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Kugelvolumen – Aufgabe „10 000 Kugeln“

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Martin Wabnik
Kugelvolumen – Aufgabe „10 000 Kugeln“
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Kugelvolumen – Aufgabe „10 000 Kugeln“

Im Video siehst du 10000 Kugeln. Jede Kugel hat einen Durchmesser von 5,8 cm und eine Wandstärke von 0,4 mm. Die Frage ist nun: Wie groß ist der Radius einer Kugel, die das gleiche Volumen hat wie alle 10000 Kugeln zusammen? Wie groß ist eine Kugel, die nur aus dem Kunststoff der 10000 Kugeln besteht? Das Lustige an diesen Aufgaben ist nicht nur, dass man sie aus einem Bällebad heraus moderieren kann, sondern auch, dass man vom Ergebnis überrascht ist, weil man mit dem gesunden Menschenverstand die Lage anders einschätzt als sie ist. Also dann: Lass’ dich überraschen.

Transkript Kugelvolumen – Aufgabe „10 000 Kugeln“

Hallo, wir haben unsere freundliche Kettenaufgabe. Ich habe diese Kette so hochgehalten. Dann haben wir festgestellt, das ist ungefähr eine Parabel. Wir haben die Parabel ungefähr gezeichnet, mit den entsprechenden Angaben. Angaben sind hier in Zentimetern. Also hier in die Richtung 25 Zentimeter, in die auch 25 Zentimeter, nach unten haben wir 50 Zentimeter. Und wir haben auch schon die Funktionsgleichung dazu. Nämlich y=(2/25)×x2-50. Und jetzt schließt sich eine Aufgabe an aus dem Anforderungsbereich drei. Der ist “Verallgemeinern und reflektieren”. Und die Frage ist. Schätze die Länge der Kette. Und zwar zwischen den beiden Aufhängungspunkten, oder zwischen den beiden Punkten an der ich die Kette gehalten habe. Natürlich nicht die gesamte Kette. Nicht das, was übergestanden hat. So, wenn die Aufgabe also so allgemein formuliert ist, gehört sie eben sicher zum Anforderungsbereich drei. Du sollst hier natürlich - das steht dann auch mit in der Aufgabenstellung drinnen - du sollst natürlich deinen Ansatz beschrieben, du sollst beschreiben, wie du vorgegangen bist, entsprechende Hilfslinien einführen, hier in diese Zeichnung. Das soll natürlich alles ein bisschen begründet ablaufen. Also, wenn du jetzt einfach sagst, och ich glaube mal so lang müsste das sein. Dafür gibt es keine Punkte, wenn du da nicht irgendwas zu begründest. Ja, wenn die so offen gestellt ist, die Aufgabe, dann muss man sich viel überlegen und muss viel Eigenleistung bringen. Was aber die Sache dramatisch ändert, ist, wenn man zwei, genauer gesagt, drei Hilfslinien einführt. Und das ist einmal diese hier. Und diese. Und diese. So. Wenn man jetzt die Längen dieser Linien hier berechnet, manchmal muss man sie ja nur ablesen hier, dann erhält man eine Schätzung nach oben und nach unten, wie lang diese Kette hier sein könnte. Und wenn das schon gegeben ist, dann würde ich sagen, verwandelt sich das in den Anforderungsbereich zwei. Es ist jetzt wirklich nicht mehr so viel zu tun. Man muss auf ein, zwei Sachen kommen und man sollte sich da zwischen drinnen nicht vertun. Also das ist, sage ich mal, noch der Anforderungsbereich zwei. Der heißt übrigens “Zusammenhänge herstellen”. Ja. Wie gehe ich jetzt hier vor? Ich fange mal mit dem ganz einfachen an. Also ich glaube die Logik ist klar. Wenn ich jetzt diese beiden Strecken hier addiere. Und das kann ich hier auf der anderen Seite natürlich auch machen, dann ist die Gesamtlänge dieser Strecken größer als die Gesamtlänge dieser Parabel, oder dieses Parabelstücks. Die Strecke von hier bis hier ist 25 Zentimeter. Die Strecke von hier bis hier ist 50 Zentimeter. Und das Ganze muss ich jetzt mit zwei multiplizieren. Weil das ja hier auf der anderen Seite auch noch ist. Und dann habe ich hier also, 2×50 = 100 2×25 = 50. 150 Zentimeter. Ich schreibe einfach nur die 150 hin. Man muss ja immer ein bisschen aufpassen, bei den benannten Zahlen. Wenn hier Zahlen steht, können da nicht Zentimeter rauskommen. Also entweder man rechnet hier und hier mit Zentimetern oder man rechnet hier und hier mit Zahlen. Der nächste Punkt ist, ich kann diese Verbindungslinie hier berechnen. Und zwar mit dem Satz des Pythagoras. Klar, ich habe hier ein rechtwinkliges Dreieck. Das ist im Kartesischen Koordinatensystem so üblich. Diese Strecke ist 50, diese Strecke ist 25. Also haben wir, dass diese Strecke hier folgendermaßen berechnet werden kann. 50 zum Quadrat ist die eine Kathete. Plus 25 zum Quadrat. Das ist die andere Kathete. Wenn ich daraus die Wurzel ziehe, dann erhalte ich diese Strecke. Und wenn ich das Ganze mit zwei multipliziere, dann kann ich mir das hier auch nochmal vorstellen, das Ganze. Und, dann erhalte ich eine Abschätzung nach unten. Dieses Parabelstücks. Ja. Und das würde ich dann also in meinen Taschenrechner eingeben in der Prüfung. Mache ich jetzt auch übrigens. Es ist ein bisschen - also man kann es vielleicht auch ein bisschen schätzen. Also wenn ich jetzt 50 zum Quadrat habe, das ist, kann ich nicht mehr rechnen, 2500 und 25 zum Quadrat ist 625, also die Wurzel aus 3125 ist hier gesucht. Und das Ganze muss man dann noch mit 2 multiplizieren. Ja, das wird also - Was liegt denn da in der Nähe? - wenn ich 3600 nehme, das ist 60×60 und 50×50 = 2500. Und ich habe 3125. Dann schätze ich mal, dass das bei 56 liegt oder so. 56, 57 rate ich jetzt. Aber das reicht völlig, um das hier abzuschätzen. Es kommt nur darauf an, dass du halt nicht irgendwas ausrechnest, was überhaupt nicht sein kann und das nicht feststellst. Das nicht bemerkt, dass das falsch ist. Gut, und dann muss man das noch mit zwei multiplizieren, also irgendwas über 100 wird rauskommen. So, dann möchte ich mal zu Tat schreiten. Also 2500 + 625, das darf ich gleich so hier eintippen, und daraus die Wurzel ist 55,9. Na, wer hätte das gedacht, dass ich das so gut schätzen kann mit den 56. Aber 57 habe ich ja auch gesagt. Egal. Das ist die Wurzel, das muss ich noch mit zwei multiplizieren. Und das ist 11,8 circa. Und das ist jetzt hier unsere Abschätzung nach oben. Ja, damit ist jetzt also der größte Teil hier erledigt. Man kann jetzt noch natürlich dazu sagen, dass man einfach mal den Mittelwert aus beiden bildet und dann sagt, da kommen wir der Kette dann tatsächlich nah. Das arithmetische Mittel. Ja, dann muss ich eben 150 + 111,8 rechnen und das durch zwei teilen. Dann habe ich das arithmetische Mittel. Bitte, 130,9 habe ich hier. Das schreibe ich nicht nochmal alles auf. Also das kannst du dann natürlich in deinem Heft vervollständigen. Was das arithmetische Mittel ist, weißt du. Ja, 130,9. Wollen wir mal gucken, ob das stimmt. Also ich habe hier das markiert, kannst du jetzt gleich sehen. Hier ist ein schwarzer strich und da auch. Das war die tatsächliche Kettenlänge und jetzt messe ich das einfach mal nach. Das ist, oh, 115. Mhm. Naja. Also da sind wir mit dem arithmetischen Mittel eigentlich weiter weg, als bei dem unteren Wert hier, bei 115. Aber nun, so kann es gehen. Die Rechnung wäre auf jeden Fall richtig gewesen und dafür gibt es dann sicher die volle Punktzahl. Viel Spaß damit, tschüss.

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