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Laplace-Experimente – Tombola – Aufgabe 1

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Laplace-Experimente – Tombola – Aufgabe 1
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Grundlagen zum Thema Laplace-Experimente – Tombola – Aufgabe 1

Eine Tombola ist normalerweise eine Verlosung von Gewinnen bei einer Veranstaltung. Die Ziehung der Gewinne ist ein Laplace-Versuch und wir können die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse bestimmen wie z.B. “Ich gewinne einen der Hauptpreise.” oder “Ich gewinne keinen Trostpreis.” Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit teilen wir die Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ergebnisse durch die Anzahl aller Ergebnisse. Im ersten Fall ist die Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ergebnisse die Anzahl der Hauptpreise. Die Anzahl aller Ergebnisse ist die Anzahl der Lose.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Mal wieder super video

    Von Michael W., vor mehr als 2 Jahren
  2. @Mustafa H.:
    Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht K., vor etwa 4 Jahren
  3. Ich verstehe das immer noch nicht so ganz also was ein laplace Versuch ist und wie man es herausfindet

    Von Mustafa H., vor etwa 4 Jahren

Laplace-Experimente – Tombola – Aufgabe 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Laplace-Experimente – Tombola – Aufgabe 1 kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu dem dargestellten Zufallsversuch.

    Tipps

    Beachte: Es handelt sich hier um ein Laplace-Experiment. Das bedeutet, dass jedes der Ergebnisse der Grundmenge die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

    Wenn bei einem Laplace-Experiment die Anzahl der Elemente der Grundmenge $n$ ist, so hat jedes Ergebnis $e$ die Wahrscheinlichkeit

    $P(e)=\frac1n$.

    Lösung

    Das oben dargestellte Zufallsexperiment, das einmalige Ziehen einer Zahl, ist ein Laplace-Experiment. Das bedeutet, dass jedes Ergebnis $e$ der Grundmenge die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Die Wahrscheinlichkeit ist:

    $P(e)=\frac1{|G|}$.

    Dabei ist $|G|$ die Kardinalität von $G$. Das heißt die Anzahl der Elemente, die sich in $G$ befinden.

    Schauen wir uns einmal die Grundmenge bei diesem Zufallsexperiment an:

    $G=\{1;2;...;90\}$.

    Das sind die Zahlen von $1$ bis $90$, welche sich in der Lostrommel befinden. Damit ist $|G|=90$.

    Somit ergibt sich $P(e)=\frac1{90}$ für jedes Ergebnis $e$ in der Grundmenge.

    Da es insgesamt $14$ Gewinne gibt, verbleiben $90-14=76$ Nieten. Das ist die Anzahl der Ergebnisse in dem Ereignis kein Preis.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem Los keinen Preis gewinnt.

    Tipps

    Es gilt die Formel nach Laplace bei einem Laplace-Experiment:

    $P(A)=\frac{|A|}{|G|}=\frac{\text{Anzahl aller für } A \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$.

    Die Grundmenge ist $G=\{1;2;...;90\}$.

    Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses $e$ ist $P(e)=\frac1{90}$.

    Es gibt $14$ Gewinne. Nun musst du schauen, wie viele Lose es insgesamt gibt. Für alle anderen Lose erhältst du also keinen Preis.

    Lösung

    Bei Laplace-Experimenten kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ mit der Formel nach Laplace berechnet werden:

    $P(A)=\frac{|A|}{|G|}=\frac{\text{Anzahl aller für } A \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$.

    Hier ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „kein Preis“ gesucht.

    • Du musst dir also deutlich machen, wie viele Ergebnisse in diesem Ereignis liegen. Da es $14$ Gewinne gibt, gibt es $90-14=76$ Nieten (Lose, die nicht gewinnen). Dies ist auch die Anzahl der Ergebnisse in dem Ereignis „kein Preis“. Dies sind die günstigen Ergebnisse.
    • Die Menge der möglichen Ergebnisse ist $90$.
    Schließlich kannst du wie folgt rechnen:

    $P($„kein Preis“$)=\frac{76}{90}=\frac{38}{45}=0,8\bar4\approx 0,8444$.

  • Bestimme die Grundmenge des Zufallsexperimentes sowie die Ereignisse.

    Tipps

    Eine Primzahl ist durch genau $2$ verschiedene Zahlen teilbar:

    • durch $1$ und
    • durch sich selbst.
    $1$ ist dementsprechend keine Primzahl.

    Beachte: Es ist ein Unterschied, ob größer als $3$ oder größer oder gleich $3$ angeben wird.

    Größer als $3$ beinhaltet die $3$ nicht. Größer oder gleich $3$ beinhaltet die $3$.

    Lösung

    Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bei Laplace-Experimenten ist es sinnvoll, sich folgende Dinge zu notieren:

    • die Grundmenge $G$ und die Anzahl der Elemente in dieser Menge (mathematischer Ausdruck: $|G|$) sowie
    • jedes Ereignis $E$ in Mengenschreibweise und die Anzahl der Elemente in diesem Ereignis ($|E|$).
    Dann ist $P(E)=\frac{|E|}{|G|}$ die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$.

    Beim einmaligen Werfen eines handelsüblichen Spielwürfels ist die Grundmenge die Menge mit den Zahlen von $1$ bis $6$, also $G=\{1;2;3;4,5;6\}$.

    Schauen wir uns nun die verschiedenen Ereignisse an.

    • $A$: Es wird eine gerade Augenzahl geworfen. Dann ist $A=\{2;4;6\}$.
    • $B$: Es wird eine Primzahl geworfen. Dann ist $B=\{2;3;5\}$.
    • $C$: Es wird eine Augenzahl größer als $4$ geworfen. Dann ist $C=\{5;6\}$.
    • $D$: Es wird eine durch $3$ teilbare Augenzahl geworfen. $D=\{3;6\}$.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

    Tipps

    Die Anzahl der Elemente in der Grundmenge beträgt...

    • ...bei der Urne $5$.
    • ...bei dem Würfel $6$.
    • ...bei dem Tetraeder $4$.

    Mache dir jeweils klar, welche Ergebnisse in dem Ereignis liegen, und zähle diese.

    Es gilt:

    $P(E)=\frac{|E|}{|G|}$.

    Dabei ist $|E|$ die Anzahl der Ergebnisse in $E$. Ebenso ist $|G|$ die Anzahl der Ergebnisse in der Grundmenge.

    Lösung

    Bei einem Laplace-Experiment können die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mit der Formel nach Laplace berechnet werden:

    $P(A)=\frac{|A|}{|G|}=\frac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r } A \text{ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$.

    Urne

    • Es befinden sich $5$ Kugeln in der Urne, also ist $|G|=5$.
    • Davon sind $3$ grün, also ist $|$grün$|=3$.
    • Insgesamt erhältst du $P($grün$)=\frac35=0,6$.
    Würfel

    • Es befinden sich $6$ verschiedene Augenzahlen auf dem Würfel, also ist $|G|=6$.
    • Davon sind $3$ gerade, nämlich $2$, $4$ und $6$. Also ist $|$gerade Augenzahl$|=3$.
    • So kannst du $P($gerade Augenzahl$)=\frac36=0,5$ berechnen.
    Tetraeder

    • Es befinden sich $4$ verschiedene Augenzahlen auf dem Tetraeder, also ist $|G|=4$.
    • Davon sind $3$ kleiner als $4$, nämlich $1$, $2$ und $3$. Also ist $|$Augenzahl $<4|=3$.
    • Somit ist $P($Augenzahl $<4)=\frac34=0,75$.
  • Beschreibe, was ein Laplace-Experiment ist.

    Tipps

    Wenn du einen Würfel wirfst, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.

    Hinweis: Wir gehen hier von einem nicht manipulierten Würfel aus.

    Wenn du dieses Glücksrad drehst und jedes der fünf Felder, auf welches der Pfeil zeigt, für sich betrachtest, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.

    Wenn du dieses Glücksrad drehst und die Farbe betrachtest, auf welche der Pfeil zeigt, handelt es sich zwar um ein Zufallsexperiment, allerdings nicht um ein Laplace-Experiment.

    Es gilt:

    • $P($rot$)=\frac25=P($blau$)$ und
    • $P($grün$)=\frac15$.
    Lösung

    Ein Laplace-Experiment ist ein spezielles Zufallsexperiment. Da es sich um ein Zufallsexperiment handelt, ist klar, dass der Ausgang dieses Experimentes nicht vorhersehbar ist.

    Was ist nun das Besondere an einem Laplace-Experiment?

    Schaue dir das Beispiel eines Spielwürfels mit den Augenzahlen von $1$ bis $6$ an. Jede dieser Augenzahlen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac16$ gewürfelt, vorausgesetzt, es handelt sich um einen perfekten Würfel. Das Werfen mit einem Würfel ist ein Laplace-Experiment.

    Allgemein gilt, dass bei einem Laplace-Experiment jedes Ergebnis der Ergebnis- oder auch Grundmenge die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

  • Berechne die jeweilige Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Wie viele Zahlenpaare gibt es?

    Für jede der $6$ Möglichkeiten des roten Würfels gibt es wieder $6$ des grünen Würfels.

    Beachte, dass die beiden Ergebnisse $(1|2)$ und $(2|1)$ unterschieden werden.

    Mache dir jedes der Ereignisse als Menge klar.

    Schaue dir das folgende Beispiel an.

    $E$: Die Summe der Augenzahlen ist $5$.

    Dann ist $E=\{(1|4);(2|3);(3|2);(4|1)\}$ und damit $|E|=4$.

    Somit ist $P(E)=\frac4{36}=\frac19$.

    Lösung

    Die Grundmenge ist $G=\{(1|1);(1|2);...;(1|6);(2|1);(2|2);...;(2|6);...;(6|6)\}$. Es befinden sich $|G|=36$ Ergebnisse in dieser Menge.

    $A$: Paul würfelt beide Male die gleiche Zahl.

    • $A=\{(1|1);(2|2);(3|3);(4|4);(5|5);(6|6)\}$ und damit $|A|=6$.
    • Somit ist $P(A)=\frac6{36}=\frac16$.
    $B$: Die Summe der beiden Augenzahlen ist größer als $10$.

    • $B=\{(5|6);(6|5);(6|6)\}$ und damit $|B|=3$.
    • Somit ist $P(B)=\frac3{36}=\frac1{12}$.
    $C$: Die Augenzahl des roten Würfels ist genau um $3$ kleiner als die des grünen.

    • $C=\{(1|4);(2|5);(3|6)\}$ und damit $|C|=3$.
    • Somit ist $P(C)=\frac3{36}=\frac1{12}$.
    $D$: Die Augenzahl des roten Würfels ist mindestes $3$ kleiner als die des grünen.

    • $D=\{(1|4);(1|5);(1|6);(2|5);(2|6);(3|6)\}$ und damit $|D|=6$.
    • Somit ist $P(D)=\frac6{36}=\frac16$.
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