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Quadratische Gleichung – Definition

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichung – Definition
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichung – Definition

Herzlich Willkommen zum Video „ Quadratische Gleichung - Definition “. Wir klären in diesem Video, was eine quadratische Gleichung ist. Du solltest bereits wissen, was eine Gleichung ist und was man unter dem Potenzbegriff versteht. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form ax² + bx + c = 0 schreiben lässt. Hierbei ist es wichtig, dass a nicht null sein darf. Wie nennt man die Gleichung, wenn a = 0 ist? Richtig, lineare Gleichung! Was kann man nun mit einer quadratischen Gleichung machen? Wann braucht man eine quadratische Gleichung? Diese und viele weitere Fragen werden wir dir in den nächsten Videos beantworten. Viel Spaß!

Transkript Quadratische Gleichung – Definition

Hallo. Quadratische Gleichungen müssen wir definieren. Eine quadratische Gleichung ist zunächst mal eine Gleichung, deshalb darf ich hier schon mal ein Gleichheitszeichen hinschreiben. Hier kommt ein Beispiel einer quadratischen Gleichung hin, und wir haben eine Variable, die jetzt mal x heißen soll zum Beispiel, die kann auch anders heißen, das ist egal, die muss nicht x heißen, also ich nehm die Variable x hier und da schreib ich jetzt einen Exponenten dran, und zwar die 2. Also. Wir erinnern uns, es gibt Potenzen, nicht wahr. Die Potenz ist das Ganze hier, also ohne das Gleichheitszeichen, x2 ist eine Potenz. x ist die Basis, und diese Zahl hier oben, die heißt nicht etwa Hochzahl, ich weiß, manche Leute sagen das, Hochzahl, ich kann mich da nicht dran gewöhnen, also das heißt Exponent. Das hier, diese Zahl oben, diese 2, das ist ein Exponent und diese Potenz, also das x und der Exponent, die kommen jetzt hier in der Gleichung vor, und da können auch noch andere Sachen vorkommen wie zum Beispiel 5x oder so was gleich, ja weiß ich nicht, gleich -1 zum Beispiel. Das ist jetzt eine Gleichung, da kommen mehrere x'e vor und die höchste Potenz, ah, der höchste Exponent mein ich, die höchste Potenz kann man auch sagen, aber ich will es anders definieren hier, ähm, der höchste Exponent, das ist eine 2. Der höchste Exponent, der in dieser Gleichung vorkommt, ist eine 2, und deshalb ist das eine quadratische Gleichung. Anders gesagt: Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, deren höchster Exponent eine 2 ist. Ich weiß, das ist nicht ganz exakt, also wenn man es jetzt sag ich mal in der richtigen Mathematik vernünftig machen wollte, müsste man sagen ist ein Polynom 2. Grades, dazu müsste ich erst mal sagen, was Polynome sind, das ist viel allgemeiner, das möchte ich hier in dem Zusammenhang nicht machen, diese Definition, die ich hier vorgeschlagen habe, ist ein bisschen lax, das geb ich zu, aber sie ist völlig ausreichend hier in diesem Zusammenhang, wenn du also quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen behandelst, reicht es absolut aus zu wissen: Eine Gleichung, deren höchster Exponent eine 2 ist, das ist eine quadratische Gleichung. Nur mal als Beispiel, hier könnten noch mehrere x'e auftreten, zum Beispiel hier kann auch ein x2 stehen, obwohl dann einige Zuschauer sicher gleich sehen, da könnte man ja -x² auf beiden Seiten rechnen und dann ist das keine so richtige quadratische Gleichung mehr, denn dann ist der Exponent 2 weg und das x mit dem Exponenten 2 ist dann auch weg aus der Gleichung. Da möchte ich gar nicht weiter darauf eingehen, ob das jetzt eine scheinbar quadratische Gleichung ist oder nicht. Normalerweise braucht man das auch nicht so zu unterscheiden, zumindest nicht hier so in der Schulmathematik. Aber damit du nicht enttäuscht bist und hier nur eine scheinbar quadratische Gleichung steht, deshalb schreib ich hier noch eine 3 vor, dann kann man das x2 nicht einfach abziehen, und hier kann zum Beispiel auch noch ein x stehen, was weiß ich, 7x zum Beispiel, das ist völlig egal. Es können auch andere Zahlen noch davor kommen, aber der höchste Exponent muss auf jeden Fall eine 2 sein, und ein anderes Beispiel möcht ich auch noch zeigen. Eine quadratische Gleichung kann zum Beispiel sehr kurz sein wie diese hier: x2 = -1. Ähm, übrigens im Reellen gibt es für diese Gleichung x2 oder x hoch 2 = -1 keine Lösung, aber trotzdem ist es eine quadratische Gleichung, egal ob die Lösung vorhanden ist oder nicht. Und damit würd ich sagen, deutlicher kann ich es glaub ich nicht mehr machen, was eine quadratische Gleichung ist, deshalb ist der Film jetzt zu Ende, bis bald, tschüss.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. @SubhashK.:
    ja, das ist eine quadratische Gleichung.
    Allerdings könnte man dein Beispiel vereinfachen, indem man auf beiden Seiten x² subtrahiert. Dann bleibt nur ein normales x übrig und es wäre dann eine lineare Gleichung.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor fast 2 Jahren
  2. Also ist das eine quadratische gleichung
    x^2+5x=-1+x^2

    Von Deleted User 726498, vor fast 2 Jahren
  3. Hallo Don Ramiro,
    Martin Wabnik erklärt ja direkt nach diesem Beispiel, dass es nur scheinbar eine quadratische Gleichung ist, genau aus dem Grund, den du genannt hast.
    Anschließend verändert er diese zu
    3x² + 5x = -1 + x² + 7x, um diesen Fall zu umgehen.

    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Florian H., vor etwa 2 Jahren
  4. Wenn eine quadratische Gleichung eine Gleichung ist, die sich in die Form "ax² + bx + c = 0" bringen lässt, wobei a nicht 0 ist, wieso ist x^2 +5x = -1+ x^2?. Daraus wird doch 5x + 1 = 0, also eine lineare Gleichung?

    Von Don Ramiro, vor etwa 2 Jahren
  5. gut erklärt

    Von Siciliakatze, vor fast 5 Jahren
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Quadratische Gleichung – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichung – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu einer quadratischen Gleichung.

    Tipps

    $2^2$ liest man auch als „Zwei zum Quadrat“.

    $x^3-5x=x^2$ ist keine quadratische Gleichung.

    $x^2+5x=-1$ ist eine quadratische Gleichung.

    Lösung

    Was versteht man unter einer quadratischen Gleichung?

    Eine quadratische Gleichung ist

    • eine Gleichung,
    • in welcher die Variable $x$ den höchsten Exponenten $2$ hat.
    Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung wäre $x^2+5x=-1$.

    Der höchste Exponent, der in einer quadratischen Gleichung vorkommt, ist eine $2$.

  • Gib an, ob eine quadratische Gleichung vorliegt.

    Tipps

    In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variablen die $2$.

    Eine quadratische Gleichung ist auf jeden Fall eine Gleichung.

    Die Lösbarkeit der Gleichung ist für die Entscheidung, ob eine quadratische Gleichung vorliegt, nicht ausschlaggebend.

    Lösung

    In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variablen die $2$.

    Quadratische Gleichungen sind zum Beispiel:

    • $x^2+5x=-1$,
    • $x^2+5x=-1+x^2$,
    • $3x^2+5x=-1+x^2$ und
    • $x^2=-1$.
    Die Lösbarkeit der Gleichung ist für die Entscheidung, ob eine quadratische Gleichung vorliegt, nicht ausschlaggebend.

    Alle übrigen Gleichungen oder Ungleichungen sind keine quadratischen Gleichungen.

  • Entscheide, welche Gleichungen quadratisch sind.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung.

    Der höchste Exponent einer quadratischen Gleichung ist $2$.

    $x^2-3x=4x^5+3x^2$ ist keine quadratische Gleichung.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung ist

    • eine Gleichung und
    • hat als höchsten Exponenten die $2$.
    • Bei $x^2-2x+4=x^4-5x$ ist der höchste Exponent $4$. Dies ist keine quadratische Gleichung.
    • $x^2-5x\le x+3$ ist eine Ungleichung, aber keine Gleichung.
    • $x^2+2x-3=3x+5x^2-2$ ist eine quadratische Gleichung.
    • $2x+3x^2-5=3x+x^3-7x$ hat als höchsten Exponent die $3$. Dies ist keine quadratische Gleichung.

  • Stelle die quadratische Gleichung zum Fußballfeld auf.

    Tipps

    Wenn ein Rechteck die Seiten $a$ und $b$ hat, ist der Flächeninhalt gegeben durch $a\cdot b$.

    Das Fußballfeld hat die unbekannte Breite $x$. Das Feld ist $20~m$ länger als breit. Wie kann man diesen Zusammenhang in Form eines Produktes darstellen?

    Es gilt das Distributivgesetz:

    $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Lösung

    Das Fußballfeld ist ein Rechteck mit der Breite $x$ und einer Länge, welche um $20~m$ größer ist als die Breite. Die Maßeinheit - hier Meter - wird in quadratischen Gleichungen üblicherweise weggelassen.

    Die Länge kann somit durch $x+20$ beschrieben werden. Der Flächeninhalt des Fußballfeldes ist gegeben durch $x\cdot(x+20)=x^2+20x$. Dabei haben wir $x$ mit der Klammer ausmultipliziert.

    Da der Flächeninhalt des Fußballfeldes $8000~m^2$ betragen soll, können wir diese beiden Informationen zusammenbringen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung $x^2+20x=8000$.

  • Bestimme die richtigen Aussagen zu quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie sowohl in der Basis als auch im Exponenten übereinstimmen.

    $x^2+5x=-1$ ist eine quadratische Gleichung.

    Wenn zu einer quadratischen Gleichung links oder rechts des Gleichheitszeichens Terme mit der Variablen addiert oder subtrahiert werden, deren Exponenten höchstens $2$ sind, so bleibt dies eine quadratische Gleichung.

    Lösung

    Die Gleichung

    $3x^2+5x=-1+x^2+7x$

    ist eine quadratische Gleichung:

    • Sie ist eine Gleichung $\surd$.
    • Der höchste Exponent in dieser Gleichung ist $2$ $\surd$.
    Ob die Gleichung lösbar ist und wie sie gelöst wird, hat keinen Einfluss auf die Bezeichung.

  • Leite die quadratische Gleichung her.

    Tipps

    Wie kannst du das Vierfache einer Zahl als Produkt schreiben?

    Das Vierfache von $3$ ist $12$.

    Ordne die Terme nach der Größe der Exponenten.

    Es geht bei dieser Aufgabe nicht um die Lösbarkeit.

    Lösung

    Das Vierfache der unbekannten Zahl $x$ ist durch $4\cdot x$ gegeben. Diese Zahl, verringert um die Hälfte des Quadrates der Zahl, ist $4x-\frac12x^2=-0,5x^2+4x$.

    Die „Gleichheit“ wird ausgedrückt durch „$=$“.

    Das Quadrat dieser Zahl, verringert um $16$, führt uns zu $x^2-16$.

    Insgesamt erhält man also die quadratische Gleichung $-0,5x^2+4x=x^2-16$.

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