Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge

Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge Übung

• Ergänze die Erklärung zur Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung ist

  $x^2+2x-4=0$.

  Für $x=2$ ist die Gleichung $x^2-2x=0$ erfüllt.

  Gibt es weitere Lösungen für die Gleichung $x^2-2x=0$?

  Lösung

  Wie sieht die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung aus?

  Eine Lösung einer quadratischen Gleichung ist eine Zahl, welche, für die Variable in der Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

  Wenn man diese Zahlen zu einer Menge zusammenfasst, so ist dies die Lösungsmenge.

• Gib jeweils die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung an.

  Tipps

  Setze die Zahlen aus der Lösungsmenge in der Gleichung ein.

  Wenn die Lösungsmenge leer ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt.

  Jede Lösungsmenge gehört zu einer Gleichung.

  Du kannst jeweils die zugehörige Parabel zeichnen. Die Lösungen sind die Nullstellen.

  Lösung

  In der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung werden alle Lösungen dieser Gleichung zusammengefasst.

  Lösung ist jede Zahl, welche, für $x$ eingesetzt, die Gleichung erfüllt:

  • Die quadratische Gleichung $x^2-3x+2=0$ hat die Lösungen $x_1=1$, denn $1^2-3\cdot 1+2=0$, und $x_2=2$, weil $2^2-3\cdot 2+2=0$. Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{1;2\}$.
  • Die quadratische Gleichung $x^2+4x+4=0$ besitzt lediglich eine Lösung, nämlich $x=-2$. Eingesetzt ergibt sich $(-2)^2+4\cdot (-2)+4=0$. Es existiert keine weitere Lösung. Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{-2\}$.
  • $x^2-6x+10=0$ besitzt keine Lösung. Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{\}$, die leere Menge.

• Prüfe, welche $x$ die quadratische Gleichung erfüllen.

  Tipps

  Setze jedes $x$ in der Gleichung ein und prüfe, ob daraus eine wahre Aussage resultiert.

  Sei zum Beispiel die quadratische Gleichung

  $x^2-4=2x^2+3x-14$

  und $x=2$:

  $2^2-4=2\cdot 2^2+3\cdot 2-14$ $\surd$.

  Lösung

  Betrachtet wird die quadratische Gleichung

  $x^2+2x=4x-3+2x^2$.

  • $x=0$: $0^2+2\cdot 0=4\cdot 0-3+2\cdot 0^2~\Leftrightarrow~0=-3$. Dies ist eine falsche Aussage.
  • $x=1$: $1^2+2\cdot 1=4\cdot 1-3+2\cdot 1^2~\Leftrightarrow~3=3$. Dies ist eine wahre Aussage.
  • $x=2$: $2^2+2\cdot 2=4\cdot 2-3+2\cdot 2^2~\Leftrightarrow~8=13$. Dies ist eine falsche Aussage.
  • $x=-1$: $(-1)^2+2\cdot (-1)=4\cdot (-1)-3+2\cdot (-1)^2~\Leftrightarrow~-1=-5$. Dies ist eine falsche Aussage.
  • $x=-2$: $(-2)^2+2\cdot (-2)=4\cdot (-2)-3+2\cdot (-2)^2~\Leftrightarrow~0=-3$. Dies ist eine falsche Aussage.
  • $x=-3$: $(-3)^2+2\cdot (-3)=4\cdot (-3)-3+2\cdot (-3)^2~\Leftrightarrow~3=3$. Dies ist eine wahre Aussage.

  Die Lösungsmenge lautet daher $\mathbb{L}=\{-3;1\}$.

• Ordne der quadratischen Gleichung in Normalform die Lösungsmenge zu.

  Tipps

  Prüfe, ob die Zahlen aus der Lösungsmenge, in der Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führen.

  Eine quadratische Gleichung kann

  • keine oder
  • eine oder
  • zwei Lösungen besitzen.

  Die Menge aller Lösungen ist die Lösungsmenge.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

  $x^2+px+q=0$.

  Diese kann entweder

  • keine oder
  • eine oder
  • zwei Lösungen besitzen.

  Die Menge, welche alle Lösungen beinhaltet, bezeichnet man als Lösungsmenge.

  Die jeweiligen Lösungsmengen können überprüft werden, indem die Zahlen in der Lösungsmenge in der quadratischen Gleichung eingesetzt werden:

  • $x^2+2x+1=0$: $\mathbb{L}=\{-1\}$.
  • $x^2+2x-3=0$: $\mathbb{L}=\{-3;1\}$.
  • $x^2+2x+2=0$: $\mathbb{L}=\{\}$.
  • $x^2+2x-8=0$: $\mathbb{L}=\{-4;2\}$.

  Die jeweiligen Parabeln entstehen jeweils aus der Normalparabel. Diese wird entlang der x- und y-Achse verschoben.

• Beschreibe, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung besitzen kann.

  Tipps

  Jede quadratische Gleichung kann in eine Gleichung in Normalform umgeformt werden, sodass sich $x^2+px+q=0$ ergibt.

  Der Verlauf der Funktion $y=x^2+px+q$ ist eine Parabel.

  Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entspricht der Anzahl der Nullstellen der Parabel.

  Wie viele Nullstellen kann eine Parabel haben?

  Mache dir die verschiedenen Fälle klar, indem du eine Parabel entlang der x-Achse und der y-Achse verschiebst.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in welcher die Variable den höchsten Exponenten $2$ hat.

  Jede quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ umgeformt werden.

  Es handelt sich also beim Lösen einer quadratischen Gleichung um das Bestimmen der Nullstellen einer Parabel.

  Diese kann entweder nach oben oder unten geöffnet sein.

  • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse, so hat sie keine Nullstelle.
  • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt auf der x-Achse, so hat sie eine Nullstelle.
  • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse, so hat sie zwei Nullstellen.
  • Ist sie nach unten geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse, so hat sie zwei Nullstellen.
  • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt auf der x-Achse, so hat sie eine Nullstelle.
  • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse, so hat sie keine Nullstelle.

  Also hat eine quadratische Gleichung immer

  • entweder keine
  • oder eine
  • oder zwei Lösungen.

• Untersuche die quadratische Gleichung auf Lösungen.

  Tipps

  Forme die Gleichung zunächst so um, dass sie die Form $x^2+px+q=0$ hat.

  Dies nennt man dann quadratische Gleichung in Normalform.

  Die Normalform lautet $x^2+x-6=0$.

  Die Lösungen sind ganzzahlig.

  Das Produkt der Lösungen ist $-6$.

  Du kannst $x^2+x-6$ in Faktoren zerlegen.

  Lösung

  Zunächst kann man die Gleichung $x^2+2x=x+6$ so umformen, dass sie in Normalform vorliegt:

  $\begin{align*} &&x^2+2x&=x+6&|&-x-6\\ &\Leftrightarrow&x^2+x-6&=0. \end{align*}$

  Es gilt $x^2+x-6=(x-2)\cdot(x+3)$.

  Aus dieser Darstellung kann man die beiden Lösungen ablesen, da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

  Die Lösungen sind also

  $x_1=2$ sowie $x_2=-3$.

  Man könnte diese auch durch probehaftes Einsetzen ermitteln.