Punkt-vor-Strich-Regel (Übungsvideo)

Punkt-vor-Strich-Regel (Übungsvideo) Übung

• Bestimme alle Rechenzeichen, die zu einer Punktrechnung gehören.

  Tipps

  Punktrechnung heißt so, weil ihre Rechenzeichen aus Punkten bestehen.

  Welche der Rechenzeichen $+~,~-~,~\cdot~,~:$ bestehen aus Punkten?

  Lösung

  Rechts siehst du die Terme aus der Aufgabe. Die blau markierten Rechenzeichen sind die richtigen Antworten. Diese sind Punktrechnungen. Zu den Punktrechnungen gehören die Multiplikation und die Division.

  Bei der Multiplikation wird das Rechenzeichen $\cdot$ verwendet. Links und rechts davon stehen die beiden Faktoren und das Ergebnis ist ein Produkt. Bei der Gleichung $7 \cdot 4 = 28$ zum Beispiel sind $7$ und $4$ die Faktoren und $28$ ist das Produkt.

  Zur Division gehört das Rechenzeichen $:$. Links vom Rechenzeichen steht hier der Dividend. Dieser wird durch den Divisor geteilt, der rechts steht. Heraus kommt dann ein Quotient. Bei der Gleichung $30 : 6 = 5$ ist $30$ der Dividend und $6$ der Divisor. Das Ergebnis, also der Quotient daraus, ist $5$.

• Beschreibe, aus welchen Grundrechenarten der Term besteht und wie du ihn löst.

  Tipps

  Das Rechenzeichen $\cdot$ benutzt man bei der Multiplikation. Bei der Division benutzt man das Rechenzeichen :

  Faktor $\cdot$ Faktor = ?

  Wie lautet das Ergebnis einer Division?

  Lösung

  „$6 \cdot 3$ ist ein Produkt. Die beiden Zahlen $6$ und $3$ sind dabei die beiden Faktoren. $14 : 2$ ist ein Quotient, wobei $14$ der Dividend und $2$ der Divisor ist.“

  Bei der Multiplikation gilt: Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt. Die beiden Zahlen haben den gleichen Namen, weil man Faktoren vertauschen kann: Sowohl $6 \cdot 3$ als auch $3 \cdot 6$ ergeben $18$. Bei der Division haben die beiden Zahlen unterschiedliche Namen. Hier gilt: Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient. Die Reihenfolge ist hier wichtig: $6 : 3 = 2$, aber $3 : 6$ ergibt nicht $2$.

  „Da ja Punktrechnung vor Strichrechnung gilt und die Multiplikation und die Division Punktrechnungen sind, müssen diese also vor der Strichrechnung, hier der Addition, ausgeführt werden.“

  Um dir die Regel einzuprägen, kannst du dir zum Beispiel um alle Strichrechnungen eine Klammer denken: $(6 \cdot 3) + (14 : 2)$. Vielleicht siehst du so besser, dass du die Multiplikation und die Division zuerst ausführen musst. Die zweite Strichrechnung neben der Addition ist übrigens die Subtraktion.

  „Die richtige Rechnung ist also: $6 \cdot 3 + 14 : 2 =$ $18$ $+$ $7$ $=$ $25$.“

  Zuerst die Punktrechnungen: $6 \cdot 3 = 18$ und $14 : 2 = 7$. Das zusammenaddiert ergibt $25$.

• Bestimme, in welcher Reihenfolge der Term gelöst werden muss.

  Tipps

  Bevor du Strichrechnungen durchführst, musst du erst alle Punktrechnungen beseitigen.

  Wenn du den Term $14 : 2 \cdot 3$ lösen willst, was rechnest du dann zuerst? Richtig, $14 : 2$, weil die Division links steht.

  Lösung

  Die Aufgabe lautet $13 - 2 + 3 \cdot 4 : 6 \cdot 5 - 1$.

  Der hervorgehobene Teil besteht aus Punktrechnungen. Diese müssen also zuerst berechnet werden. Da hier mehrere Punktrechnungen hintereinander vorkommen, werden diese nacheinander von links nach rechts gelöst. Zuerst wird also $3 \cdot 4$ berechnet. Der erste Schritt lautet also:

  $= 13 - 2 + 12 : 6 \cdot 5 - 1$.

  Als nächstes wird die Division $12 : 6$ berechnet und das Ergebnis anschließend mit $5$ multiplizert.

  $= 13 - 2 + 2 \cdot 5 - 1$

  $= 13 - 2 + 10 - 1$

  Wie du siehst, hat sich der Ausdruck $3 \cdot 4 : 6 \cdot 5$ in drei Schritten zu $10$ vereinfacht. Nun sind nur noch Strichrechnungen übrig. Diese werden auch von links nach rechts gelöst:

  $= 11 + 10 - 1$

  $= 21 - 1$

  $= 20$

  Das Ergebnis des Rechenausdrucks $13 - 2 + 3 \cdot 4 : 6 \cdot 5 - 1$ ist also $20$.

• Leite aus den Sätzen die richtigen Terme ab und löse diese.

  Tipps

  Beim Addieren benutzt du das Rechenzeichen $+$, beim Subtrahieren $-$.

  Überlege, bei welcher Grundrechenart das Ergebnis ein Produkt und bei welcher es ein Quotient ist.

  Welches Rechenzeichen benutzt du zum Dividieren? Welches zum Multiplizieren?

  Lösung

  Um die Aufgabe zu lösen, muss man mit den Grundrechenarten umgehen können. In der folgenden Übersicht sind alle Begriffe zu den Grundrechenarten aufgelistet:

  Addition: Summand $+$ Summand $=$ Summe

  Subtraktion: Minuend $-$ Subtrahend $=$ Differenz

  Multiplikation: Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt

  Division: Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient

  1) Addiere zu dem Produkt aus $3$ und $5$ den Quotienten aus $21$ und $3$. Subtrahiere davon $6$:

  Hier soll zu dem Produkt aus $3$ und $5$, also $3 \cdot 5$ der Quotient aus $21$ und $3$, also $21 : 3$, addiert werden. Das sieht dann so aus: $3 \cdot 5 + 21 : 3$. Davon soll $6$ subtrahiert werden. Zur Subtraktion gehört das Minuszeichen. Der gesamte Term sieht dann so aus: $3 \cdot 5 + 21 : 3 - 6$. Unter Anwendung der Punkt-vor-Strich-Regel wird das Ergebnis dann folgendermaßen berechnet:

  $3 \cdot 5 + 21 : 3 - 6 = 15 + 7 - 6 = 22 - 6 = 16$.

  2) Dividiere $18$ durch $6$. Addiere dazu $13$. Multipliziere die Faktoren $3$ und $5$ und subtrahiere das Ergebnis vom vorherigen:

  Die ersten beiden Anweisungen, dividiere $18$ durch $6$ und addiere dazu $13$, führen zu folgendem Term: $18 : 6 + 13$. Dann sollen die Faktoren $3$ und $5$ multipliziert werden: $3 \cdot 5$. Dieses Produkt soll von dem ersten Teil des Terms subtrahiert werden. Dazu muss wieder das Minuszeichen verwendet werden. Insgesamt lautet der Term dann: $18 : 6 + 13 - 3 \cdot 5$. Laut Punkt-vor-Strich-Regel müssen die Division ganz links und die Multiplikation ganz rechts zuerst durchgeführt werden:

  $18 : 6 + 13 - 3 \cdot 5 = 3 + 13 - 15$.

  Die beiden Strichrechnungen, die Addition und die Subtraktion, werden dann von links nach rechts gelöst. Zuerst wird also mit $+$ gerechnet, dann mit $-$. Das Ergebnis des Terms ist dann:

  $3 + 13 - 15 = 16 - 15 = 1$.

• Gib an, welche Terme Friedjof richtig berechnet hat.

  Tipps

  Die Punkt-vor-Strich-Regel besagt, dass Punktrechnungen beim Berechnen eines Terms vor den Strichrechnungen gerechnet werden.

  Die Multiplikation, also das Rechnen mit $\cdot$, ist eine Punktrechnung.

  Sind $+$ und $-$ Punktrechnungen oder Strichrechnungen?

  Lösung

  Die Punkt-vor-Strich-Regel besagt, dass man in Termen zuerst alle Punktrechnungen durchführt und erst danach alle Strichrechnungen. Punktrechnungen sind die Multiplikation und Division. Addition und Subtraktion sind hingegen Strichrechnungen.

  Die Regel sagt dir, dass du zum Beispiel bei dem Term $5 + 2 \cdot 3$ zuerst das Produkt $2 \cdot 3$ berechnest. Das ist $6$. Damit lautet das richtige Ergebnis: $5 + 2 \cdot 3 = 5 + 6 = 11$.

  Bei der Aufgabe $6 - 2 + 3 \cdot 4$ berechnest du zuerst das Produkt $3 \cdot 4$ zu $12$. Den entstehenden Term löst du von links nach rechts. Das bedeutet, dass du zuerst die Differenz bildest, da sie weiter links steht. Erst dann addierst du dazu $12$.

  $6 - 2 + 3 \cdot 4 = 6 - 2 + 12 = 4 + 12 = 16$.

  Bei $4 \cdot 6 + 5$ rechnest du wieder erst das Produkt aus: $4 \cdot 6 = 24$. Die gesamte Aufgabe berechnet sich dann zu: $4 \cdot 6 + 5 = 24 + 5 = 29$.

• Ermittle die Ergebnisse der Aufgaben und bringe sie in die richtige Reihenfolge.

  Tipps

  Wandle Textaufgaben zunächst in Rechenaufgaben um.

  Aus „Addiere zu dem Quotienten aus $10$ und $2$ das Produkt aus $3$ und $4$“ wird $10 : 2 + 3 \cdot 4 = 5 + 12 = 17$.

  Hast du mehrere Punktrechnungen nebeneinander, dann löse diese von links nach rechts, wie in $6 \cdot 5 : 3 \cdot 2 = 30 : 3 \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$.

  Lösung

  Hier sind die Lösungen der Aufgaben in aufsteigender Reihenfolge:

  1) Addiere zu dem Produkt aus $2$ und $8$ den Quotienten aus $21$ und $3$.

  Zunächst ist aus der Textaufgabe eine Rechenaufgabe zu erstellen:

  Produkt aus $2$ und $8$ $\rightarrow$ $2 \cdot 8 = 16$

  Quotient aus $21$ und $3$ $\rightarrow$ $21 : 3 = 7$

  Diese sollen addiert werden. Die Aufgabe und deren Lösung lautet also:

  $2 \cdot 8 + 21 : 3 = 16 + 7 = 23$.

  2) $3 \cdot 4 \cdot 5 - 16 : 4 \cdot 9$

  Hier sollen zwei Terme subtrahiert werden, die beide jeweils aus mehreren Punktrechnungen bestehen. Diese sind von links nach rechts zu lösen. Man beginnt also mit dem am weitesten links stehenden Rechenzeichen:

  $3 \cdot 4 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$

  und

  $16 : 4 \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36$.

  Diese beiden Terme waren durch ein Minuszeichen getrennt. Sie müssen also zum Schluss voneinander abgezogen werden:

  $3 \cdot 4 \cdot 5 - 16 : 4 \cdot 9 = 12 \cdot 5 - 4 \cdot 9 = 60 - 36 = 24$.

  3) Bilde den Quotienten aus $50$ und $5$ sowie das Produkt aus $4$ und $7$ und addiere die beiden Ergebnisse. Subtrahiere anschließend $13$.

  Wieder ist aus der Textaufgabe zunächst eine Rechenaufgabe zu erstellen:

  Quotienten aus $50$ und $5$ $\rightarrow$ $50 : 5 = 10$

  und

  Produkt aus $4$ und $7$ $\rightarrow$ $4 \cdot 7 = 28$.

  Diese sollen addiert werden und anschließend soll $13$ subtrahiert werden. Die vollständige Aufgabe lautet hier also:

  $50 : 5 + 4 \cdot 7 - 13 = 10 + 28 - 13$ .

  Die Strichrechnungen werden wieder von links nach rechts ausgeführt und das ergibt:

  $10 + 28 - 13 = 38 - 13 = 25$.

  4) $3 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 - 6 : 2$

  Bei dieser Aufgabe sind wie gewohnt zuerst die beiden Multiplikationen und die Division durchzuführen. Die Aufgabe wurde so aufgeschrieben, dass die Plus- und Minuszeichen näher bei den Zahlen stehen als die beiden Punktrechenzeichen $\cdot$ und $:$. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Additionen und die Subtraktion zuerst ausgeführt werden sollen. Ganz im Gegenteil: Die Punkt-vor-Strich-Regel gilt natürlich auch hier. So wird die Aufgabe richtig gelöst:

  $3 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 - 6 : 2 = 3 + 6 + 20 - 3 = 9 + 20 - 3 = 29 - 3 = 26$.