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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (3)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (3)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (3)

Jede Gleichung ist dann gelöst, wenn deren Lösungsmenge angegeben werden kann. Bei linearen Gleichungen gibt es genau eine Variable, die für eine Zahl, manchmal auch für mehrere Zahlen steht. Indem mathematisch die Gleichung gelöst wird, kann jene Zahl oder können jene Zahlen als Lösungsmenge angegeben werden. Wie man hierfür vorgeht, erfährst du in diesem Video. Es behandelt ein einfaches Beispiel, an dem Schritt für Schritt demonstriert wird, wie eine Gleichung zu lösen ist. Habt ihr dieses Beispiel verstanden? Dann schaut euch doch das nächste Beispiel im Video „Lineare Gleichungen - Beispiel 4“ an.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (3)

Hallo, hier ist eine Gleichung -1+3=x-4 und am Beispiel dieser Gleichung möchte ich zeigen, wie du mithilfe von Äquivalenzumformungen solche Gleichungen lösen kannst. Dabei geht es nicht vor allem darum, schnell die Lösung hinzuschreiben, sondern es geht darum, die Methode zu verstehen und da muss man wirklich langsam denken. Da muss man sich langsam überlegen, was man da hier eigentlich macht - das ist hier das Wichtige. Nicht schnell die Lösung hinschreiben. Also, ich möchte ein kleines Beispiel zeigen dazu, wie man sich diese Methode vorstellen kann. Du kennst eine ähnliche Methode von Rechnungen her. Wenn du zum Beispiel 87+38+13 rechnest, dann kannst du natürlich nach der Reihe vorgehen und erst 87+38 rechnen und so weiter. Du kannst aber auch bemerken, dass ja 87+13=100 ist und dann erst 38 dazurechnen, und dann weißt du gleich - das ist 138. Und so konntest du vielleicht dann ein bisschen schneller rechnen. Zumindest ist es so vermutlich einfacher. Was du hier gemacht hast, ist Folgendes: Du hast nicht diese Rechnung gerechnet, sondern du hast eine andere Rechnung gerechnet, von der du aber weißt, dass das Ergebnis dasselbe ist, wie bei dieser Rechnung hier. Und dieses Prinzip, also was Anderes machen, was aber dasselbe Ergebnis hat, das macht man bei den Gleichungen auch, so ähnlich. Wir haben hier eine Gleichung. Wir können diese Gleichung umformen in eine andere Gleichung, die aber dieselbe Lösungsmenge hat. Und wenn das nicht reicht, dann können wir noch mal umformen, wieder in eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat wie die hier oben, so lange, bis wir eine Gleichung bekommen, die so einfach ist, dass man die Lösungsmenge direkt ablesen kann. Das ist die Taktik dabei. Und um diese Gleichung umzuformen in eine andere Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, haben wir folgende Möglichkeiten: Wir können auf beiden Seiten was addieren, auf beiden Seiten was subtrahieren, beide Seiten mit einer Zahl multiplizieren, die ungleich 1 ist oder beide Seiten durch eine Zahl teilen, die ebenfalls ungleich 1 ist. Oder wir können auf eine der Seiten oder auch auf beiden Seiten eine Termumformung machen. So, und was kann man hier nun machen, damit die Gleichung ein bisschen einfacher wird? Man kann diese Rechnung hier ausführen -1+3, und dann haben wir schon mal 1 Zahl da stehen und nicht 2. Also machen wir eine Termumformung. Wenn man eine Rechnung ausführt, ist das eine Termumformung. -1+3=2, also haben wir eine neue Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, die aber jetzt schon ein bisschen einfacher geworden ist. Jetzt können wir noch uns hier um diese 4 kümmern, und zwar können wir hier auf beiden Seiten +4 rechnen, und dann wird die Gleichung zunächst komplizierter - dann steht hier 4+2, und auf der andren Seite steht x-4+4. Aber wir können jetzt wieder eine Termumformung machen, wir können nämlich 4+2 ausrechnen, das ist 6. Und wir können hier auch eine Termumformung machen, nämlich wir können ausrechnen -4+4=0. Und jetzt könnte man natürlich noch x+0 hier hinschreiben, das macht man aber meistens dann nicht, weil man ja weiß, dass x+0=x ist, und deshalb mache ich das einfach wieder weg. Und jetzt sieht man direkt, was die Lösungsmenge dieser Gleichung ist, also dieser unteren hier. Das ist nämlich 6. Man muss für x 6 einsetzen, damit diese Gleichung richtig ist. Wenn man eine andere Zahl einsetzt, ist die Gleichung nämlich falsch. Weil wir aber wissen, dass diese Gleichung hier dieselbe Lösungsmenge hat, wie die, und auch diese Gleichung dieselbe Lösungsmenge hat wie die, und auch diese dieselbe Lösungsmenge hat wie die, wissen wir auch, dass man in die obere Gleichung für x 6 einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Und das können wir mal eben probieren. Also wir wissen ja, -1+3=2 und 6-4=2, dann ist die Gleichung richtig. So, und jetzt müssen wir nur noch die Lösungsmenge hinschreiben, das L mit dem Doppelstrich ist dann die Menge, die die 6 enthält: L steht für Lösungsmenge = Menge, die die 6 enthält. Und damit haben wir die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt mithilfe von Äquivalenzumformungen. So geht das, so funktioniert das immer. Viel Spaß damit - tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Gut erklärt

    Von Tom Rosendahl, vor fast 4 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Äquivalenzumformung ist.

    Tipps
    • Es gilt $4\neq 3$.
    • Wenn du diese Gleichung auf beiden Seiten mit $0$ multiplizierst, kommt $0=0$ heraus. Das ist sicher richtig.
    • Wenn dies eine Äquivalenzumformung wäre, so müsste auch die Ausgangsgleichung $4=3$ erfüllt sein. Dies ist aber sicher nicht der Fall.

    Gilt diese Umformung?

    $\begin{align*} 4&=4 &|& +2\\ 4+2&=4? \end{align*}$

    Warum gilt die Umformung

    $\begin{align*} 7&=7 &|& -3\\ 7&=4 \end{align*}$

    nicht?

    Lösung
    • Äquivalenzumformungen werden durchgeführt, um Gleichungen zu lösen.
    • Durch Äquivalenzumformungen wird die Lösung der Gleichung nicht verändert.
    Was sind Äquivalenzumformungen?
    • Auf beiden Seiten der Gleichung darf eine Zahl oder eine Variable addiert oder subtrahiert werden.
    • Auf beiden Seiten der Gleichung darf mit einer Zahl oder einer Variablen ungleich $0$ multipliziert werden.
    • Auf beiden Seiten der Gleichung darf durch eine Zahl oder eine Variable ungleich $0$ dividiert werden.
    • Auf einer oder beiden Seiten der Gleichung dürfen Termumformungen durchgeführt werden.
  • Schildere, wie die Gleichung $-1+3=x-4$ gelöst werden kann.

    Tipps

    Du kannst durch Äquivalenzumformungen die Gleichung so verändern, dass du am Schluss der Rechnung die Lösung ablesen kannst.

    Termumformungen müssen nicht auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

    Wenn du eine Zahl addierst oder subtrahierst, so musst du dies auf beiden Seiten tun.

    Du kannst zur Probe die Lösung in der Ausgangsgleichung einsetzen. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Zur Lösung der Gleichung $-1+3=x-4$ wird

    1. der Term auf der linken Seite der Gleichung umgeformt zu $2$.
    2. Die neue Gleichung lautet dann $2=x-4$.
    3. Addition der $4$ auf beiden Seiten führt zu $4+2=x-4+4$.
    4. Auf beiden Seiten werden Termumformungen durchgeführt zu $6=x+0=x$.
    5. Also ist $x=6$ die gesuchte Lösung.
    Zur Probe kann die Lösung in der Ausgangsgleichung eingesetzt werden: $-1+3=6-4~^\surd$.

  • Erkläre, welche Äquivalenzumformungen durchgeführt worden sind.

    Tipps

    Eine Termumformung ist in der Regel eine Vereinfachung eines Terms.

    Mittels Termumformung kann $2 + x + 4$ zu $6+x$ vereinfacht werden.

    Beachte, dass die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden muss.

    Lösung
    • $3+4$ wird zu $7$ umgeformt:
    $\begin{align*} 2&=3+4+x\\ 2&=7+x \end{align*}$
    • Folgendes ist keine Äquivalenzumformung, da $7$ nur auf einer Seite subtrahiert wird:
    $\begin{align*} 2&=7+x\\ 2&=x \end{align*}$
    • $3+5$ wird zu $8$ umgeformt:
    $\begin{align*} 2-x&=3+5\\ 2-x&=8 \end{align*}$
    • Es wird auf beiden Seiten $7$ subtrahiert:
    $\begin{align*} 2&=7+x \\ -5&=x \end{align*}$
    • Es wird auf beiden Seiten $2$ subtrahiert:
    $\begin{align*} 4&=2x+2\\ 2&=2x \end{align*}$
    • Es wird auf beiden Seiten durch $2$ dividiert:
    $\begin{align*} 2&=2x\\ 1&=x \end{align*}$
  • Leite die Lösung der Gleichung $2x+3+x=5+2x-3$ her.

    Tipps

    Zu Beginn der Umformungen kannst du auf beiden Seiten der Gleichung die Bekannten und Unbekannten durch Termumformung zusammenfassen.

    Bringe dann die Bekannten auf die eine Seite und die Unbekannten auf die andere Seite der Gleichung. Hierfür verwendest du Äquivalenzumformungen.

    Äquivalenzumformungen sind

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Lösung

    Man beginnt mit der Gleichung $2x+3+x=5+2x-3$.

    • Zunächst können links und rechts des Gleichheitszeichens die Terme so umgeformt werden, dass sowohl die Variablen als auch die Zahlen zusammengefasst werden.
    • Die Gleichung lautet dann $3x+3=2+2x$.
    • $2x$ wird auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert:
    • $x+3=2$. Nun muss nur noch die $3$ subtrahiert werden und
    • Die Lösung kann abgelesen werden: $x=-1$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1\}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung $-1+3=x-4$ an.

    Tipps

    Führe Termumformungen durch, um zur Lösung der Gleichung zu gelangen.

    Du kannst eine Probe durchführen, ob die gefundene Lösung tatsächlich die Lösung der Gleichung ist, indem du die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzt.

    Die Lösungsmenge ist eine Menge. Achte dabei auf die richtige Schreibweise.

    $\mathbb{N}$ ist die Menge der Natürlichen Zahlen.

    Lösung

    Zunächst wird die Gleichung $-1+3=x-4$ gelöst:

    $\begin{align*} -1+3&=x-4&|&\text{ T}\\ 2&=x-4&|&+4\\ 4+2&=x-4+4&|&\text{ T}\\ 6&=x. \end{align*}$

    Dabei steht „$\text{T}$“ für Termumformung.

    Die Lösungsmenge wird dann wie folgt angegeben: $\mathbb{L}=\{6\}$.

    Mengen werden zumeist mit großen Buchstaben benannt, die durch einen doppelten Strich zu erkennen sind, so die Menge der Natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ oder die Menge der Rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

  • Berechne die Lösung der Gleichung $x-2x+3=3-2+x$.

    Tipps

    Fasse auf beiden Seiten der Gleichung die Bekannten und Unbekannten zusammen.

    Führe Äquivalenzumformungen durch, so dass die Unbekannten auf der einen und die Bekannten auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Lösung

    Die Gleichung, die zu lösen ist, lautet: $x-2x+3=3-2+x$.

    • Durchführen von Termumformungen auf beiden Seiten führt zu $-x+3=1+x$.
    • Die Variable $x$ wird auf beiden Seiten addiert zu $3=1+2x$.
    • Auf beiden Seiten wird $1$ subtrahiert: $2=2x$.
    • Durch die Division durch $2$ auf beiden Seiten gelangt man zu der Lösung $1=x$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{1\}$.
    In einem Fluss sieht das so aus:

    $\begin{align} x-2x+3 & = 3 - 2 + x &|& \text{T}\\ -x+3 & = 1 + x &|& +x\\ 3 & = 1 + 2x &|& -1\\ 2 & = 2x &|& :2\\ 1 & = x \\ \end{align}$

    Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{1\}$.

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