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Proportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen) 06:16 min

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Transkript Proportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen)

Hallo. Willkommen zum Thema Zuordnungen, Teil 1. In diesem Video werden proportionale Zuordnungen und der dazugehörige Dreisatz erklärt. Nach dem Film weißt du: 1. was eine Zuordnung ist 2. wann man von einer direkten Proportionalität spricht 3. wie man den Dreisatz anwendet   Kommen wir zum 1. Punkt. Was sind überhaupt Zuordnungen? Zuordnungen beschreiben Beziehungen zwischen Größen aus 2 Mengen. Dabei wird einem konkreten Wert x ein anderer Wert y zugeordnet. Ein Beispiel. Für den x-Wert nehmen wir das Gewicht, für den y-Wert den Preis. 1 kg Äpfel kosten 2 Euro. Dem Gewicht von 1 kg wird ein Preis von 2 Euro zugeordnet. Noch ein Beispiel. Schülern wird die Haarfarbe zugeordnet. Jenny hat die Haarfarbe rot. Tommy hat die Haarfarbe blau. Zuordnungen kann man durch Tabellen, verschiedene Diagramme, z. B. Säulendiagramm oder Kreisdiagramm, oder als Punkte in einem Koordinatensystem darstellen. Verbindet man die Punkte im Koordinatensystem durch eine Linie, erhält man den Graph einer Zuordnung.   Kommen wir nun zum 2. Thema. Die direkte Proportionalität. Ein Beispiel. Nina geht in ein Café und bestellt sich 1 Stück Kuchen. Dafür bezahlt sie 2 Euro. Weil der Kuchen so lecker schmeckt, bestellt sie sich noch ein Stück und bezahlt auch für dieses Stück weitere 2 Euro. Du siehst die Anzahl der Kuchen hat sich verdoppelt, die Anzahl der Eurostücke aber auch. Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Marco geht in den Supermarkt und kauft 1 kg Äpfel. Dafür bezahlt er 2 Euro. Würde er nur 1/2 kg kaufen, also die Hälfte, würde er auch die Hälfte bezahlen, nur 1 Euro. Wie sieht nun der Graph einer proportionalen Zuordnung aus? Gehen wir von der folgenden Situation aus. Tommy hat zu seiner Party Freunde eingeladen und möchte sie gerne mit einem selbst gemachten Cocktail überraschen. Laut Rezept gehört da auch Orangensaft hinein. Die Menge jedoch ist in ml und für 1 Portion angegeben. Um zu wissen, wie viel Orangensaft er Ingesamt braucht, damit er einkaufen gehen kann, muss er eine kleine Rechnung durchführen. Ihm ist bekannt, dass er für 1 Portion 150 ml Orangensaft braucht. Also braucht er für 2 Portionen die doppelte Menge. Das wären 300 ml. Für 4 Portionen braucht er das Vierfache der Menge. In diesem Fall 600 ml. Verbindet man die Punkte, so erhält man eine Halbgerade, die im Ursprung beginnt. Halten wir noch mal fest: Eine Größe ist proportional zu einer anderen Größe, wenn gilt: Verdoppelt oder verdreifacht sich die 1. Größe, so verdoppelt oder verdreifacht sich auch die 2. Größe. Wird die 1. Größe halbiert oder gedrittelt, so halbiert oder drittelt sich auch die 2. Größe. Proportionale Zuordnungen nennt man auch "Je-mehr-desto-mehr-Zuordnungen". Überlege dir, wie viel ml Orangensaft Tommy für 3,5 Portionen braucht. Wir könnten natürlich auch an dem Graphen ablesen. Der Wert aus dem Graphen lässt sich nur schätzen. Wie können wir aber den genauen Wert ermitteln?   Hier hilft uns der Dreisatz. Übertragen wir die Werte in eine Wertetabelle. Wir haben pro Portion 150 ml Orangensaft. Für 2 Portionen bräuchte man das Doppelte, 300 ml. Daraus können wir schließen, dass wir für 3,5 Portionen das 3,5-Fache der Ausgangsmenge brauchen. Machen wir eine kleine Nebenrechnung. Daraus können wir schließen, dass wir für 3,5 Portionen das 3,5-Fache der Ausgangsmenge brauchen. 150×3,5 (weil das 3,5-Fache)  = 525. Die Antwort lautet: Für 3,5 Portionen brauchen wir 525 ml Orangensaft. Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: 7 Bananen kosten 2,10 Euro. Was kosten 5 Bananen? Um x zu berechnen gibt es 2 Lösungswege. Weg Nr. 1. Als Erstes berechnen wir, was uns 1 Banane kostet. Um auf die 1 zu kommen teilen wir 7 Bananen durch 7. Das Gleiche gilt für den Preis. Wir müssen 1/7 des Preises errechnen, weil 1 Banane kostet nur 1/7. Wir teilen 2,10 Euro durch 7 und erhalten 30 Cent. Eine Banane kostet also 30 Cent. Da wir jedoch den Preis für 5 Bananen wissen wollen, müssen wir 30 Cent × 5 rechnen. Wir erhalten 1,50 Euro. Der Antwortsatz lautet: 5 Bananen kosten 1,50 Euro. Bleiben wir bei dem Beispiel. Nur diesmal möchte ich gerne wissen, wie viel Bananen ich für 3 Euro kaufen kann. An dieser Stelle zeige ich dir den 2. Lösungsweg. Die beiden Zahlen, die sich kreuzweise gegenüberstehen werden miteinander malgenommen und durch die restliche 3. Zahl wird geteilt. Also (7×3)/2,10. Man erhält den Wert 10. Der Antwortsatz lautet: Für 3 Euro kann ich mir 10 Bananen kaufen. Da beide Wege zum selben Ergebnis führen, suche dir einen aus der dir am einfachsten erscheint. Danke und bis zum nächsten Mal.

76 Kommentare
  1. Default

    EhrenFRAU

    Von Cornelia Pep, vor 3 Monaten
  2. Default

    Danke schön dank ihnen habe ich im letzten Test ne 2geschriebrn
    (:

    Von Sascha Matzke, vor 4 Monaten
  3. Default

    sehr hilfreichs Video ☺️ VielenDANK!👍👍👍

    Von Joerglempke, vor 4 Monaten
  4. Default

    Vielen Dank!!!
    Habe es richtig gut verstanden
    Deshalb 5 Sterne Bewertung

    Von Lol l., vor 5 Monaten
  5. Jeanne

    Hllo Luis W., schau dir einmal dieses Video an, da geht es genau um proportionale Zuordnungen, berechnet mit dem Dreisatz:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/antiproportionale-zuordnungen-einfuehrung-basiswissen?topic=985
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 5 Monaten
  1. Default

    trodtzdem danke :D

    Von Luis W., vor 5 Monaten
  2. Default

    leider gibt es kein Video das nur für den Dreisatz bei antiproportionalen ZUORDNUNGEN gibt

    Von Luis W., vor 5 Monaten
  3. Default

    gut

    Von Luis W., vor 5 Monaten
  4. Default

    Super Video! Dankeschön

    Von Eda Y., vor 6 Monaten
  5. Default

    Danke! Ich habe es endlich verstanden :).

    Von Janludwig1999, vor 6 Monaten
  6. Jeanne

    In dem Fall wäre das Video "Proportionale Zuordnungen erkennen" vielleicht hilfreich für dich: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/proportionale-zuordnungen-erkennen?topic=985
    Wenn du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat hast, kannst du auch dort um Hilfestellung bei konkreten Fragen oder Aufgaben bitten.
    Viel Erfolg beim Lernen!

    Von Jeanne O., vor 7 Monaten
  7. Jeanne

    @Jeremy A.:
    Wobei genau geht es denn bei deinen Aufgaben? Sollst du sagen, ob eine Zuordnung proportional oder nicht-proportional ist?
    Ich hoffe, dass wir dir noch weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 7 Monaten
  8. Default

    hallo irgendwie ist das anderswir sollen sagen was propotional ist

    Von Jeremy A., vor 7 Monaten
  9. Jeanne

    @N2018:
    Ja, das hast du genau richtig verstanden! So ist das bei allen proportionalen Zuordnungen! :)
    Viel Erfolg noch und liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 7 Monaten
  10. Default

    Ich finde es gut aber eine Frage : ist es jetzt so, verdoppelt sich ein Ausganswert ( z. B. X) so verdoppelt sich der „Zugeordnete Wert ” ( z. B. Y) oder?😖😥😉

    Von N2019, vor 7 Monaten
  11. Default

    Gut erklärt 👌

    Von Januka P., vor 8 Monaten
  12. Default

    Hallo, gutes Video, aber gibt es auch eine Erklärung für das zweite Bananenbeispiel? Da ist ja nur ein Schema angegeben.
    Danke und Grüße

    Von Gabs, vor 8 Monaten
  13. C55311fb d73a 4e28 9dde e1394fb11158

    Vielen Dank für diese Informationen. Ich habe eine furchtbar gute Arbeit geschrieben!! 🤩👍

    Von Naon L., vor 9 Monaten
  14. Default

    awesome video, thanks!

    Von Ulrikeranzow, vor 9 Monaten
  15. Default

    Richtig gutes Video ,danke

    Von Verena Rose, vor etwa einem Jahr
  16. Default

    Danke : ) das Video hat mir seh geholfen

    Von Annika M., vor etwa einem Jahr
  17. Default

    war schon echt gut erklärt

    Von Autosuche24, vor mehr als einem Jahr
  18. Default

    Super. Ich habe heute eine Mathematikarbeit geschrieben und ich habe die Aufgaben gut gemeistert!

    Von Amy04, vor mehr als einem Jahr
  19. 1515350469033

    Danke<3

    Von Mrs. Marie_Lou L., vor mehr als einem Jahr
  20. Love

    Ich habs verstanden!!!!!!
    :)

    Von Lisa K., vor mehr als einem Jahr
  21. Default

    Danke

    Von Tatjana Nemero, vor mehr als einem Jahr
  22. Default

    Das Video hat mir duper gefallen und ich habe jetzt auch alles verstanden was man machen muss um irgendwelche Werte, Aufgaben oder andere Dinge zu berechnen. ;)

    Von Kerstin Brasse, vor mehr als einem Jahr
  23. Default

    Das Video hat meine Fragen super beantwortet 🤓
    Danke

    Von Natalia S., vor mehr als einem Jahr
  24. Default

    Super hilfreich echt toll
    Sofatutor ist die beste Lernhilfe im Internet

    Voll krass :)

    Von L+G, vor etwa 2 Jahren
  25. 041

    GUT
    GUT
    GUT
    GUT
    GUT
    GUT
    GUT
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    GUT
    GUT
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    GUT
    GUT
    GUT
    GUT
    GUT
    .....
    .........
    GUT
    GUT
    GUT
    GUT
    GUT

    Von salih han b., vor etwa 2 Jahren
  26. Default

    hat mir wirklich geholfen, danke schreibe morgen eine arbeit

    Von Sophschwic, vor etwa 2 Jahren
  27. Default

    hat mir echt geholfen , danke sehr schreiben bald eine Arbeit.

    Von Benedikt E., vor etwa 2 Jahren
  28. Default

    Super erklärt!! Danke:)

    Von Thea K., vor mehr als 2 Jahren
  29. Katze

    Es ist gut erkärt nur musste ich es mir 2 mal angucken bis ich es KOMPLETT verstanden habe. Dennoch es ist sehr verständlich :))

    Von Luna Nyc, vor mehr als 2 Jahren
  30. Default

    super erklärt

    Von Mricht7, vor mehr als 2 Jahren
  31. Default

    Danke, war hilfreich! :)

    Von Nicholas 2, vor mehr als 2 Jahren
  32. Default

    achso nach dem zweiten mal versteht mans noch besser

    Von Anneduerr, vor mehr als 2 Jahren
  33. Default

    wie macht man die aufgabe dazu

    Von Anneduerr, vor mehr als 2 Jahren
  34. Penguins

    Sehr gut erklärt. Habe sofort verstanden. Toll! :-) Danke!

    Von Chandrawali B., vor mehr als 2 Jahren
  35. Default

    Genau das habe ich in der schule durch genommen. Danke :D

    Von Stephanyjones, vor mehr als 2 Jahren
  36. Default

    Sehr gut erklärt.... Habe sofort verstanden.... Toll

    Von Yasemin0803, vor mehr als 2 Jahren
  37. Default

    Sehr gut erklärt.
    Sie haben großes Talent gut zu erklären.
    Respekt !!!!!!!!!!!! (:

    Von M Walch, vor mehr als 2 Jahren
  38. Tumblr nes44zdvp31s5yedeo1 500

    Sehr gute erklärung.Vielen dank,ich hab es nun endlich verstanden :)

    Von Selin A., vor etwa 3 Jahren
  39. Default

    ich konnte sie ohne dreisatz lösen:D

    Von Songuel Yapici, vor mehr als 3 Jahren
  40. Felix

    @D Tamir: Da hast du vollkommen Recht: Man darf die Punkte im Koordinatensystem nur verbinden, wenn es Zwischenwerte gibt.

    Von Martin B., vor mehr als 3 Jahren
  41. Default

    Schön gemcht!
    Man darf aber nicht immer verbinden, oder?
    Nur wenn es Werte dazwischen gibt, zuminestens haben wir das so gelernt.

    Von D Tamir, vor mehr als 3 Jahren
  42. Default

    Danke :)

    Von Nnyfge Lp, vor fast 4 Jahren
  43. Default

    Sehr gut

    Von Vogel Wemding, vor etwa 4 Jahren
  44. Default

    Danke

    Von Anjelimi, vor etwa 4 Jahren
  45. Default

    cooles video
    jetzt habe ich es verstanden

    Danke

    Von Kathrin M., vor etwa 4 Jahren
  46. Default

    super jetzt habe ich es verstanden :)

    Von Tanja C., vor mehr als 4 Jahren
  47. Default

    Das Video hat mir sehr geholfen!!! Danke;-)

    Von Luisa Kau , vor mehr als 4 Jahren
  48. Default

    Sehr hilfreiches Video! Danke! :)

    Von Karla Poehlmann, vor mehr als 4 Jahren
  49. Default

    vielen herzlichen dank für dieses tolle video. ich habe es jetzt endlich verstanden, da ich in den letzten stunden krank war und auch genau dieses thema verpasst habe. jetzt kann ich beruhigt in den unterricht gehen!:)

    Von Julienne Q., vor mehr als 4 Jahren
  50. Default

    Hallo Conen,
    Proportionalität bedeutet, wenn sich eine Sache gleichmäßig verändert. Man kann es nicht überall anwenden. D.h. beim Gewicht eines Babys oder einer erwachsnen Person liegt dieser Sachverhalt nicht vor. Das Baby nimmt nicht jeden Monat gleich viele Gramm/Kilos zu. Es kann mal mehr mal weniger zunehmen/abnehmen, abhängig von seinem Gesundheitszustand. Deshalb ist die Proportionalität hier nicht gegeben. Fängt der Graph nicht im Ursprung an, liegt auch keine Proportionalität vor.
    Ich hoffe, ich konnte dir deine Frage beantworten :)

    Von Tatjana H., vor mehr als 4 Jahren
  51. Default

    ich hätte nur eine frage: was ist wenn der Graph nicht am Nullpunkt anfängt. Beispiel: wenn man messen will um wie viel ein baby wächst fängt es ( wenn es schon auf der Welt ist) nicht am Nullpunkt an.bitte antworten sie mir ihre anonyme Person ;)

    Von Conen, vor mehr als 4 Jahren
  52. Default

    vielen vielen vielen dank!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Conen, vor mehr als 4 Jahren
  53. Default

    sehr gutes Video hat mir sehr geholfen :D

    Von Andreasevelyn, vor mehr als 4 Jahren
  54. Default

    danke sehr gut erklärt hat mir geholfen ! (:

    Von Hans71christian, vor mehr als 4 Jahren
  55. Twin towers

    danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Jim 1, vor etwa 5 Jahren
  56. Default

    Super echt hilfreich danke, danke, danke!

    Von Silke Hebauf, vor etwa 5 Jahren
  57. Default

    na ja hab besseres gehört aber das ist nicht böse gemeint sry

    Von Corales, vor etwa 5 Jahren
  58. Default

    Danke dass ist ein sehr gutes video das die proportionalitat sehr gut erklart

    Von Thehappyfehrenbach, vor mehr als 5 Jahren
  59. Default

    Vielen Dank!

    Von Kangaroo, vor mehr als 5 Jahren
  60. Default

    1000 DANK!!! das video war voll cool und natürlich auch perfekt erklärt :) besser als mein Mathe lehrer... DANKE :D

    Von Bertram Namo, vor mehr als 5 Jahren
  61. Default

    Danke für die hilfreiche Erklärung .

    Von Merlin Tonka, vor mehr als 5 Jahren
  62. Snapshot 20140311 2

    Nicht hilfreich

    Von Leon M., vor mehr als 5 Jahren
  63. Snapshot 20140311 2

    Schlecht

    Von Leon M., vor mehr als 5 Jahren
  64. Son goku

    das rauschen im hintergrund nervt..der pegel ist auch zu laut...bitte beheben sonst gut!:D

    Von Heja B., vor mehr als 5 Jahren
  65. Default

    super

    Von Yasmina13, vor mehr als 5 Jahren
  66. Default

    Richtig gut erklärt-sehr hilfreich =D !

    Von Deleted User 39595, vor mehr als 5 Jahren
  67. Default

    >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Gute Erklärung<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

    Von Maxibeckert, vor etwa 6 Jahren
  68. Default

    SEHR GUT!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Mohamed Elsayed, vor etwa 6 Jahren
  69. Default

    Es wurde sehr gut erklärt & man hat alles gut verstanden. Danke!

    Von Shabana.A, vor etwa 6 Jahren
  70. Default

    Sehr hilfreich .

    Von Kim Hengsteler, vor etwa 6 Jahren
  71. Default

    super gut erklärt und echt nett dargestellt .

    Von Fampost, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare

Proportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen) kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine Zuordnung ist.

    Tipps

    Hier siehst du als Beispiel die Zuordnung, welche einem Schüler die Haarfarbe zuordnet.

    Hier siehst du den Punkt $P$ in einem $x-y-$Koordinatensystem.

    Lösung

    Was sind Zuordnungen?

    Zuordnungen beschreiben Beziehungen zwischen Größen aus zwei Mengen. Dabei wird einem Wert $x$ ein anderer Wert $y$ zugeordnet.

    So kannst du zum Beispiel dem Gewicht (Äpfel) den entsprechenden Preis zuordnen: $1~kg~\rightarrow~2~€$

    Das bedeutet, dass $1~kg$ Äpfel $2~€$ kostet.

    Du kannst auch den Schülern deiner Klasse ihre Haarfarbe zuordnen.

    Zuordnungen können dargestellt werden durch

    • Tabellen,
    • Diagramme, wie Pfeil- oder Säulendiagramme, oder
    • Punkte in einem Koordinatensystem. Wenn du die Punkte miteinander verbindest, erhältst du den Graphen der Zuordnung.
  • Ergänze die Erklärung zu direkt proportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Hier siehst du eine direkt proportionale Zuordnung in einer Tabellen-Darstellung.

    Schau dir an, was eine Verdoppelung des $x$-Wertes bewirkt. Betrachte dafür die $y$-Werte zu den $x$-Werten $2$ und $4$.

    Lösung

    Was sind direkt proportionale Zuordnungen?

    Stelle dir das folgende Beispiel vor: Nina bestellt in einem Café ein Stück Kuchen. Dafür bezahlt sie $2~€$. Da ihr der Kuchen besonders gut schmeckt, bestellt sie gleich noch ein Stück Kuchen. Auch dafür bezahlt sie $2~€$. Sie hat also für zwei Stück Kuchen insgesamt $2\cdot 2~€=4~€$ bezahlt.

    Ebenso erhältst du weitere Preise für noch mehr Kuchen. Die entsprechenden Paare $($ Anzahl $|$ Preis $)$ kannst du als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Wenn du diese Punkte miteinander verbindest, erhältst du eine Gerade, welche durch den Koordinatenursprung verläuft.

    Wir können somit festhalten: Zwei Größen sind direkt proportional zueinander, wenn für diese Größen das Folgende gilt.

    • Verdoppelt oder verdreifacht sich die erste Größe, so verdoppelt oder verdreifacht sich auch die zweite Größe.
    • Wird die erste Größe halbiert oder gedrittelt, halbiert oder drittelt sich auch die zweite Größe.
    Direkt proportionale Zuordnungen werden auch Je mehr-desto mehr - Zuordnungen genannt.

  • Gib die fehlenden Größen unter Verwendung des Dreisatzes an.

    Tipps

    Eine direkt proportionale Zuordnung wird auch als Je mehr-desto mehr-Zuordnung bezeichnet.

    Wenn du die eine Größe siebtelst, tust du dies auch mit der anderen Größe.

    Wenn du die eine Größe verfünffachst, tust du dies auch mit der anderen Größe.

    Lösung

    Hier siehst du die komplette Lösung mit dem Dreisatz:

    • In der zweiten Zeile der Tabelle steht die $7$ für die Anzahl der Bananen und $2,10~€$ für den zugehörigen Preis.
    • Um zunächst den Preis für eine Banane zu berechnen, teilen wir durch $7$ und erhalten: $7:7=1$ und $2,10~€:7=0,30~€$. Also kostet eine Banane $0,30~€$
    • Nun kannst du den Preis für $5$ Bananen berechnen, indem du mit der $5$ multiplizierst: $1\cdot 5=5$ und $0,30~€\cdot 5=1,50~€$.
    Das bedeutet, dass $5$ Bananen $1,50~€$ kosten.

    Da es sich hier um eine direkt proportionale Zuordnung handelt, sind die Rechenoperationen links und rechts gleich:

    • $:7$ sowie
    • $\cdot 5$
  • Wende den Dreisatz an, um die fehlenden Größen zu berechnen.

    Tipps

    Da es sich hier um eine direkt proportionale Zuordnung handelt, rechnest du auf beiden Seiten immer gleich.

    Schau dir das abgebildete Beispiel an.

    Wenn du den Preis für einen Liter kennst, kannst du den Preis für jede Anzahl Liter berechnen, indem du den Preis mit dieser Anzahl multiplizierst.

    Du kennst den Preis für einen Liter und möchtest wissen, wie viel Liter Milch du für beispielsweise $12~€$ erhältst:

    Hierfür teilst du $12~€$ durch den Preis für einen Liter Milch.

    Lösung

    Die fehlenden Werte kannst du hier sehen.

    Um Preise besser miteinander vergleichen zu können, ist es sinnvoll Preise für Einheitsgrößen anzugeben. Diese Einheitsgrößen können sein:

    • $1$ Stück,
    • $1$ Liter,
    • $1$ Kilogramm,
    • ...
    Es ist sogar tatsächlich gesetzlich vorgeschrieben, dass solche Vergleichspreise in Supermärkten angegeben sind. So können Kunden sofort überblicken, welche Verpackungsgröße preislich am besten ist. Achte doch einmal beim nächsten Einkauf darauf.

    Kommen wir nun zu unserem Milch einkaufenden Paul:

    • $1,5$ Liter Milch kosten $1,80~€$.
    • Du musst $1,80~€$ durch $1,5$ teilen und erhältst $1,20~€$, den Preis für einen Liter Milch.
    • Somit kosten drei Liter Milch $3\cdot 1,20~€=3,60~€$. Du siehst, das sogenannte Supersonderangebot ist gar keines. Im „Angebot“ ist die Milch um $10~\text{ct}$ teurer.
    Nun kennst du den Preis für einen Liter Milch und kannst damit ausrechnen, wie viel Liter Milch du einkaufen kannst, wenn du eine bestimmte Menge Geld zur Verfügung hast. Hierfür teilst du den gegebenen Betrag durch den Preis für einen Liter:

    • $\frac{4,80~€}{1,20~€}=4$, das heißt, für $4,80~€$ kannst du vier Liter Milch kaufen.
    • $\frac{6,00~€}{1,20~€}=5$. Du weißt nun: Für $6,00~€$ kannst du fünf Liter Milch kaufen.
  • Prüfe, ob eine direkt proportionale Zuordnung vorliegt.

    Tipps

    Beachte: Wenn du direkt proportionale Zuordnungen mit Hilfe von Punkten in einem Koordinatensystem darstellst, kannst du die Punkte zu einer Geraden verbinden. Diese Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung.

    Eine direkt proportionale Zuordnung wird auch Je mehr-desto mehr- Zuordnung genannt.

    Du siehst drei mögliche Darstellungsformen für Zuordnungen:

    • Tabellen
    • Diagramme
    • Punkte im Koordinatensystem
    Jeweils eine dieser Darstellungen stellt eine direkt proportionale Zuordnung dar.

    Lösung

    Merke dir für direkt proportionale Zuordnungen: Je mehr desto mehr oder umgekehrt Je weniger desto weniger.

    • Zum einen müssen also größer werdende $x$ zu größer werdenden $y$ führen.
    • Zum anderen ist die Veränderung gleich: Wird $x$ verdoppelt, verdreifacht, ..., so wird auch $y$ verdoppelt, verdreifacht. Dies gilt auch bei halbieren, dritteln, ...
    Du kannst die Paare $(x|y)$ einer direkt proportionalen Zuordnung als Punkte in einem Koordinatensystem darstellen. Wenn du diese Punkte verbindest, erhältst du eine Gerade. Diese verläuft durch den Koordinatenursprung.

    Jeweils eine Tabelle, ein Diagramm und ein Koordinatensystem stellen direkt proportionale Zuordnungen dar:

    • Punkte im Koordinatensystem: Die eine Gerade verläuft nicht durch den Koordinatenursprung. Somit kann diese nicht zu einer direkt proportionalen Zuordnung gehören.
    • Tabelle: Die Zuordnung $1~\rightarrow~1,5$ ... ist direkt proportional, die andere nicht. Dies kannst du an der Verdoppelung von $2$ auf $4$ (bei $x$) erkennen. Die zugehörigen $y$-Werte sind $6$ und $11$. Du siehst, $11$ ist nicht das Doppelte von $6$.
    • Diagramme: Die Zurodnung $x~\rightarrow~y=x$ ist direkt proportional. Bei der anderen ist dem Wert $x=1$ der Wert $y=2$ und dem Wert $x=2$ der Wert $y=1$ zugeordnet. $x$ wird also größer und $y$ kleiner. Dies kann keine direkt proportionale Zuordnung sein.
  • Berechne den Preis für die verschiedenen Mengen und umgekehrt.

    Tipps

    Erstelle dir eine Tabelle: In der ersten Zeile stehen die bekannten Größen.

    Um den Preis für andere Mengen zu berechnen, berechnest du zuerst den Preis für ein Brötchen.

    Ein Brötchen kostet $0,30~€$, also $30~\text{ct}$.

    Um herauszufinden, wie viele Brötchen zu einem gegebenen Preis gehören, dividierst du den Preis durch den Preis für ein Brötchen.

    Lösung

    Wir berechnen zunächst einmal den Preis für drei oder zehn Brötchen.

    • Hierfür teilen wir $4$ durch $4$ und erhalten $1$, also ein Brötchen.
    • Wenn wir ebenso $1,20~€$ durch $4$ teilen, erhalten wir den Preis für ein Brötchen, nämlich $1,20~€:4=0,30~€$.
    Wenn ein Brötchen $0,30~€$ kostet, dann kosten

    • drei Brötchen $3\cdot 0,30~€=0,90~€$ und
    • zehn Brötchen $10\cdot 0,30~€=3~€$.
    Um nun herauszufinden, wie viele Brötchen zu einem gegebenen Preis gehören, dividierst du den Preis durch den Preis für ein Brötchen:

    • $\frac{1,80~€}{0,30~€}=6$
    • $\frac{4,50~€}{0,30~€}=15$