zahl das Pluszeichen nicht unbedingt davor schreiben müssen. Doch stimmt eigentlich das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Termen? Wir wenden einfach die Rechenregeln an. Und errechnen bei -3+5=2. Und bei 5-3 ebenfalls =2. Das ist ja nun ganz offensichtlich dasselbe und damit eine wahre Aussage. Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Hier siehst Du die Zahlenkärtchen minus 13, minus acht. Ich kann diese beiden Kärtchen einfach miteinander vertauschen. Und habe nun stehen: -8-13. Aber ist das auch beides tatsächlich dasselbe? Wir wenden die Rechenregeln an und errechnen bei -13-8=(-21). Und bei -8-13 ebenfalls =-21. Minus 21 ist gleich minus 21. Also sind auch diese beiden Terme gleich. Wir haben eine wahre Aussage. Wie ist das nun mit den Klammerregeln? Und wozu braucht man die überhaupt? Klammerregeln brauchst Du, wenn Du eine Summe addieren oder subtrahieren möchtest. Wir beginnen zunächst mit der Addition einer Summe. Mit den Zahlenkärtchen gelegt siehst Du hier, dass ich zur Zahl minus 13 eine Summe aus drei Summanden addiert habe. Weil es eine ganze Summe ist, die ich addiere, steht diese Summe auch in Klammern. Vor der Klammer steht das Pluszeichen für die Addition. Doch wie addiere ich nun diese Summe? Nun, ich addiere zur Zahl minus 13 der Reihe nach die einzelnen Summanden in der Klammer. Also: -13-3+5-8. Das Plus als Rechenzeichen vor der Klammer fällt dabei, genau wie die ganze Klammer, weg. Die Klammer um unsere Summe herum heißt Plusklammer. Weil vor der Klammer ein Pluszeichen steht. Für die Addition einer Summe kannst Du Dir merken: Jeder einzelne Summand wird addiert. Nun haben wir genau dieselben Zahlen wie vorhin stehen. Die minus 13 und die eingeklammerte Summe. Allerdings steht jetzt ein Minus vor der Klammer. Wir haben also die Subtraktion einer Summe. Und so, wie Du es von der Subtraktion einer rationalen Zahl kennst, wird auch bei der Subtraktion einer ganzen Summe von jedem einzelnen Summanden die Gegenzahl gebildet. Und zu unserer ersten Zahl addiert. Die Klammer um unsere Summe heißt jetzt Minusklammer, weil vor der Klammer ein Minus steht. Für die Subtraktion einer Summe merkst Du Dir: Von jedem Summanden wird die Gegenzahl addiert. Das Addieren, beziehungsweise Subtrahieren einer Summe wird in der Mathematik oft als Auflösen von Klammern bezeichnet. Deshalb schauen wir uns das jetzt noch einmal an. Wir beginnen mit der Plusklammer. 24+(18-12+2) und jetzt das Ganze ohne Klammern geschrieben. Wie Du siehst, hat sich an den Vorzeichen der Zahlen nichts geändert. Deshalb merken wir uns: Steht vor einer Klammer ein Plus, dann darf die Klammer weggelassen werden. Alle Zahlen in der Klammer behalten ihr Vorzeichen. Hier dazu noch ein Beispiel: 17+(-8-5+3)=17... Und jetzt kommen alle Zahlen in der Klammer einfach hinten dran, also 17-8-5+3. Die Klammer fällt zusammen mit dem Pluszeichen weg. Wie sieht das nun mit einer Minusklammer aus? Also der Subtraktion einer Summe. Hier ein Beispiel: 15-(-4+3-7). Die 15 bleibt natürlich stehen. Aber wie wir bei der Subtraktion einer Summe gelernt haben, wird jetzt von jedem Summanden in der Klammer die Gegenzahl gebildet. Von minus vier ist die Gegenzahl plus vier. Von plus drei die Gegenzahl minus drei. Und von minus sieben die Gegenzahl plus sieben. Die Klammer brauchen wir nun nicht mehr schreiben. Wir merken uns: Steht ein Minus vor einer Klammer, dann darf die Klammer weggelassen werden. Alle Zahlen in der Klammer bekommen das entgegengesetzte Vorzeichen. Schauen wir uns noch ein Beispiel an: 18-(4+3-8). Bei der Summe in der Klammer fällt auf, dass die erste Zahl, nämlich die Vier, gar kein Vorzeichen hat. Es ist also eine positive Zahl, denn Du erinnerst Dich: positive Zahlen schreiben wir ohne Vorzeichen. Wenn wir nun die Klammer auflösen wollen, dann müssen wir von der Summe in der Klammer von jeder Zahl ihre Gegenzahl bilden. Also: 18-4-3+8. Zum Schluss wie immer eine kurze Zusammenfassung: Du hast heute gelernt, dass das Kommutativgesetz für das Rechnen mit rationalen Zahlen gilt. Du hast gelernt, wie wir eine Summe addieren. Jeder einzelne Summand wird addiert. Auch die Subtraktion einer Summe hast Du gelernt. Bei der Subtraktion einer Summe musst Du von jedem einzelnen Summanden in der Klammer jeweils die Gegenzahl bilden. Schließlich hast Du das Klammern auflösen gelernt. Bei einer Plusklammer steht vor der Klammer ein Pluszeichen. Das Auflösen einer Plusklammer entspricht der Addition einer Summe. Du darfst die Klammer weglassen. Die Vorzeichen der einzelnen Zahlen bleiben dabei erhalten. Bei einer Minusklammer steht vor der Klammer ein Minuszeichen. Das Auflösen der Minusklammer entspricht der Subtraktion einer Summe. Du darfst ebenfalls die Klammer weglassen, musst jedoch darauf achten, dass sich alle Vorzeichen der Zahlen ändern. So, das war es schon wieder. Hast Du alles verstanden? Prima. Dann Tschüss, bis zum nächsten Mal!

37 Kommentare
  1. Img 1138

    Danke für die schöne Erklärung!
    Ich verstehe es viel besser als davor!
    :) :) :)

    Von Malik B., vor 3 Monaten
  2. Default

    In der Schule (Gym 5. Klasse) lösen wir erst in der Klammer auf. Das bringt mich ein bisschen durcheinander.

    Von Leonie S., vor 6 Monaten
  3. Default

    Ich finde das Video suuuuuuuuuuuuppppppppppppeeeeeeeeerrrrrrrrrrrrrrr!!!

    Von Wendering Gelsen, vor 9 Monaten
  4. 59065ca3 7fc1 4c84 b9d6 011b26c02158

    Buh!!!!!

    Von Navin & Noelle P., vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Sorry, das war etwas vorschnell. Meinte natürlich "Operator" nicht "Operand", und ich hatte die Klammerauflösung vergessen ... es müsste als heißen:

    -13 - +3 - 5 + 8 (Operator beibehalten und Ergebnis anders als für -13 + 3 - 5 + 8)

    Von Sabinebuchholz, vor etwa einem Jahr
  1. Default

    Bei einer Plusklammer fällt die Klammer UND der Operand weg; bei einer Minusklammer fällt die Klammer weg, so heißt das im Kommentar zu den Übungen (also nur die Klammer, aber nicht der Operand). Demnach im Fall der Aufgabe:

    -13 - (-3 + 5 - 8) = -7
    -13 - (+3 - 5 + 8) = -19 .. oder?

    Von Sabinebuchholz, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Es wäre schön, wenn sie das nächste mal Arbeitsblätter zu dem Video machen könnten

    Von Lilly M., vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Ja, gut 😊

    Von Lilly M., vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Das Video ist ganz gut, die Aufgaben erscheinen nicht immer verständlich

    Von Astrid Raedlein, vor mehr als einem Jahr
  5. 4

    @Mihajlovic Goran: Hallo Mihajlovic,
    was meinst du genau mit mittleren und kleinen Klammern? Vielleicht kannst du die Frage etwas ausführlicher formulieren.

    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Julia S., vor mehr als einem Jahr
  6. Default

    Was passiert wen wir haben mittlere und kleine Klammer?lg

    Von Mihajlovic Goran, vor mehr als einem Jahr
  7. 1515350469033

    Danke für diese wirklich schöne Erklärung, ich hatte dies im Mathematikunterricht nicht verstanden.
    Jetzt schon... :)

    Von Mrs. Marie_Lou L., vor mehr als einem Jahr
  8. Default

    Das war sehr hilfreich.

    Von Jascha B., vor fast 2 Jahren
  9. Default

    nice

    Von Neoin Hd, vor fast 2 Jahren
  10. Default

    Krasssssss

    Von Birlindn, vor etwa 2 Jahren
  11. Default

    Cool, Danke! "kleineralsdrei" :D

    Von Karliland, vor mehr als 2 Jahren
  12. Default

    Ah, jetzt habe ich kapiert! :)

    Von Tautenhuener, vor mehr als 2 Jahren
  13. Default

    u

    Von Siepmann Tim, vor mehr als 2 Jahren
  14. Default

    u

    Von Siepmann Tim, vor mehr als 2 Jahren
  15. Default

    war sehr hilfreich

    Von Siepmann Tim, vor mehr als 2 Jahren
  16. Default

    Das ist ein tolles Video, mir ist jetzt einiges klarer.

    Von Julian S., vor mehr als 2 Jahren
  17. Default

    Danke! Das war gut.

    Von Salto Mortale, vor mehr als 2 Jahren
  18. Default

    Wow!
    Ich schreibe am Mittwoch eine Mathe-KA.
    Mit dem Video klappt das bestimmt, so gut wie das erklärt wurde!!!!

    Großes Lob❤

    Von Anna H., vor mehr als 2 Jahren
  19. Felix

    @Annette 12: Man löst eine Minusklammer auf, indem man die Vorzeichen der Summanden in der Klammer umkehrt und im Anschluss die Klammer weglässt. Damit erhältst du -(8x+5y)=-8x-5y. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 2 Jahren
  20. Default

    Wenn es: -(8y+5x) wie löst man dann die Klammer auf? Ich bitte um Antwort

    Von Annette 12, vor mehr als 2 Jahren
  21. Bild st.

    nachdem ich das video gesehen habe war es einfach

    Von emir h., vor fast 3 Jahren
  22. Default

    Hat geholfen

    Von Markusohse, vor fast 3 Jahren
  23. Dscn0404

    Das Video hat mir sehr geholfen

    Von Anastasia B., vor fast 3 Jahren
  24. Felix

    @Nina K.: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor mehr als 3 Jahren
  25. Maxresdefault

    Kapiere es einfach nicht

    Von Ninakieskemer, vor mehr als 3 Jahren
  26. P1000305

    Viel besser als meine Mathelehrerin in der Schule es jemals hätte erklären können. Im Unterricht geht es meistens einfach zu schnell. Ich finde es sehr gut, dass Sie es so langsam und deutlich Schritt für Schritt erklären. Und vor allem ganz langsam und verständlich. Auch die vielen Beispiele gefallen mir sehr. In der Schule ist es meistens ein Beispiel an der Tafel, dafür aber ein ganzes Blatt voller Terme für die Hausaufgaben.
    Sehr gelungen! :)

    Von Schoki 1, vor fast 4 Jahren
  27. Default

    Sehr gut :)

    Von Evastoiber, vor fast 4 Jahren
  28. Default

    Gut war verständlich aber bei 12 minuten 30 war ein fehler :D <3

    Von Dirk Kropp, vor etwa 4 Jahren
  29. Default

    yolo läuft!

    Von Ms Kittel, vor mehr als 4 Jahren
  30. Default

    fy

    Von Deleted User 206841, vor mehr als 4 Jahren
  31. Default

    Warum können Lehrer nicht so gut erklären? ;(

    Von Familiedachs, vor fast 5 Jahren
  32. Default

    yolo

    Von Eva M, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Rationale Zahlen – Klammerregeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rationale Zahlen – Klammerregeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was Plusklammern und Minusklammern sind.

    Tipps

    Bei einer Plusklammer steht vor dem Klammerausdruck ein Pluszeichen.

    Bei einer Minusklammer steht vor dem Klammerausdruck ein Minuszeichen.

    Lösung

    Bei einer Plusklammer steht ein Pluszeichen vor dem Klammerausdruck. Plusklammern sind somit:

    • $+(-3+5-8)$
    • $+(18-12+2)$
    • $+(-8-5+3)$
    Bei einer Minusklammer steht ein Minuszeichen vor dem Klammerausdruck. Damit sind die folgenden Ausdrücke Minusklammern:

    • $-(-3+5-8)$
    • $-(-4+3-7)$
    • $-(4+3-8)$
  • Ergänze die Erklärung zur Auflösung von Plus- und von Minusklammern.

    Tipps

    Merke dir: Die Subtraktion entspricht der Addition der Gegenzahl.

    Schaue dir hierfür ein Beispiel an: $7-5=7+(-5)$.

    $-5$ ist die Gegenzahl von $5$.

    Um zu prüfen, wie man die Klammern auflöst, kannst du auch testweise den Inhalt der Klammer berechnen. Sieh dir dafür ein Beispiel an:

    $5+(3-2) = 5 + (1) = 5 + 1 = 6$.

    Wie musst du rechnen, wenn du die Klammern zuerst auflöst?

    $5 + (3-2) = 5 + 3 - 2 = 8 - 2 = 6$

    Schauen wir uns die Situation mit einem Minus vor der Klammer an:

    $5 - (3-2) = 5 - (1) = 5-1 = 4$

    Und jetzt lösen wir zuerst die Klammer auf:

    $5 - (3-2) = 5 - 3 + 2 = 2 + 2 = 4$

    Was fällt dir auf?

    Lösung

    Merke dir für das Auflösen von Plusklammern: Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, dann darf die Klammer weggelassen werden. Alle Zahlen in der Klammer behalten ihr Vorzeichen.

    Du kannst also bei dem Ausdruck $-13+(-3+5-8)$ von links nach rechts addieren und erhältst somit $-13+(-3+5-8)=-13-3+5-8$.

    Merke dir für das Auflösen von Minusklammern: Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, dann darf die Klammer weggelassen werden. Nur musst du dieses Mal bei allen Zahlen in der Klammer das Vorzeichen tauschen.

    Du kannst also bei dem Ausdruck $-13-(-3+5-8)$ von links nach rechts die Gegenzahlen der Zahlen in der Klammer addieren. Somit $-13-(-3+5-8)=-13+3-5+8$.

  • Gib den jeweiligen Ausdruck ohne Klammern an.

    Tipps

    Bei Plusklammern kannst du das Pluszeichen und die Klammern weglassen: Die Vorzeichen in der Klammer ändern sich nicht. Hier siehst du ein Beispiel:

    $14+(3-4)=14+3-4$

    Beachte: $4=+4$

    Du schreibst bei positiven Zahlen das Vorzeichen $+$ üblicherweise nicht hin.

    Bei Minusklammern kannst du das Minuszeichen und die Klammern weglassen: Die Vorzeichen in der Klammer ändern sich. Auch hier siehst du ein Beispiel:

    $14-(3-4)=14-3+4$.

    Lösung

    Plusklammern

    Bei Plusklammern kannst du das Pluszeichen und die Klammern weglassen. Die Vorzeichen in der Klammer ändern sich nicht.

    Bei einer Plusklammer steht vor dem Klammerausdruck ein Pluszeichen:

    • Wir rechnen $-13+(-3+5-8)=-13-3+5-8$. Diesen Term kann man noch ausrechnen. Das Ergebnis ist $-19$.
    • Hier rechnest du $24+(18-12+2)=24+18-12+2$. Vor der $18$ steht kein Vorzeichen. Dies entspricht einem $+$-Zeichen.
    Minusklammern

    Bei Minusklammern kannst du das Minuszeichen und die Klammern weglassen, die Vorzeichen in der Klammer ändern sich dann allerdings.

    Bei einer Minusklammer steht vor dem Klammerausdruck ein Minuszeichen:

    • $15-(-4+3-7)=15+4-3+7=23$
    • $18-(4+3-8)=18-4-3+8=19$ Auch hier denkst du dir wieder von der $4$ ein $+$ als Vorzeichen.
  • Ermittle das Ergebnis der Aufgabe.

    Tipps

    Achte auf die Vorzeichen.

    Wenn ein $-$ vor der Klammer steht, dann werden alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht. Wenn ein $+$ vor der Klammer steht, kann die Klammer einfach weggelassen werden.

    Du könntest die Klammern auch in einem Schritt auflösen:

    $\begin{array}{rcl}&&21-(12+13-15+(11-23+5))+(13-14-(2-15+23))\\ &=&21-12-13+15-11+23-5+13-14-2+15-23 \end{array}$

    Lösung

    Da du nun schon ein richtiger Profi im Auflösen von Klammern bist, kommt hier gleich die nächste Herausforderung:

    $21-(12+13-15+(11-23+5))+(13-14-(2-15+23))=~?$

    Löse die Klammern Schritt für Schritt auf:

    • $-15+(11-23+5)=-15+11-23+5=-22$
    • $21-(12+13-22)=21-12-13+22=18$
    Damit sind die beiden linken Klammern aufgelöst. Nun kommen wir zu den restlichen Klammern:
    • $(13-14-(2-15+23))=(13-14-2+15-23)=-11$ und schließlich
    • $18+(-11)=18-11=7$
    Fertig: Das Ergebnis der Rechenaufgabe ist $7$.

  • Leite den jeweiligen Ausdruck ohne Klammern her.

    Tipps

    Merke dir für das Auflösen von Minusklammern: Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, dann darf die Klammer weggelassen werden.

    Aber: Bei allen Zahlen in der Klammer wird das Vorzeichen getauscht.

    Schaue dir ein Beispiel an:

    • $-5-(-3+4-5)=~?$
    • Tausche in der Klammer jeweils das Vorzeichen. Du erhältst in der Klammer $3-4+5$.
    • Insgesamt ergibt das $-5-(-3+4-5)=-5+3-4+5$.

    Beachte: Das Vorzeichen ändert sich nur bei den Zahlen in der Klammer.

    Lösung

    Für das Auflösen von Minusklammern gilt:

    Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, dann darf die Klammer weggelassen werden. Nur musst du dann bei allen Zahlen in der Klammer das Vorzeichen tauschen.

    Dies wird beispielhaft für den Term $-5-(3-4-5)$ gezeigt:

    • Vertauschen der Vorzeichen in der Klammer führt zu $-3+4+5$.
    • Nun kannst du von links nach rechts addieren.
    • Also erhältst du $-5-(3-4-5)=-5-3+4+5$.
    Ebenso kannst du die übrigen Rechenausdrücke umformen:

    • $-5-(3+4-5)=-5-3-4+5$
    • $-5-(-3-4+5)=-5+3+4-5$
    • $-5-(-3-4-5)=-5+3+4+5$
    • $-5-(-3+4+5)=-5+3-4-5$
    • $-5-(3+4+5)=-5-3-4-5$
  • Prüfe die Rechnungen.

    Tipps
    • Steht ein Plus vor der Klammer, kannst du die Klammern weglassen: Die Vorzeichen der Zahlen in der Klammer ändern sich nicht.
    • Steht ein Minus vor der Klammer, kannst du die Klammern ebenfalls weglassen. Nur musst du dieses Mal die Vorzeichen aller Zahlen in der Klammer ändern.

    Schaue dir die Beispiele an:

    • Plusklammer: $23+(-12+13+14)=23-12+13+14$
    • Minusklammer: $23-(-12+13+14)=23+12-13-14$
    Lösung

    Paul übt das Auflösen von Plus- und Minusklammern.

    Bei Plusklammern kann man sowohl das Pluszeichen als auch die Klammern weglassen. Die Vorzeichen in der Klammer ändern sich nicht.

    Aufgabe 1

    • Pauls Rechnung: $17+(-18+9-12-21)=17+18-9+12-21$
    • Korrekte Rechnung: $17+(-18+9-12-21)=17-18+9-12-21$
    • Paul hat also drei Fehler gemacht. Die ersten drei Rechenzeichen stimmen nicht.
    Bei Minusklammern kann man die Klammern ebenfalls weglassen. Aber: Dann muss man in der Klammer alle Vorzeichen ändern.

    Aufgabe 2

    • Pauls Rechnung: $23-(-12+23+15-14)=23+12-23+15+14$
    • Korrekte Rechnung: $23-(-12+23+15-14)=23+12-23-15+14$
    • Hier hat er nur einen Fehler gemacht. Vor die $15$ gehört ein Minuszeichen.
    Aufgabe 3

    Hier hat Paul alles richtig gemacht:

    $-17-(11-27+31+15)=-17-11+27-31-15$