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Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo)

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo)

Herzlich Willkommen! Was ist die Normalform einer quadratischen Gleichung und wie kann man eine quadratische Gleichung in Normalform bringen? In den vorherigen Videos haben wir geklärt, was eine quadratische Gleichung ist und wie die dazugehörige Normalform aussieht. Nun soll es darum gehen, dass man eine allgemeine quadratische Gleichung in ihre Normalform umwandelt. Was benötigst du dazu? Du solltest wissen, was eine Äquivalenzumformung ist und wie man Gleichungen äquivalent umformt. Im Video zeigen wir dir anhand eines Beispiels, wie du vorgehen musst. Viel Spaß!

Transkript Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo)

Hallo! Wenn wir eine quadratische Gleichung vorliegen haben wie diese hier zum Beispiel, dann können wir hier unschwer feststellen, dass diese quadratische Gleichung nicht in Normalform vorliegt. Es könnte aber sein, dass wir diese Gleichung in Normalform haben möchten und, um das zu erreichen, müssen wir diese Gleichung hier in Normalform bringen. So nennt man das und das macht man, indem man Äquivalenzumformungen anwendet. Äquivalenzumformungen bestehen im Wesentlichen aus den vier Grundrechenarten. Man kann bei einer Gleichung auf beiden Seiten etwas addieren oder auf beiden Seiten etwas subtrahieren. Man kann beide Seiten mit der gleichen Zahl multiplizieren oder beide Seiten durch die gleiche Zahl dividieren. Das reicht hier auch im Wesentlichen aus und das möchte ich jetzt Mal vormachen. Wir erinnern uns, die Normalform einer quadratischen Gleichung sieht so aus: (x2 + Zahl) × (x + Zahl) = 0. Deshalb möchte ich hier alle x2 erst mal auf die linke Seite bringen, -6x2 steht da schon. Das schreibe ich ab. In welcher Reihenfolge ich das hier hinschreibe, ist ja egal. Und dann muss ich noch auf beiden Seiten +x2 rechnen, damit hier dieses x2 dann sich mit dem +x2 zu 0 addiert und letzten Endes weg ist. Also kann ich hier hinschreiben +x2 und ich schreib erst mal -1,5x hin. Ja, ich hätte auch das Andere zuerst machen können, das ist egal. Und ich möchte jetzt hier auf beiden Seiten -0,5x rechnen, dann wird das hier verschwinden. Das wird dann also +0,5x -0,5 x, addiert sich wieder zu 0. Und hier taucht dann auf der linken Seite, das ist immer noch die linke Seite, taucht dann -0,5 × x auf. Das x kann ich noch ein bisschen größer machen, bitteschön. Und dann rechne ich noch -21 auf beiden Seiten. Dann ist es hier auf der rechten Seite weg und auf der linken Seite steht -21. Jetzt habe ich zumindest Folgendes erreicht, dass nämlich auf der rechten Seite eine 0 steht. Da komme ich schon der Normalform ziemlich nah. Jetzt möchte ich diese hier noch zusammenfassen, also -6x2 + x2 sind insgesamt -5x2. Ja, irgendwie verrutscht das x immer so ein bisschen heute. Dann habe ich hier -1,5x -0,5x, macht zusammen -2x und -21 bleibt einfach in voller Schönheit dort stehen. Da ist nichts Weiter hinzuzufügen.  Dann hatten wir ja gesagt, die Normalform beginnt mit x2 und nicht mit -5. Nun muss ich also beide Seiten durch dieselbe Zahl, nämlich durch -5 teilen, damit dann hier die -5 sich rauskürzt und die Gleichung tatsächlich mit x2 beginnt. So, x2 steht schon da. Ich teile also auf beiden Seiten durch -5. Minus durch Minus ergibt Plus, 2 durch  5 ist 2/5. Und weil es so Spaß macht, möchte ich das direkt Mal als Dezimalzahl schreiben. Du weißt ja, dass 1/5 gleich 0,2 ist, 2/5 sind dementsprechend 0,4 und das schreibe ich einfach Mal hier auf. Nur zur Wiederholung: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln! 2/5 kommt hier raus, wenn man 2 durch 5 teilt und dann kann man das auch gleich als Dezimalzahl schreiben. -21 / -5, weiß ich zunächst Mal Minus durch Minus ergibt Plus, 5 geht 4 × in die 20 rein, also 20 / 5 = 4. Und dann bleibt noch 1/5 übrig. Ich weiß schon, dass 1/5 = 0,2 ist. Alles zusammen ist dann 4,2 und 0 / -5 bleibt 0. Da ist nichts weiter zu ändern. So, und jetzt haben wir diese obere Gleichung in die untere Normalform gebracht. Sie heißt jetzt x2 + 0,4x + 4,2 = 0. Und diese untere Gleichung hat dieselbe Lösungsmenge wie die obere Gleichung. Nur ist jetzt praktischer zu lösen, sie steht in Normalform da und das wollten wir erreichen. Herzlichen Glückwunsch! Bis bald! Tschüss!

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. @Andrea Lietz: Dir ist beim Auflösen der Gleichung wohl ein kleiner Fehler unterlaufen. Schau dir nochmal den genauen Lösungsweg der Aufgabe an. Die Gleichung lautet richtig aufgelöst:
    x²-2x-2=0
    Dementsprechend ist p=-2.
    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 4 Jahren
  2. Hallo das Video ist sehr gut, aber bei Aufgabe 4 steht, dass p -2 ist, aber meine aufgelöste Gleichung lautet: x² + x - 2 = 0 ist p nicht hier +1? Kann mir jemand helfen? Danke schon im vorraus LG

    Von Andrea Lietz, vor mehr als 4 Jahren
  3. Sehr gut erklärt. Danke :)

    Von Jlp123 K, vor fast 5 Jahren
  4. Vielen Dank für die schnelle Antwort!
    Ich hatte irgendwie übersehen, dass ich die -0,9 auf der rechten Seite dann auch mit x multiplizieren musste, jetzt ist alles klar, danke :)

    Von Johanna Wolli, vor mehr als 6 Jahren
  5. Wenn du die gesamte Gleichung mit (x+5) und x multiplizierst, erhältst du: 135*x = 135*(x+5) - 0,9*(x+5)*x. Wenn du dann die Klammern ausmultiplizierst erhältst du: 135*x = 135*x + 135*5 - 0,9x² - 0,9*5x. Der Rest läuft, oder?

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 6 Jahren
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Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie eine quadratische Gleichung in Normalform aussieht.

    Tipps

    In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variablen $2$.

    $2x^2-4=0$ ist eine quadratische Gleichung, aber keine quadratische Gleichung in Normalform.

    $x^2-3x+3=2x-4$ ist eine quadratische Gleichung, jedoch keine in Normalform.

    Lösung

    Unter einer quadratischen Gleichung mit der Variablen $x$ versteht man eine Gleichung, in welcher die Variable höchsten den Exponenten $2$ hat.

    Was ist nun eine quadratische Gleichung in Normalform?

    • Bei einer Normalform steht auf der rechten Seite $0$.
    • Der Koeffizient vor dem quadratischen Term $x^2$ ist $1$.
    • Die Koeffizienten $p$ und $q$ können beliebig sein.
    Die quadratische Gleichung in Normalform sieht im Allgemeinen so aus: $x^2+px+q=0$.

  • Bestimme die quadratische Gleichung in Normalform.

    Tipps

    Führe Äquivalenzumformungen durch.

    Dadurch ändert sich die Lösbarkeit der Gleichung nicht.

    Eine allgemeine Darstellung einer quadratischen Gleichung in Normalform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Bringe durch Addition und Subtraktion alle Terme der rechten Seite auf die linke.

    Sortiere die Potenzen nach der Größe des Exponenten.

    Lösung

    $-1,5x-6x^2=21+0,5x-x^2$ ist eine quadratische Gleichung, jedoch keine in Normalform.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform sieht wie folgt aus:

    $x^2+px+q=0$.

    Zunächst bringt man alle Terme der rechten Seite durch Addition und Subtraktion auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite $0$ steht:

    $\begin{align*} &&-1,5x-6x^2&=21+0,5x-x^2&|&+x^2-0,5x-21\\ &\Leftrightarrow&-1,5x-6x^2+x^2-0,5x-21&=0. \end{align*}$

    Nun werden die Terme sortiert und addiert. Die Addition ist nur möglich, wenn die Terme sowohl in der Basis als auch im Exponenten übereinstimmen:

    $\begin{align*} &&-1,5x-6x^2+x^2-0,5x-21&=0\\ &\Leftrightarrow&-6x^2+x^2-1,5x-0,5x-21&=0.\\ &\Leftrightarrow&-5x^2-2x-21&=0. \end{align*}$

    Was jetzt noch stört, ist der Faktor vor dem $x^2$. Dieser muss in der Normalform $1$ sein. Hier muss also durch $-5$ dividiert werden:

    $\begin{align*} &&-5x^2-2x-21&=0&|& : (-5)\\ &\Leftrightarrow&x^2+0,4x+4,2&=0. \end{align*}$

    Dies ist die gesuchte quadratische Gleichung in Normalform.

  • Entscheide, ob eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt.

    Tipps

    Damit eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt, muss die Gleichung quadratisch sein.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet $x^2+px+q=0$.

    Beachte, dass in der Normalform auf der rechten Seite $0$ steht.

    Jede quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Es liegt also keine quadratische Gleichung in Normalform vor, wenn

    • keine quadratische Gleichung vorliegt oder
    • vor dem $x^2$ ein Faktor $\neq 1$ steht oder
    • auf der rechten Seite nicht $0$ steht.
    Jede beliebige quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden.
    • $x^2+2x+4=0$ ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
    • $\frac12 x^2+2x+4=0$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform, da vor dem $x^2$ der Faktor $\frac12$ steht. Durch Multiplikation mit $2$ käme man zu $x^2+4x+8=0$ und dies ist eine Normalform.
    • $2x-3=0$ ist eine lineare Gleichung.
    • $-x^2+3x=0$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform. Multiplikation mit $-1$ würde zu $x^2-3x=0$ führen. Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
    • $x^2+x-4=0$ ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
    • $x^2+1=4$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform, da rechts vom Gleichheitszeichen nicht $0$ steht. Durch Subtraktion von $4$ gelangt man zu der Normalform $x^2-3=0$.

  • Leite die quadratische Gleichung in Normalform her.

    Tipps

    Multipliziere auf der linken Seite der Gleichung die Klammer aus.

    Forme die Gleichung zunächst so um, dass $0$ auf der rechten Seite der Gleichung steht.

    Ist der Faktor vor dem $x^2$ eine $1$, dann bist du fertig.

    Ansonsten musst du durch den Faktor teilen.

    Achte darauf, dass sowohl zu $p$ als auch zu $q$ das Vorzeichen gehört:

    Zum Beispiel ist bei $x^2+2x-4=0$

    • $p=2$ und
    • $q=-4$.

    Lösung

    Betrachtet wird die quadratische Gleichung

    $(x-2)\cdot x=2x-x^2+4$.

    Wie sieht eine quadratische Gleichung in Normalform aus?

    $x^2+px+q=0$.

    Zunächst wird auf der linken Seite ausmultipliziert und werden dann die Terme, welche sich auf der rechten Seite der Gleichung befinden, durch Subtraktion auf die linke Seite gebracht:

    $(x-2)\cdot x=2x-x^2+4~\Leftrightarrow~x^2-2x=2x-x^2+4~\Leftrightarrow~2x^2-4x-4=0$.

    Zur quadratischen Gleichung in Normalform fehlt nur noch der Faktor $1$ vor dem $x^2$. Man muss also durch den Faktor $2$ vor dem $x^2$ teilen:

    $2x^2-4x-4=0~\Leftrightarrow~x^2-2x-2=0$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Hier ist $p=-2$ und $q=-2$.

  • Gib an, ob eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung zeichnet sich dadurch aus, dass der höchste Exponent der Variablen $2$ ist.

    Ist eine Gleichung nicht quadratisch, kann sie auch keine quadratische Gleichung in Normalform sein.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform ist

    • eine quadratische Gleichung,
    • in welcher auf der rechten Seite die $0$ steht und
    • auf der linken Seite $x^2$ plus eine Zahl mal $x$ plus eine Zahl.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Es liegt also keine quadratische Gleichung in Normalform vor, wenn

    • keine quadratische Gleichung vorliegt oder
    • vor dem $x^2$ ein Faktor $\neq 1$ oder
    • auf der rechten Seite nicht $0$ steht.

    Jede quadratische Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen in eine Normalform umgeformt werden:

    • $-1,5x-6x^2=21+0,5x-x^2$ ist eine quadratische Gleichung, jedoch nicht in Normalform.
    • Durch Äquivalenzumformungen kommt man zu der Normalform $x^2+0,4x+4,2=0$.

  • Stelle die quadratische Gleichung auf und forme diese in die Normalform um.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung hat als höchsten Exponenten der Variablen die $2$.

    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $a\cdot b$.

    Eine quadratische Gleichung in Normaleform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Lösung

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen.

    In diesem Beispiel ist dies $x\cdot 2x=2x^2$.

    Da dieser $800~m^2$ betragen soll, resultiert daraus die quadratische Gleichung

    $2x^2=800$.

    Diese Gleichung ist nicht in Normalform:

    • Zum einen steht auf der rechten Seite nicht $0$ und
    • zum anderen ist der Faktor vor dem $x^2$ $2\neq1$.
    Also kann wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align*} &&2x^2&=800&|&-800\\ &\Leftrightarrow&2x^2-800&=0&|&:2\\ &\Leftrightarrow&x^2-400&=0. \end{align*}$

    Dies ist die gesuchte Normalform.

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