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Laplace-Experimente – Wahrscheinlichkeit von Ereignissen

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Martin Wabnik
Laplace-Experimente – Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Laplace-Experimente – Wahrscheinlichkeit von Ereignissen

Wenn ein Laplace-Versuch gegeben ist, dann kennst du normalerweise auch die Ergebnismenge und weißt, wieviele Ergebnisse in dieser Menge sind. Willst du nun die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ausrechnen, brauchst du nur noch zu wissen, wieviele Ergebnisse zum Ereignis gehören. Wenn du diese Zahl durch die Anzahl der Ergebnisse teilst, hast du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Man kann das auch so formulieren: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eines Laplace-Versuchs ist der Quotient aus der Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ergebnisse und der Anzahl aller Ergebnisse.

Ist z.B. der Zufallsversuch "Kugeln ziehen" gegeben und sind mehrere Kugeln gelb, dann ist das Ereignis "GELB" eines, dessen Wahrscheinlichkeit du mit dieser Formel ausrechnen kannst.

Zwar gibt es auch Zufallsversuche, die keine Laplace-Versuche sind, aber die Zufallsversuche, die du in der Schule kennenlernen wirst, sind entweder Laplace-Versuche oder gehen auf Laplace-Versuche zurück oder sind aus Laplace-Versuchen entstanden oder sind Laplace-artige Versuche usw. Deshalb kannst du mit der genannten Formel die Wahrscheinlichkeiten so ziemlich aller Ereignisse, die dir auf natürliche Weise begegnen werden, berechnen.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Janan,
    vielleicht hilft dir dieses Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/laplace-experimente-ueberblick?topic=1215
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  2. Ich hab das immer noch nicht verstanden. Könnte man das noch ausführlicher machen?

    Von Janan, vor mehr als einem Jahr
  3. ok

    Von Decotrade, vor fast 2 Jahren
  4. gut erklärt

    Von Andrea S., vor etwa 2 Jahren
  5. Jetzt verstehe ich das Laplace-Experiment :-)

    Von Violalaub, vor mehr als 2 Jahren
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Laplace-Experimente – Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Laplace-Experimente – Wahrscheinlichkeit von Ereignissen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften von Ergebnissen eines Laplace-Versuchs an.

    Tipps

    Bei einem Zufallsversuch ist der Ausgang nicht vorhersehbar.

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs ist $1$.

    Zum Beispiel wäre das Werfen eines idealen Würfels ein Laplace-Versuch. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer beliebigen Augenzahl immer $\frac16$.

    Lösung

    Was ist ein Laplace-Versuch?

    Von einem Laplace-Versuch spricht man, wenn jedes mögliche Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt.

    Zum Beispiel wäre das Werfen eines idealen Würfels ein Laplace-Versuch. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer beliebigen Augenzahl immer $\frac16$.

    Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses gerade $1$ dividiert durch die Anzahl der Ergebnisse ist:

    Seien $e_1$, ... , $e_n$ die möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs, so gilt:

    $P(e_1)=P(e_2)=...=P(e_n)=\frac1n$.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(E_g)$ für das Ziehen einer gelben Kugel.

    Tipps

    Wenn man jede Kugel für sich betrachtet, handelt es sich hier um einen Laplace-Versuch.

    Bei einem Laplace-Versuch sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse gleich groß, nämlich $1$ dividiert durch die Anzahl der Ergebnisse.

    Die Laplace-Formel für ein Ereignis $E$ lautet folgendermaßen:

    $P(E)$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Lösung

    In einer Schale befinden sich zehn Kugeln. Jede Kugel kann mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden. Es handelt sich um einen Laplace-Versuch. Dies könnte man sich auch klarmachen, wenn man die Kugeln durchnummerieren würde.

    Wir wenden nun die Laplace-Formel für Ereignisse $E$ an: $P(E)$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Es befinden sich fünf gelbe Kugeln in der Schale; also ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen $\frac5{10}=\frac12=0,5$.

  • Ermittle alle Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen.

    Tipps

    Ein Ereignis ist die Gesamtheit seiner Ergebnisse, welches du hier als Menge darstellen sollst.

    Du kannst dir einen Zufallsversuch auch immer so vorstellen, dass du Kugeln in einer Urne hast. In diesem Beispiel befinden sich $6$ Kugeln in der Urne: drei rote und drei grüne.

    $\Omega$ steht für die Ergebnismenge, d.h. die Menge aller möglichen Ergebnisse.

    Lösung

    Wenn du die Formel nach Laplace anwenden willst, muss zum einen die Ergebnismenge eines Experimentes sowie die zu den Ereignissen gehörenden Mengen bekannt sein.

    Hier ist $\Omega=\{$(rot|rot);(rot|grün);(grün|rot);(grün|grün)$\}$ die Ergebnismenge, d.h. die Menge aller möglichen Ergebnisse. Die anderen Ereignisse kannst du folgendermaßen schreiben:

    • $A$...Es wird genau einmal Rot gewürfelt: $A=\{$(rot|grün);(grün|rot)$\}$.
    • $B$...Es wird mindestens einmal Rot gewürfelt: $B=\{$(rot|rot);(rot|grün);(grün|rot)$\}$.
    • $C$...Es wird kein Rot gewürfelt: $C=\{$(grün|grün)$\}$.

  • Leite die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses her.

    Tipps

    $P(E)$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Du musst also die Ergebnismenge und die Menge kennen, welche das Ereignis darstellt.

    Lösung

    Beim zweimaligen Ziehen erhält man Farbenpaare. Alle möglichen Zahlenpaare werden in der Ergebnismenge zusammengefasst:

    $\Omega=\{$(rot|rot);(rot|blau);(blau|rot);(blau|blau)$\}$.

    Es befinden sich $4$ Ergebnisse in $\Omega$.

    Jedes Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Man kann sich also fragen, welche der Ergebnisse aus $\Omega$ das Ereignis $E$ „mindestens eine blaue Kugel“ erfüllen. Wir bestimmen:

    $E=\{$(rot|blau);(blau|rot);(blau|blau)$\}$.

    Hierin befinden sich $3$ Ergebnisse.

    Nun kann die Formel nach Laplace angewendet werden:

    $P($mindestens eine blaue Kugel$)=\frac{|E|}{|\Omega |}=\frac34=0,75$.

  • Stelle die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf.

    Tipps

    Die Formel besagt, dass die Anzahl aller für $E$ günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt werden soll.

    Alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden in einer Menge zusammengefasst.

    Wie heißt Wahrscheinlichkeit auf Englisch?

    Lösung

    Dies ist die Formel nach Laplace, mittels der die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eines Laplace-Versuchs berechnet werden kann.

    Der englische Begriff für „Wahrscheinlichkeit“ ist „probability“. Deshalb wird der Großbuchstabe $P$ verwendet.

    $E$ steht für das Ereignis und $\Omega$ für die Ergebnismenge, in welcher sich alle möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs befinden.

    Die Betragsstriche um die Mengen bedeuten, dass die Anzahl der Elemente der jeweiligen Menge betrachtet wird.

    Man kann diese Formel wie folgt lesen: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Quotient aus der Anzahl aller für das Ereignis günstigen Ergebnisse und der Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Da ein Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge ist, ergibt sich:

    $0\le P(E)\le 1$.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens $7$ beträgt.

    Tipps

    Wie viele Paare befinden sich in der Ergebnismenge?

    Es gilt: $\Omega=\{(1|1);...;(1|4);...;(4|1);...;(4|4)\}$.

    Welche und wie viele Ergebnisse aus der Ergebnismenge ergeben eine Augensumme, die größer oder gleich $7$ ist?

    $P(E)$ berechnet sich als die Anzahl der zu $E$ gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Lösung

    Man kann die Mengen aufschreiben, um die Anzahl der in ihr enthaltenen Ergebnisse zu bestimmen. Für die Ergebnismenge erhalten wir:

    $\Omega=\{(1|1);...;(1|4);...;(4|1);...;(4|4)\}$.

    Wie viele solcher Paare gibt es? Für die erste Postion und zweite Position gibt es jeweils $4$ Möglichkeiten. Es gibt also $4\cdot 4=16$ solcher Paare.

    Nun muss man noch überlegen, bei welchen Paaren die Augensumme mindestens $7$ beträgt:

    $E=\{(3|4);(4|3);(4|4)\}$.

    Dies sind $3$ Paare. Nun kann die Formel nach Laplace verwendet werden:

    $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$, also

    $P($Augensumme mindestens $7)=\frac3{16}=0,1875=18,75\%$.

    Alle drei Angaben für Wahrscheinlichkeiten sind möglich und üblich.

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