Quadratische Gleichungen – Lösungsmenge 05:44 min

Hallo! Was ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung? Das ist schnell gesagt, nachdem du weißt, was Lösungen sind von Gleichungen, oder was Lösungen einer quadratischen Gleichung sind. Das sind die Zahlen, die die Gleichung richtig machen. Wenn man diese Zahlen also zu einer Menge zusammenfasst, dann ist das die Lösungsmenge. Da gibt es aber 1, 2 Besonderheiten bei den quadratischen Gleichungen hier, auf die ich mal hinweisen möchte. Wenn du das von linearen Gleichungen kennst, also Gleichungen, bei denen kein x² vorkommt, sondern nur das x einfach so da steht, dann kennst du vielleicht immer nur eine Lösung. Also es gibt nur eine Zahl, die dann immer die Gleichung löst. Vielleicht, bei linearen Gleichungen, hast du das so kennengelernt. Hier ist es ein bisschen anders, rein zufällig habe ich da mal 3 Gleichungen vorbereitet, und zwar die, die du hier sehen kannst. Die 1. Gleichung lautet x²-3x+2=0. Alle Gleichungen, die du hier siehst, stehen in Normalform hier. Wenn wir sie schon haben die Normalform, dann können wir sie auch benutzen. Möchte jetzt mal nicht sagen, wie ich darauf komme, auf diese Lösung oder diese Lösungen. Aber du kannst durch Nachrechnen hier bestätigen, dass diese obere Gleichung dann richtig ist, wenn man 1 oder wenn man 2 einsetzt. Das bedeutet als, dass in der Lösungsmenge die Zahlen 1 und 2 drin sind. Das hier ist ein L mit einem Doppelstrich, das steht für Lösungsmenge. Das Gleichheitszeichen steht für das Gleichheitszeichen. Das ist die Mengenklammer auf, das die Mengenklammer zu und in dieser Mengenklammer stehen 2 Zahlen, nämlich die 1 und die 2. Das ist das, was hier steht, und das ist das, was es bedeutet. Also man kann in diese Gleichung statt des x, 1 einsetzen. Dann steht da 1²-3×1+2=0, dann wird die Gleichung richtig. Man kann auch 2 einsetzten, dann wird die Gleichung auch richtig. Dann steht nämlich hier: 2²-3×2+2=0. Für 2 ist diese Gleichung auch richtig, also haben wir hier 2 Lösungen. Mehr Lösungen gibt es bei "vernünftigen" quadratischen Gleichungen nicht. Es gibt irgendwelche trivialen quadratischen Gleichungen, x²=x² oder so etwas, da kann man dann alles einsetzen. Davon möchte ich jetzt nicht reden. In der Regel, 2 Lösungen, ist das Maximum, was du erreichen kannst. Hier steht die Gleichung x²+4x+4=0. Da kannst du als einzige Zahl für die, die Gleichung richtig wird, -2 einsetzen.-2²+4×-2+4=0. Das ist richtig. Du kannst also hier nur -2 einsetzen und nichts anderes. Dass du hier nichts anderes einsetzen kannst, das behaupte ich jetzt so, das habe ich jetzt hier nicht begründet, nicht bewiesen. Aber darum soll es in diesem Film auch nicht gehen. In der Lösungsmenge hier, das ist wieder das L mit dem Doppelstrich. In der Lösungsmenge steht nur eine einzige Zahl, nämlich die -2. Hier geht die geschweifte Klammer auf, die geschweifte Klammer zu. Das ist eine Mengenklammer. Dann habe ich noch eine Gleichung vorbereitet, nämlich: x²-6x+10=0. Da gibt es noch eine Besonderheit. Diese Gleichung hat keine Lösungen, zumindest nicht innerhalb der reellen Zahlen. Da könnte man natürlich auf die Idee kommen, ja dann hat diese Gleichung auch keine Lösungsmenge. Ist aber falsch. Und zwar deshalb, weil, die Gleichung doch eine Lösungsmenge hat, nämlich: Ja, jetzt kommt es, das ist das L mit dem Doppelstrich, das steht für Lösungsmenge. Das Gleichheitszeichen kommt auch hier. Die geschweifte Klammer geht auf, ja und dann geht sie auch direkt wieder zu. Und zwar deshalb, weil, ja hier keine Zahl drinsteht. Ja, das ist die leere Menge. Wenn da keine Zahl drinsteht, ist es die leere Menge. Diese Gleichung hat ja keine reelle Zahl als Lösung. Deshalb schreiben wir nichts in die Mengenklammer rein. Was jetzt dazu führt, dass diese Gleichung zwar keine Lösung hat, aber eine Lösungsmenge. Diese Lösungsmenge ist da, sie ist nicht weg, aber sie ist leer. Das kann man albern finden, ja manchmal ist Mathematik auch albern. Nicht nur meine Filme, auch Mathematik ist manchmal albern. Natürlich hat das auch alles irgendwie einen Sinn, dass man sich so drauf geeinigt hat. Auch wenn die Gleichung keine Lösung hat innerhalb der reellen Zahlen, hat sie trotzdem eine Lösungsmenge, die dann, allerdings leer ist. Das hat einen Sinn, will ich hier gar nicht weiter drauf eingehen. Vielleicht gewöhnst du dich einfach so dran. Aber man kann das natürlich albern finden, sehe ich ein. Viel Spaß damit. Tschüss!