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Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge

Was ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung? Die Antwort lässt sich schnell finden, wenn man weiß, was Lösungen einer quadratischen Gleichung sind. Lösungen einer Gleichung sind die Zahlen, welche man für die Variable einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig ist. Wenn du die Lösungen zu einer Menge zusammenfasst, erhältst du eine Lösungsmenge. Im Video werden wir die anhand von Beispielen zeigen, wie man zu einer quadratischen Gleichung die Lösungsmenge notiert. Wenn du möchtest, dann kannst du die Lösungsmengen überprüfen. Viel Spaß mit dem Video!

Transkript Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge

Hallo! Was ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung? Das ist schnell gesagt, nachdem du weißt, was Lösungen sind von Gleichungen, oder was Lösungen einer quadratischen Gleichung sind. Das sind die Zahlen, die die Gleichung richtig machen. Wenn man diese Zahlen also zu einer Menge zusammenfasst, dann ist das die Lösungsmenge. Da gibt es aber 1, 2 Besonderheiten bei den quadratischen Gleichungen hier, auf die ich mal hinweisen möchte. Wenn du das von linearen Gleichungen kennst, also Gleichungen, bei denen kein x2 vorkommt, sondern nur das x einfach so da steht, dann kennst du vielleicht immer nur eine Lösung. Also es gibt nur eine Zahl, die dann immer die Gleichung löst. Vielleicht, bei linearen Gleichungen, hast du das so kennengelernt. Hier ist es ein bisschen anders, rein zufällig habe ich da mal 3 Gleichungen vorbereitet, und zwar die, die du hier sehen kannst. Die 1. Gleichung lautet x2-3x+2=0. Alle Gleichungen, die du hier siehst, stehen in Normalform hier. Wenn wir sie schon haben die Normalform, dann können wir sie auch benutzen. Möchte jetzt mal nicht sagen, wie ich darauf komme, auf diese Lösung oder diese Lösungen. Aber du kannst durch Nachrechnen hier bestätigen, dass diese obere Gleichung dann richtig ist, wenn man 1 oder wenn man 2 einsetzt. Das bedeutet als, dass in der Lösungsmenge die Zahlen 1 und 2 drin sind. Das hier ist ein L mit einem Doppelstrich, das steht für Lösungsmenge. Das Gleichheitszeichen steht für das Gleichheitszeichen. Das ist die Mengenklammer auf, das die Mengenklammer zu und in dieser Mengenklammer stehen 2 Zahlen, nämlich die 1 und die 2. Das ist das, was hier steht, und das ist das, was es bedeutet. Also man kann in diese Gleichung statt des x, 1 einsetzen. Dann steht da 12-3×1+2=0, dann wird die Gleichung richtig. Man kann auch 2 einsetzten, dann wird die Gleichung auch richtig. Dann steht nämlich hier: 22-3×2+2=0. Für 2 ist diese Gleichung auch richtig, also haben wir hier 2 Lösungen. Mehr Lösungen gibt es bei "vernünftigen" quadratischen Gleichungen nicht. Es gibt irgendwelche trivialen quadratischen Gleichungen, x2=x2 oder so etwas, da kann man dann alles einsetzen. Davon möchte ich jetzt nicht reden. In der Regel, 2 Lösungen, ist das Maximum, was du erreichen kannst. Hier steht die Gleichung x2+4x+4=0. Da kannst du als einzige Zahl für die, die Gleichung richtig wird, -2 einsetzen.-22+4×-2+4=0. Das ist richtig. Du kannst also hier nur -2 einsetzen und nichts anderes. Dass du hier nichts anderes einsetzen kannst, das behaupte ich jetzt so, das habe ich jetzt hier nicht begründet, nicht bewiesen. Aber darum soll es in diesem Film auch nicht gehen. In der Lösungsmenge hier, das ist wieder das L mit dem Doppelstrich. In der Lösungsmenge steht nur eine einzige Zahl, nämlich die -2. Hier geht die geschweifte Klammer auf, die geschweifte Klammer zu. Das ist eine Mengenklammer. Dann habe ich noch eine Gleichung vorbereitet, nämlich: x2-6x+10=0. Da gibt es noch eine Besonderheit. Diese Gleichung hat keine Lösungen, zumindest nicht innerhalb der reellen Zahlen. Da könnte man natürlich auf die Idee kommen, ja dann hat diese Gleichung auch keine Lösungsmenge. Ist aber falsch. Und zwar deshalb, weil, die Gleichung doch eine Lösungsmenge hat, nämlich: Ja, jetzt kommt es, das ist das L mit dem Doppelstrich, das steht für Lösungsmenge. Das Gleichheitszeichen kommt auch hier. Die geschweifte Klammer geht auf, ja und dann geht sie auch direkt wieder zu. Und zwar deshalb, weil, ja hier keine Zahl drinsteht. Ja, das ist die leere Menge. Wenn da keine Zahl drinsteht, ist es die leere Menge. Diese Gleichung hat ja keine reelle Zahl als Lösung. Deshalb schreiben wir nichts in die Mengenklammer rein. Was jetzt dazu führt, dass diese Gleichung zwar keine Lösung hat, aber eine Lösungsmenge. Diese Lösungsmenge ist da, sie ist nicht weg, aber sie ist leer. Das kann man albern finden, ja manchmal ist Mathematik auch albern. Nicht nur meine Filme, auch Mathematik ist manchmal albern. Natürlich hat das auch alles irgendwie einen Sinn, dass man sich so drauf geeinigt hat. Auch wenn die Gleichung keine Lösung hat innerhalb der reellen Zahlen, hat sie trotzdem eine Lösungsmenge, die dann, allerdings leer ist. Das hat einen Sinn, will ich hier gar nicht weiter drauf eingehen. Vielleicht gewöhnst du dich einfach so dran. Aber man kann das natürlich albern finden, sehe ich ein. Viel Spaß damit. Tschüss!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Toll

    Von Heiket5111, vor 8 Monaten
  2. Sehr gut erklärt😌

    Von Luca S., vor mehr als 3 Jahren
  3. Sehr gut (;

    Von Robin Ms, vor fast 12 Jahren

Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung ist

    $x^2+2x-4=0$.

    Für $x=2$ ist die Gleichung $x^2-2x=0$ erfüllt.

    Gibt es weitere Lösungen für die Gleichung $x^2-2x=0$?

    Lösung

    Wie sieht die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung aus?

    Eine Lösung einer quadratischen Gleichung ist eine Zahl, welche, für die Variable in der Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

    Wenn man diese Zahlen zu einer Menge zusammenfasst, so ist dies die Lösungsmenge.

  • Gib jeweils die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung an.

    Tipps

    Setze die Zahlen aus der Lösungsmenge in der Gleichung ein.

    Wenn die Lösungsmenge leer ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt.

    Jede Lösungsmenge gehört zu einer Gleichung.

    Du kannst jeweils die zugehörige Parabel zeichnen. Die Lösungen sind die Nullstellen.

    Lösung

    In der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung werden alle Lösungen dieser Gleichung zusammengefasst.

    Lösung ist jede Zahl, welche, für $x$ eingesetzt, die Gleichung erfüllt:

    • Die quadratische Gleichung $x^2-3x+2=0$ hat die Lösungen $x_1=1$, denn $1^2-3\cdot 1+2=0$, und $x_2=2$, weil $2^2-3\cdot 2+2=0$. Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{1;2\}$.
    • Die quadratische Gleichung $x^2+4x+4=0$ besitzt lediglich eine Lösung, nämlich $x=-2$. Eingesetzt ergibt sich $(-2)^2+4\cdot (-2)+4=0$. Es existiert keine weitere Lösung. Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{-2\}$.
    • $x^2-6x+10=0$ besitzt keine Lösung. Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{\}$, die leere Menge.

  • Prüfe, welche $x$ die quadratische Gleichung erfüllen.

    Tipps

    Setze jedes $x$ in der Gleichung ein und prüfe, ob daraus eine wahre Aussage resultiert.

    Sei zum Beispiel die quadratische Gleichung

    $x^2-4=2x^2+3x-14$

    und $x=2$:

    $2^2-4=2\cdot 2^2+3\cdot 2-14$ $\surd$.

    Lösung

    Betrachtet wird die quadratische Gleichung

    $x^2+2x=4x-3+2x^2$.

    • $x=0$: $0^2+2\cdot 0=4\cdot 0-3+2\cdot 0^2~\Leftrightarrow~0=-3$. Dies ist eine falsche Aussage.
    • $x=1$: $1^2+2\cdot 1=4\cdot 1-3+2\cdot 1^2~\Leftrightarrow~3=3$. Dies ist eine wahre Aussage.
    • $x=2$: $2^2+2\cdot 2=4\cdot 2-3+2\cdot 2^2~\Leftrightarrow~8=13$. Dies ist eine falsche Aussage.
    • $x=-1$: $(-1)^2+2\cdot (-1)=4\cdot (-1)-3+2\cdot (-1)^2~\Leftrightarrow~-1=-5$. Dies ist eine falsche Aussage.
    • $x=-2$: $(-2)^2+2\cdot (-2)=4\cdot (-2)-3+2\cdot (-2)^2~\Leftrightarrow~0=-3$. Dies ist eine falsche Aussage.
    • $x=-3$: $(-3)^2+2\cdot (-3)=4\cdot (-3)-3+2\cdot (-3)^2~\Leftrightarrow~3=3$. Dies ist eine wahre Aussage.
    Die Lösungsmenge lautet daher $\mathbb{L}=\{-3;1\}$.

  • Ordne der quadratischen Gleichung in Normalform die Lösungsmenge zu.

    Tipps

    Prüfe, ob die Zahlen aus der Lösungsmenge, in der Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führen.

    Eine quadratische Gleichung kann

    • keine oder
    • eine oder
    • zwei Lösungen besitzen.

    Die Menge aller Lösungen ist die Lösungsmenge.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Diese kann entweder

    • keine oder
    • eine oder
    • zwei Lösungen besitzen.
    Die Menge, welche alle Lösungen beinhaltet, bezeichnet man als Lösungsmenge.

    Die jeweiligen Lösungsmengen können überprüft werden, indem die Zahlen in der Lösungsmenge in der quadratischen Gleichung eingesetzt werden:

    • $x^2+2x+1=0$: $\mathbb{L}=\{-1\}$.
    • $x^2+2x-3=0$: $\mathbb{L}=\{-3;1\}$.
    • $x^2+2x+2=0$: $\mathbb{L}=\{\}$.
    • $x^2+2x-8=0$: $\mathbb{L}=\{-4;2\}$.
    Die jeweiligen Parabeln entstehen jeweils aus der Normalparabel. Diese wird entlang der x- und y-Achse verschoben.

  • Beschreibe, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung besitzen kann.

    Tipps

    Jede quadratische Gleichung kann in eine Gleichung in Normalform umgeformt werden, sodass sich $x^2+px+q=0$ ergibt.

    Der Verlauf der Funktion $y=x^2+px+q$ ist eine Parabel.

    Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entspricht der Anzahl der Nullstellen der Parabel.

    Wie viele Nullstellen kann eine Parabel haben?

    Mache dir die verschiedenen Fälle klar, indem du eine Parabel entlang der x-Achse und der y-Achse verschiebst.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in welcher die Variable den höchsten Exponenten $2$ hat.

    Jede quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ umgeformt werden.

    Es handelt sich also beim Lösen einer quadratischen Gleichung um das Bestimmen der Nullstellen einer Parabel.

    Diese kann entweder nach oben oder unten geöffnet sein.

    • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse, so hat sie keine Nullstelle.
    • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt auf der x-Achse, so hat sie eine Nullstelle.
    • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse, so hat sie zwei Nullstellen.
    • Ist sie nach unten geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse, so hat sie zwei Nullstellen.
    • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt auf der x-Achse, so hat sie eine Nullstelle.
    • Ist sie nach oben geöffnet und liegt zusätzlich der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse, so hat sie keine Nullstelle.
    Also hat eine quadratische Gleichung immer
    • entweder keine
    • oder eine
    • oder zwei Lösungen.

  • Untersuche die quadratische Gleichung auf Lösungen.

    Tipps

    Forme die Gleichung zunächst so um, dass sie die Form $x^2+px+q=0$ hat.

    Dies nennt man dann quadratische Gleichung in Normalform.

    Die Normalform lautet $x^2+x-6=0$.

    Die Lösungen sind ganzzahlig.

    Das Produkt der Lösungen ist $-6$.

    Du kannst $x^2+x-6$ in Faktoren zerlegen.

    Lösung

    Zunächst kann man die Gleichung $x^2+2x=x+6$ so umformen, dass sie in Normalform vorliegt:

    $\begin{align*} &&x^2+2x&=x+6&|&-x-6\\ &\Leftrightarrow&x^2+x-6&=0. \end{align*}$

    Es gilt $x^2+x-6=(x-2)\cdot(x+3)$.

    Aus dieser Darstellung kann man die beiden Lösungen ablesen, da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Die Lösungen sind also

    $x_1=2$ sowie $x_2=-3$.

    Man könnte diese auch durch probehaftes Einsetzen ermitteln.

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