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Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen 13:50 min

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Transkript Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen

Hallo, ich bin Anne. Und ich will euch heute erklären, wie man das „Normalenproblem“ löst. Dabei geht es darum, wie man die Normale in einer Funktion an der Stelle x0 bestimmt. Wir wollen erst kurz wiederholen, was eine Normale ist und für zwei Beispiele die Funktionsgleichung der Normale berechnen. Wir haben eine Funktion f gegeben und ein bestimmte Stelle x0 auf der x-Achse. Beziehungsweise einen Punkt (x0|y0), der auf dem Graphen von f liegt. Du kennst bereits die Tangente an dem Graphen an der Stelle x0 und die Normale, ist jetzt die lineare Funktion, die senkrecht zu dieser Tangente an dieser Stelle steht. Das heißt, zwischen der Tangente und der Normalen haben wir einen Winkel von 90 Grad. Wir wollen jetzt kurz überlegen, was diese Eigenschaft für die Funktionsgleichung der Tangente und Normale bedeutet. Die Tangente und die Normale sind beides lineare Funktionen. Das heißt, sie haben den Aufbau y = m * x + n. m ist der Anstieg und n ist der Schnittpunkt mit der Y-Achse. Wir wollen jetzt einmal die Tangente und die Normale. Wir nennen jetzt die Tangente t(x). Die hat jetzt auch den Aufbau m * x + n, da sie linear ist. Und die Normale kürzen wir ab mit n(x). Um jetzt die Anstiege und die Schnittpunkte mit den Y-Achsen unterscheiden zu können, schreiben wir jeweils immer einen Index. Für die Tangente ein kleines t und für die Normale ein kleines n. Das heißt, mt ist der Anstieg der Tangente und mn ist der Anstieg der Normalen. Wir wissen jetzt, dass die Tangente senkrecht auf der Normalen steht. Das kürzt man ab mit diesem Symbol. Und das Wichtige ist jetzt, das wollen wir uns merken, dass dann für die Anstiege gilt: mt * mn = -1. Das ist das Wichtige. Wir werden beim Beispiel erst den Anstieg der Tangenten berechnen und danach den Anstieg der Normalen über diese Formel, das heißt, wir brauchen diese Formel nach mn umgestellt. Ja und jetzt teilen wir einfach durch mt, also haben wir dann mn = -1/mt. Ja, jetzt wollen wir ein Beispiel machen. Wir haben die Funktion f(x) gegeben: 1/4x² + 1. Und die Stelle x0 = 1. Als erstes berechnen wir den Anstieg der Tangenten. Und das war ja mt. Aus dem Tangentenproblem wissen wir, dass man mt über die erste Ableitung von f an der Stelle x0 berechnen kann. Das heißt, wir brauchen die erste Ableitung, f‘(x) ist jetzt ½ x. ¼ * 2 = ½ und der Exponent geht um einen runter. Ja und jetzt setzen wir ein. mt = ½ * 1, also ½. Als zweites berechnen wir den Anstieg der Normalen mn. Und da müssen wir jetzt nur in diese Gleichung einsetzen, also mn = -1 / ½. Und da kommen wir -2. Das heißt, für unsere Funktionsgleichung der Normalen kommen wir jetzt auf n(x) = -2 * x + nn. Jetzt fehlt uns also noch der Schnittpunkt mit der Y-Achse. Und den berechnen wir jetzt in einem letzten Schritt. Und dafür setzen wir den Punkt P(x0|y0) in die Funktionsgleichung der Normalen ein. Jetzt haben wir y0 nicht gegeben, sondern nur x0. Dieser Punkt liegt auf dem Graphen von f, das heißt y0 = f(x0). Das heißt, wir setzen einfach in f ein. Also haben wir P eins, ¼ * 1² + 1 = 1¼. Diesen Punkt setzen wir jetzt ein in n(x). 1¼ = -2 * 1 = -2 + nn. Jetzt addieren wir 2 und dann haben wir 3¼ für den Schnittpunkt mit der Y-Achse der Normalen. Und als Lösung haben wir jetzt n(x) = -2x + 3¼. In der nächsten Szene werde ich euch ein weiteres Beispiel zur Berechnung der Normalen vorstellen. Wir wollen jetzt noch ein weiteres Beispiel zum Normalenproblem üben. Dafür haben wir eine neue Funktion gegeben. f(x) = x4 + 2x3 + 3x² - 5. Die Stelle ist diesmal x0 = -1. Im ersten Schritt berechnen wir wieder den Anstieg der Tangente, also mt. mt war die erste Ableitung von f an der Stelle x0, also brauchen wir wieder die erste Ableitung von f. Die bekommen wir über die Potenzregel. Also haben wir 4x³ + 6x² + 6x. -5 fällt weg. Jetzt setzen wir ein. mt ist dann f‘(-1). Also -1³ wird minus, also -4. -1² wird positiv, also +6. +6 * -1 = -6 also -4. Dann im zweiten Schritt berechnen wir den Anstieg der Normalen. Und da setzen wir wieder einfach in diese Formel ein. Also mn = -1/-4. Minus durch Minus wird Plus, also haben wir ¼. Das heißt, unsere Funktionsgleichung der Normalen sieht erstmal so aus: n(x) = ¼ x + nn. Dieser Schnittpunkt mit der Y-Achse der Normalen fehlt uns noch und den berechnen wir wieder über den Punkt P. So, der Punkt ist wieder (x0|y0). y0 kann man berechnen über f(x0), weil er auf dem Graphen von f liegt. Das heißt, wir brauchen f(-1) und setzen einfach ein. -14 wird 1. -1³ wird negativ, -2. -1² ist wieder positiv, +3 - 5. Das heißt, wir haben -1, - 6, -3. Also ist unser Punkt P(-1|-3). So, wenn wir jetzt einsetzen haben wir -3 = ¼ * -1 = - ¼ + nn Jetzt stellen wir nach nn um, also addieren ¼. Das heißt, wir haben -2¾. Und als Funktionsgleichung der Normalen haben wir dann insgesamt raus ¼ x - 2¾. Zum Schluss möchte ich nochmal kurz zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: Wir haben als erstes wiederholt, was eine Normale ist, das ist nämlich eine lineare Funktion, die senkrecht zur Tangente im Punkt P(x0|y0) steht. Dann haben wir zwei Beispiele gerechnet, wie man die Funktionsgleichung der Normalen bestimmt. Dafür berechnen wir erst den Anstieg der Tangente, den Anstieg der Normalen und setzen dann den gegebenen Punkt P(x0|y0) ein. Ja, ich hoffe, Du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video.

2 Kommentare
  1. Img 6384

    Perfekt! :D

    Von Tina Saltner, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Schön erklärt. Vielen Dank :-)

    Von Claudia Martschat, vor mehr als 4 Jahren

Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Normalenproblem – Normale in einem Punkt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine Normale ist.

    Tipps

    Ist die Tangente steigend, so ist die Normale fallend und umgekehrt.

    Je steiler die Tangente verläuft, desto flacher verläuft die Normale.

    Mach dir an dem Beispiel der linearen Funktion $f(x)=x$ im Koordinatensystem klar, wie die Gleichung der zu dieser Geraden im Koordinatenursprung senkrechten Geraden aussieht.

    Lösung

    In diesem Bild ist zu erkennen, dass die Steigungen zweier senkrechter Geraden verschiedene Vorzeichen haben müssen. Wenn beide Geraden gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, so verläuft die blaue steiler und die rote flacher.

    Es gilt, dass das Produkt der Steigungen zweier senkrechter Geraden $m_t \cdot m_n = -1$ ergibt.

    Die Tangente berührt den Graphen einer Funktion in einem Punkt und die Normale steht in diesem Punkt senkrecht auf der Tangente.

    Sei $t(x)=m_t\cdot x+n_t$ die Tangenten- und $n(x)=m_n\cdot x+n_n$ die Normalengleichung, so gilt $m_t\cdot m_n=-1$. Dies ist äquivalent zu $m_n=-\frac1{m_t}$.

    Ist also der Anstieg der Tangente bekannt, so ist auch der Anstieg der Normalen durch die obige Gleichung gegeben.

    Der Anstieg der Tangente ist $m_t=f'(x_0)$ und damit $m_n=-\frac1{f'(x_0)}$.

  • Gib die Gleichung der Normalen an der Stelle $x_0$ an.

    Tipps

    Tangente und Normale stehen senkrecht zueinander.

    • Wie ist der Anstieg der Tangente gegeben?
    • Wie hängen der Anstieg der Tangente und der der Normalen zusammen?

    Die Ableitung von $f$ ist nach der Produktregel $f'(x)=4x^3+6x^2+6x$. Durch Einsetzen von $x_0=-1$ in diese Ableitung erhältst du den Anstieg der Tangente $m_t$.

    Es gilt $m_t\cdot m_n=-1$. Dabei ist $m_t$ der Anstieg der Tangente und $m_n$ der der Normalen.

    Um den Schnittpunkt mit der y-Achse $n_n$ zu berechnen, wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ verwendet. Für $x_0=-1$ ist $y_0=(-1)^4+2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-5=-3$.

    Lösung

    Die Normalengleichung lautet $n(x)=m_n\cdot x +n_n$. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente mit dem Anstieg $m_t$. Das heißt, man muss zunächst den Anstieg der Tangente berechnen, um dann über die Formel $m_n=-\frac1{m_t}$ den Anstieg der Normalen zu erhalten.

    • $m_t=f'(-1)$. Die Ableitung von $f$ ist nach der Potenzregel gegeben durch $f'(x)=4x^3+6x^2+6x$. Damit ist $f'(-1)=4\cdot(-1)^3+6\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)=-4$.
    • $m_n=-\frac1{-4}=\frac14$.
    Nun kann die Normalengleichung bereits wie folgt aufgeschrieben werden $n(x)=\frac14x+n_n$.

    $n_n$ kann berechnet werden, indem der Punkt $P(x_0|y_0)$ in $n(x)$ eingesetzt wird. Für $x_0=-1$ ist $y_0=(-1)^4+2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-5=-3$.

    $\begin{align*} -3&=\frac14\cdot(-1)+n_n &|& +\frac14\\ -2\frac34&=n_n. \end{align*}$

    Nun ist die Normalengleichung bestimmt: $n(x)=\frac14x-2\frac34$.

  • Weise nach, dass die Normalengleichung auch in der Form $n(x)=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0)+y_0$ angegeben werden kann.

    Tipps

    Das Vorgehen ist hier genau so wie in einem Beispiel:

    • zunächst wird die Steigung der Normalen durch $m_n=-\frac1{m_t}$ berechnet und
    • dann wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ in der Normalangleichung eingesetzt. Dadurch erhält man $n_n$.

    Ein Punkt $P(x_0|y_0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$, wenn $y_0=f(x_0)$ gilt.

    Lösung

    Die Steigung der Tangente zum Graphen der Funktion ist $m_t=f'(x_0)$. Da die Tangente und die Normale senkrecht zueinander sind, gilt also $m_n=-\frac1{f'(x_0)}$.

    Für die Normalangleichung muss also nur noch $n_n$ berechnet werden: $n(x)=-\frac1{f'(x_0)}\cdot x+n_n$.

    Hierfür wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ in die Normalangleichung eingesetzt:

    $\begin{align*} y_0&=-\frac1{f'(x_0)}\cdot x_0+n_n~|~+\frac1{f'(x_0)}\cdot x_0\\ \frac1{f'(x_0)}\cdot x_0+y_0&=n_n. \end{align*}$

    Dieses $n_n$ kann in die Tangentengleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align*} n(x)&=-\frac1{f'(x_0)}\cdot x+\frac1{f'(x_0)}\cdot x_0+y_0\\ &=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0)+y_0. \end{align*}$

    Dies ist die gesuchte Form der Normalengleichung.

    Zur Probe dieser Formel betrachten wir die Funktion $f(x)=\frac14x^2+1$ mit

    • $x_0=1$,
    • $y_0=\frac14\cdot1+1=1\frac14$ und
    • $f'(x_0)=f'(1)=\frac12$.
    Es gilt also

    $\begin{align*} n(x)&=-\frac1{\frac12}(x-1)+1\frac14\\ &=-2(x-1)+1\frac14\\ &=-2\cdot x+2+1\frac14\\ &=-2\cdot x+3\frac14. \end{align*}$

  • Bestimme die Gleichung der Normalen.

    Tipps

    Seien die linearen Funktionen $f(x)=3\cdot x - 12$ und $g(x)=-\frac13 x-2$ gegeben. Zeichne diese in ein Koordinatensystem. Die zugehörigen Geraden stehen senkrecht aufeinander.

    Ein Punkt $P(x_0|y_0)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $f$, wenn $f(x_0)=y_0$ gilt.

    Die Funktionen sowohl der Tangente als auch der Normalen sind linear.

    Lösung

    Um die Normalengleichung einer Funktion in einem Punkt $P(x_0|y_0)$ zu bestimmen, benötigt man

    • den Anstieg der Tangente $m_t$ an den Graphen der Funktion in dem Punkt $P(x_0|y_0)$,
    • den Anstieg der Normalen $m_n$. Dieser ist $-\frac1{m_t}$ und
    • den Schnittpunkt mit der y-Achse der Normalen $n_n$. Diesen erhält man durch Einsetzen des Punktes $P(x_0|y_0)$ in der Normalengleichung.
    In diesem Beispiel mit $f(x)=\frac14x^2+1$ und $x_0=1$ ist
    1. mit $f'(x)=\frac12x$ der Anstieg der Tangente $m_t=0,5$,
    2. der Anstieg der Normalen $m_n=-2$, da $m_n=-\frac1{m_t}$ ist. Die Normalengleichung ist also $n(x)=-2\cdot x+n_n$.
    3. Der Schnittpunkt mit der y-Achse der Normalen $n_n$ kann durch Einsetzen des Punktes $P(x_0|y_0)$ berechnet werden. Für $x_0=1$ ist $y_0=\frac14 \cdot 1^2+1=\frac54=1,25$.
    4. Also gilt $1,25=-2\cdot1+n_n$ und dies ist äquivalent zu $n_n=1,25+2=3,25$. Die Normalengleichung ist dann gegeben durch $n(x)=-2\cdot x+3,25$.

  • Entscheide, welche der linearen Funktionen die Normale zu $f$ im Punkt $x_0$ ist.

    Tipps

    Schau dir zunächst die Steigung der Funktion an.

    Die Steigung der Normalen $m_n$ ist gegeben durch $m_n=-\frac1{m_t}$, wobei $m_t$ der Anstieg der Tangente ist.

    Für $x_0=2$ ist $y_0=2^3-\frac12\cdot 2^2+3\cdot2=12$.

    Lösung

    Die Normale ist gegeben durch die Gleichung $n(x)=-\frac1{13}x+12\frac2{13}$.

    Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt über die

    • Berechnung des Tangentenanstiegs $m_t=f'(2)=13$,
    • Berechnung des Normalenanstiegs $m_n=-\frac1{m_t}=-\frac1{13}$ und
    • Berechnung von $n_n$ über den Punkt $P(x_0|y_0)$ mit $y_0=2^3-\frac12\cdot 2^2+3\cdot2=12$. Also $12=-\frac1{13}\cdot2+n_n$. Dies ist äquivalent zu $n_n=12\frac2{13}$.
    Die Gleichung $t(x)=13\cdot x-14$ ist die Tangentengleichung.

  • Berechne den Schnittpunkt der Normalen.

    Tipps

    Stelle jeweils die Normalengleichung auf, indem du

    • den Tangentenanstieg $m_t$ berechnest und damit
    • den Normalenanstieg $m_n=-\frac1{m_t}$.
    • $n_n$ kann über die jeweiligen Punkte berechnet werden.

    Die Ableitung der Funktion ist $f'(x)=2x-2$.

    Nun lässt sich die Steigung an jeder Stelle $x_0$ berechnen.

    Die Parabel ist symmetrisch zu einer Achse, die parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt $(1|1)$ verläuft.

    Lösung

    Die beiden Normalengleichungen werden wie folgt berechnet:

    • grün: $m_t=f'(0)=2\cdot0-2=-2$. Damit ist $m_n=-\frac1{-2}=0,5$. Einsetzen des Punktes $P(0|2)$ in $n_1(x)=0,5\cdot x+n_n$ führt zu $2=0+n=n$. Also lautet die Normalengleichung der grünen Normalen $n_1(x)=0,5\cdot x+2$.
    • blau: Der Anstieg ist $m_t=-0,5$. Nun wird der Punkt $Q(2|2)$ in $n_2(x)=-0,5\cdot x +n_n$ eingesetzt. Dies führt zu $2=-0,5 \cdot 2 +n_n$, also $n_n=3$. Damit ist die Normalengleichung der blauen Normalen $n_2(x)=-0,5 \cdot x +3$.
    Die beiden linearen Funktionen werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu erhalten.

    $\begin{align*} 0,5\cdot x+2&=-0,5\cdot x+3 &|& +0,5\cdot x -2\\ x&=1. \end{align*}$

    Die y-Koordinate des Schnittpunktes ist $y=0,5\cdot 1+2=2,5$. Diesen hätte man auch durch Einsetzen in der anderen Normalengleichung erhalten. Der Schnittpunkt ist also $S(1|2,5)$.