Prozent und Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Prozent und Dezimalbrüche ineinander umwandeln Übung

• Vergleiche die Prozente und Dezimalbrüche.

  Tipps

  Multipliziere die Prozentzahl mit $\frac{1}{100}$, um den zugehörigen Dezimalbruch zu erhalten.

  Um aus dem Dezimalbruch die Prozentzahl zu bestimmen, kannst du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben.

  $123\%$ ist derselbe Bruchteil wie $1,23$.

  Lösung

  Um einen Dezimalbruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, musst du nur den Dezimalbruch mit $100$ multiplizieren und das Prozentzeichen hinzufügen. Denn der Prozentsatz $p\%$ entspricht dem Bruch $\frac{p}{100}$ bzw. der Division $p:100$. Das Ergebnis dieser Division ist der gegebene Dezimalbruch.

  Du erhältst dann folgende Prozentsätze zu den gegebenen Dezimalbrüchen:

  • $0,5 = 50\%$

  Denn der Dezimalbruch $0,5$ ist dasselbe wie $\frac{5}{10} = \frac{50}{100}$. In dieser letzten Darstellung erkennst du im Zähler die Prozentzahl, denn der Nenner ist $100$.

  • $0,99 = 99\%$

  Denn die Verschiebung des Kommas in $0,99$ um zwei Stellen nach rechts ergibt $99$, die gesuchte Prozentzahl. Zur Angabe des Prozentsatzes musst du nur noch das Prozentzeichen ergänzen.

  • $1,5 = 150\%$

  Denn die Multiplikation mit $100$ ergibt $1,5 \cdot 100 = 150$. Dies ist die gesuchte Prozentzahl.

  • $0,1 = 10\%$

  Denn die Verschiebung des Kommas in $0,1$ um eine Stelle nach rechts ergibt $1$. Die Verschiebung des Kommas um eine weitere Stelle nach rechts entspricht der Multiplikation mit $10$ und ergibt $10$. Das ist wieder die gesuchte Prozentzahl.

• Beschreibe die Umwandlung von Prozentangaben und Dezimalbrüchen.

  Tipps

  Der Prozentsatz $p\%$ besteht aus der Prozentzahl $p$ und dem Prozentzeichen $\%$.

  Das Prozentzeichen entspricht der Multiplikation mit $\frac{1}{100}$.

  Die Prozentzahl ist um den Faktor $100$ größer als der zugehörige Dezimalbruch.

  Lösung

  Neben (echten oder gemischten) Brüchen eignen sich auch Dezimalbrüche und Prozentsätze zur Darstellung von Bruchteilen. Um mit diesen Darstellungen gut umgehen zu können, ist es nützlich, die Darstellungen ineinander umzurechnen. Einen endlichen Dezimalbruch kannst du immer als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und einer Zehnerpotenz im Nenner darstellen. Ein Prozentsatz entspricht einem Bruch mit der Prozentzahl im Zähler und dem Nenner $100$. Um einen Dezimalbruch in einen Prozentsatz umzurechnen, kannst du zuerst mit $100$ multiplizieren. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist nicht bereits der gesuchte Prozentsatz, sondern erst die Prozentzahl. Du musst noch das Prozentzeichen anfügen, um die Angabe zu vervollständigen.

  Statt zu rechnen, kannst du auch in dem Dezimalbruch das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben, um die Prozentzahl zu erhalten. Wieder musst du für eine korrekte Darstellung das Prozentzeichen anfügen. Bei der Umwandlung des Dezimalbruchs $3,5674$ erhältst du den Prozentsatz:

  $3,5674 = 356,74 \%$

  Ein Prozentsatz entspricht einem Bruch mit der Prozentzahl im Zähler und mit dem Nenner $100$. Der Bruchstrich entspricht einem Geteiltzeichen. Das kannst du verwenden, um einen Bruch oder einen Prozentsatz in einen Dezimalbruch umzuwandeln: Du dividierst den Zähler durch den Nenner. Willst du also einen gegebenen Prozentsatz in einen Dezimalbruch umwandeln, dividierst du die Prozentzahl durch $100$. Das Prozentzeichen lässt du einfach weg.

  Statt zu rechnen, kannst du auch wieder das Komma verschieben. Hier verschiebst du das Komma in der Prozentzahl um zwei Stellen nach rechts.

  Für den Prozentsatz $0,1\%$ erhältst du dann folgende Umrechnung:

  $0,1 = \frac{0,1}{100} = 0,001$

• Bestimme die Prozente oder Dezimalbrüche.

  Tipps

  Du kannst jeden Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$ darstellen.

  Dividierst du bei einem Bruch schriftlich den Zähler durch den Nenner, so erhältst du als Ergebnis der Rechnung eine Darstellung des Bruches als Dezimalbruch.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $567,8\% = \frac{567,8}{100} = 5,678$

  Lösung

  Du kannst jeden endlichen Dezimalbruch in einen Prozentsatz umrechnen, indem du mit $100$ multiplizierst und das Prozentzeichen hinzufügst. Umgekehrt erhältst du aus einem Prozentsatz den zugehörigen Dezimalbruch, indem du die Prozentzahl durch $100$ dividierst. Statt die Multiplikation mit bzw. Division durch $100$ auszurechnen, kannst du auch jeweils das Komma um zwei Stellen nach rechts bzw. links verschieben.

  So erhältst du folgende Gleichungen:

  • $0,345 = 34,5\%$

  Denn durch Verschiebung des Kommas von $0,345$ um zwei Stellen nach rechts erhältst du $34,5$. Dies ist die Prozentzahl des gesuchten Prozentsatzes.

  • $0,0345 = 3,45\%$

  Denn die Multiplikation des Dezimalbruchs mit $100$ ergibt die Prozentzahl $0,0345 \cdot 100 = 3,45$.

  • $12,3\% = 0,123$

  Hier dividierst du die Prozentzahl $12,3$ durch $100$, um den Dezimalbruch zu bestimmen: $12,3 : 100 = 0,123$.

  • $0,123\% = 0,00123$

  Für die Umrechnung kannst du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben und Nullen einfügen. So ermittelst du den gesuchten Dezimalbruch.

• Vergleiche die Brüche, Dezimalbrüche und Prozentsätze.

  Tipps

  Einen Prozentsatz kannst du als Bruch mit dem Nenner $100$ darstellen:

  $p\% = \frac{p}{100}$

  Der zugehörige Dezimalbruch ist das Ergebnis der Division $p:100$.

  Hier ist eine Beispielrechung:

  $0,05 = 5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$

  Lösung

  Jeden gegebenen Prozentsatz kannst du in einen Bruch mit dem Nenner $100$ und der Prozentzahl im Zähler umwandeln. Diesen Bruch kannst du evtl. noch kürzen. Den zugehörigen Dezimalbruch erhältst du, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst.

  Zu einem gegebenen Dezimalbruch kannst du den Prozentsatz bestimmen, indem du mit $100$ multiplizierst und das Prozentzeichen ergänzt. Du kannst dem Dezimalbruch auch einen Bruch mit dem Nenner $1$ zuordnen: Der Zähler ist dann nicht ganzzahlig, sondern der Dezimalbruch selbst. Um den Zähler ganzzahlig zu machen, kannst du mit einer Zehnerpotenz erweitern. Dabei verschiebst du das Komma im Zähler ganz nach rechts und fügst im Nenner für jede Stelle, um die du das Komma im Zähler verschoben hast, eine Null hinzu. Diesen Bruch kannst du wieder kürzen.

  Einen gegebenen Bruch kannst du so erweitern oder kürzen, dass im Nenner $100$ steht. Der Zähler der Erweiterung ist dann die gesuchte Prozentzahl. Dividierst du den Zähler durch den Nenner, erhältst du die zugehörige Dezimalzahl.

  Auf diese Weise findest du folgende Zuordnungen:

  $\frac{4}{25}$

  • $=\frac{16}{100}$ (durch Erweiterung mit $4$)
  • $=0,16$, denn: $4:25 = 0,16$
  • $=16\%$, denn: $\frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 16\%$

  $0,04$

  • $=4\%$, denn: $0,04 \cdot 100 = 4$
  • $=\frac{4}{100}$, denn: $0,04 = \frac{0,04}{1} = \frac{0,4}{10} = \frac{4}{100}$
  • $=\frac{1}{25}$, denn: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

  $\frac{275}{100}$

  • $=\frac{11}{4}$, denn: $11:4 = 2,75 = \frac{2,75}{1} = \frac{275}{100}$
  • $=275\%$, denn: Nenner ist $100$, der Zähler ist also die Prozentzahl
  • $=2,75$, denn: $275:100 = 2,75$

  $28\%$

  • $=\frac{28}{100}$, denn: Prozentsatz entspricht einem Bruch mit der Prozentzahl im Zähler und dem Nenner $100$
  • $=0,28$, denn: Verschiebung des Kommas in der Prozentzahl $28$ um zwei Stellen nach links ergibt den Dezimalbruch $0,28$
  • $=\frac{7}{25}$, denn: $28\% = \frac{28}{100} = \frac{7}{25}$ (durch Kürzen mit $4$)

• Benenne die richtigen Aussagen über Prozentsätze und Dezimalbrüche.

  Tipps

  Drei Aussagen sind korrekt.

  Jeder Dezimalbruch entspricht einem Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner und einer ganzen Zahl im Zähler.

  $0,5$ ist dasselbe wie $\frac{1}{2}$ oder $50\%$.

  Der Prozentsatz $33\%$ besteht aus der Prozentzahl $33$ und dem Prozentzeichen $\%$. Die Prozentzahl $33$ allein ist kein Prozentsatz.

  Lösung

  Ein Prozentsatz entspricht einem Bruch mit dem Nenner $100$ und der Prozentzahl im Zähler. Der Bruchstrich steht für ein Geteiltzeichen. Der Bruch $\frac{p}{100}$ entspricht also dem Prozentsatz $p\%$. Rechnest du die Division $p:100$ aus, so findest du als Ergebnis den zugehörigen Dezimalbruch.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Ein Prozentsatz entspricht einem Bruch mit dem Nenner $100$.

  Der Prozentsatz $p\%$ steht genau für den Bruch $\frac{p}{100}$.

  • Der Prozentsatz $99\%$ entspricht dem Dezimalbruch $0,99$.

  Denn du kannst den Dezimalbruch ausrechnen, indem du in dem Bruch $99\% = \frac{99}{100}$ den Zähler durch den Nenner dividierst: $99:100 = 0,99$.

  • Der Dezimalbruch $0,5$ steht für den Bruch $\frac{1}{2}$. Dies entspricht dem Prozentsatz $50\%$.

  Du kannst die Prozentzahl ausrechnen, indem du den Dezimalbruch mit $100$ multiplizierst: $0,5 \cdot 100 = 50$. Dies ist die Prozentzahl. Die Gleichung mit dem Prozentsatz lautet dann $0,5 = 50\%$. In der Darstellung als Bruch kannst du kürzen und erhältst auch $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Bei der Umwandlung eines Prozentsatzes in einen Dezimalbruch musst du nur das Prozentzeichen weglassen.

  Stattdessen musst du auch noch die Prozentzahl durch $100$ dividieren, um den korrekten Dezimalbruch zu erhalten.

  • Der Dezimalbruch $1$ entspricht dem Prozentsatz $1\%$.

  Der Dezimalbruch $1$ steht für ein Ganzes, was dasselbe ist wie $100\%$.

• Bestimme die Prozente und Dezimalbrüche.

  Tipps

  Beschreibe jeden Bruchteil zuerst als Bruch und bestimme daraus den Dezimalbruch und den Prozentsatz.

  Der Bruch $\frac{37}{50}$ entspricht dem Dezimalbruch $37:50 = 0,74$ und dem Prozentsatz $74\%$.

  Lösung

  Um die Aufgabe zu lösen, kannst du jeden der Anteile als Bruch schreiben. Teilst du bei einem Bruch schriftlich den Zähler durch den Nenner, so erhältst du den zugehörigen Dezimalbruch. Multiplizierst du diesen mit $100$, findest du die Prozentzahl. Ergänze noch das Prozentzeichen, um die Darstellung als Prozentsatz zu erhalten:

  Melone

  Die Melone wird in $12$ Stücke geteilt. Jeder der $4$ Räuber erhält $12:4 = 3$ Stücke. Das entspricht einem Anteil von $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ der ganzen Melone. Du rechnest $1:4= 0,25$ und $0,25 = 25\%$.

  Ananas

  $6$ Ananas werden auf $5$ Räuber verteilt. Das macht einen Anteil von $\frac{6}{5}$ Ananas für jeden. Du rechnest $6:5 = 1,2$ und $1,2 \cdot 100 = 120$, also $0,12 = 120\%$.

  Wein

  Der Anteil jedes Räubers, bezogen auf ganze Kisten, beträgt $\frac{27}{20}$. Du rechnest $27:20 = 1 \text{ Rest }7$. Dann ist $\frac{27}{20} = 1\frac{7}{20}$. Außerdem ist $\frac{7}{20} = 7:20 = 0,35$. Also ist $\frac{27}{20} = 1+0,35 = 1,35 = 135\%$.