Kugel – Volumen und Oberfläche

Kugel – Volumen und Oberfläche Übung

• Benenne die Eigenschaften von Kreisen und Kugeln.

  Tipps

  Die Oberfläche einer Kugel ähnelt der ebenen Kreislinie, deren Punkte vom Mittelpunkt denselben Abstand haben.

  Der Oberflächeninhalt einer Kugel wird in Einheiten gemessen, die das Quadrat einer Länge enthalten, beispielsweise in $\text{cm}^2$ oder $\text m^2$.

  Der Oberflächeninhalt einer Kugel ist viermal so groß wie der Flächeninhalt eines Kreises mit demselben Radius.

  Lösung

  Eine Kugel ist eine räumliche Figur, sie ähnelt dem Kreis als ebene Figur. Die Oberfläche der Kugel entspricht der Kreislinie, das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen entspricht der von der Kreislinie umgrenzten Kreisscheibe. Wie die Punkte der Kreislinie vom Mittelpunkt denselben Abstand haben, so besteht auch die Oberfläche der Kugel aus allen Punkten im Raum, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben.

  Folgende Aussagen sind demnach wahr:

  • Die Oberfläche einer Kugel besteht aus allen Punkten im Raum, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben.
  • Der Radius eines Kreises ist der Abstand zwischen einem Punkt auf der Kreislinie und dem Mittelpunkt des Kreises.
  • Die Fläche eines Kreises mit Radius $r$ beträgt $\pi r^2$.
  • Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r$ ist $4\pi r^2$.

  Diese Aussagen dagegen sind falsch:

  • Das Volumen einer Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben.

  Das Volumen der Kugel besteht aus den Punkten im Raum, die von der Kugeloberfläche eingeschlossen sind. Die Oberfläche der Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt denselben Abstand $r$ haben. Im Inneren liegen alle Punkte, deren Abstand zum Mittelpunkt kleiner als $r$ ist.

  • Der Radius einer Kugel ist der Abstand zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Punkt der Kugel.

  Der größtmögliche Abstand zweier Punkte der Kugeloberfläche ist der Durchmesser. Dieser ist z. B. der Abstand zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Punkt der Kugeloberfläche. Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.

  • Das Volumen einer Kugel wird in $\text{m}^2$ gemessen.

  Das Volumen misst den dreidimensionalen Raum im Inneren der Kugeloberfläche. Daher wird es in Einheiten gemessen, die die dritte Potenz einer Länge enthalten, z. B. $\text{cm}^3$ oder $\text m^3$. Es gibt aber auch Einheiten, die keine dritte Potenz enthalten, wie Liter. Dagegen sind Einheiten, die die zweite Potenz einer Länge enthalten, z. B. $\text{cm}^2$ oder $\text m^2$, stets Einheiten für Flächeninhalte.

• Gib die Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen einer Kugel wieder.

  Tipps

  Der Oberflächeninhalt einer Kugel ist viermal so groß wie der Flächeninhalt eines Kreises mit demselben Radius.

  Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $A=\pi r^2$.

  In den Formeln für den Oberflächeninhalt und das Volumen kommen keine höheren Potenzen von $\pi$ vor.

  Lösung

  Oberflächeninhalt der Kugel

  Die Formel für den Oberflächeninhalt $A$ einer Kugel mit Radius $r$ lautet:

  $A=4\pi r^2$

  Um den Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r=10~\text{cm}$ zu bestimmen, setzen wir in diese Formel $r=10~\text{cm}$ ein. Durch Quadrieren des Radius mitsamt der Einheit ermitteln wir den Oberflächeninhalt:

  $A= 4\pi \cdot 10^2~\text{cm}^2 =400\pi~\text{cm}^2$

  Dies ist der genaue Wert des Oberflächeninhaltes. Um zu wissen, welchem Wert in Dezimalzahlen das ungefähr entspricht, setzen wir $\pi\approx 3,14$. Damit erhalten wir:

  $A \approx 400 \cdot 3,14~\text{cm}^2 \approx 1 256~\text{cm}^2$

  Volumen der Kugel

  Für das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ gilt die Formel:

  $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

  Um nun das Volumen einer Kugel mit Radius $r=10~\text{cm}$ zu bestimmen, setzen wir $r=10~\text{cm}$ in diese Formel ein. Mit der dritten Potenz des Radius und seiner Einheit ermitteln wir das Volumen:

  $A= \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3~\text{cm}^3 =\frac{4}{3} \cdot 1 000\pi~\text{cm}^3$

  Wie zuvor beim Oberflächeninhalt ist dies der genaue Wert des Volumens. Um einen Dezimalwert zu erhalten, setzen wir wieder $\pi \approx 3,14$ und notieren von dem Ergebnis nur die Stellen vor dem Komma. So ergibt sich:

  $V \approx \frac{4}{3} \cdot 1 000 \cdot 3,14~\text{cm}^3 \approx 4 187~\text{cm}^3$

• Ordne die Oberflächeninhalte und Volumina zu.

  Tipps

  Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Durchmesser $r$ ist derselbe wie der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$.

  Eine Kugel mit dem Radius $r=\frac{3}{2}~\text{cm}$ hat folgenden Oberflächeninhalt:

  $A= 4\pi \frac{3^2}{2^2}~\text{cm}^2 = 9 \pi ~\text{cm}^2$

  Verdoppelt man den Radius einer Kugel, so vervielfacht sich das Volumen um den Faktor $2^3=8$.

  Lösung

  Zur Berechnung des Oberflächeninhaltes $A$ und des Volumens $V$ einer Kugel mit Radius $r$ verwendet Ninja-Nina diese Formeln:

  $ \begin{array}{ll} A &= 4\pi r^2 \\ V &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{array} $

  Durch Einsetzen der angegebenen Werte für den Radius $r$ berechnen wir für Ninja-Nina folgende Oberflächeninhalte und Volumina:

  $ \begin{array}{c|c|c} r & A & V \\ \hline 2~\text{cm} & 16~\pi~\text{cm}^2 & \frac{32}{3}\pi~\text{cm}^3 \\ \pi~\text{cm} & 4\pi^3~\text{cm}^2 & \frac{4}{3}\pi^4~\text{cm}^3 \\ \frac{2}{\sqrt{\pi}}~\text{cm} & 16~\text{cm}^2 & \frac{32}{3\sqrt{\pi}}~\text{cm}^3 \\ \frac{3}{2}~\text{cm} & 9\pi~\text{cm}^2 & \frac{9\pi}{2}~\text{cm}^3 \end{array} $

  Dieser Tabelle kann Ninja-Nina die Zuordnungen entnehmen.

• Ordne die Werte für Umfang, Flächeninhalt, Oberflächeninhalt und Volumen den Radien zu.

  Tipps

  Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r$ entspricht dem Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $2r$.

  Zu jedem Radius gehört jeweils höchstens ein Wert für $U$, $A$, $O$ und $V$.

  Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r=\pi~\text{cm}$ beträgt $\frac{4}{3}\pi \cdot (\pi~\text{cm})^3 = \frac{4}{3} \pi^4~\text{cm}^3$.

  Lösung

  Zur Berechnung des Umfangs $U$ und des Flächeninhaltes $A$ eines Kreises mit Radius $r$ bzw. des Oberflächeninhaltes $O$ und des Volumens $V$ einer Kugel mit Radius $r$ verwenden wir folgende Formeln:

  $ \begin{array}{ll} U &= 2\pi r \\ A &= \pi r^2 \\ O &= 4\pi r^2 \\ V &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{array} $

  In diese Formeln setzen wir die Werte $r=1~\text m$ und $r=2~\text m$ und $r=\frac{2}{\sqrt{\pi}}~\text m$ ein und erhalten folgende Ergebnisse:

  $ \begin{array}{l|l|l|l|l} r & U & A & O & V \\ \hline 1~\text m & 2\pi~\text m & \pi~\text{m}^2 & 4\pi~\text{m}^2 & \frac{4}{3} \pi~\text{m}^3 \\ 2~\text m & 4\pi~\text m & 4 \pi~\text{m}^2 & 16 \pi~\text{m}^2 & \frac{32}{3} \pi~\text{m}^3 \\ \frac{2}{\sqrt{\pi}}~\text m & 4 \sqrt{\pi}~\text m & 4~\text m^2 & 16~\text m^2 & \frac{32}{3\sqrt{\pi}}~\text m^3 \end{array} $

  Der Tabelle kannst du die jeweiligen Zuordnungen entnehmen.

• Berechne den Oberflächeninhalt einer Kugel.

  Tipps

  Mit Folie kann man gut Dinge einwickeln. Bei runden Objekten wirft die Folie dann aber Falten. Dann braucht man eher etwas mehr Folie.

  In der Formel für das Volumen oder den Rauminhalt einer Kugel kommt der Radius vor. Dort steht er in der dritten Potenz.

  Lösung

  Oberflächeninhalt der Kugel

  Um den Oberflächeninhalt $A$ ihrer Kugel zu berechnen, verwendet Ninja-Nina diesw Formel:

  • $A=4\pi r^2$

  In dieser Formel ist $r$ der Radius der Kugel.

  Ninja-Ninas Kugel hat einen Radius von $r=10~\text{cm}$. Diesen Wert setzt sie an Stelle von $r$ in die Formel für den Oberflächeninhalt ein. So erhält sie folgende Rechnung:

  $A=4\pi \cdot 10^2~\text{cm}^2 = 400\pi~\text{cm}^2$

  Um den Oberflächeninhalt als Dezimalzahl zu schreiben, setzt Ninja-Nina $\pi \approx 3,14$. Jetzt erhält sie folgende Rechnung:

  $A \approx 400 \cdot 3,14~\text{cm}^2 \approx 1 256~\text{cm}^2$

  So viel Folie braucht Ninja-Nina also mindestens.

• Analysiere die Berechnungen des Oberflächeninhaltes und des Volumens.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Quadrats mit Kantenlänge $2~\text{cm}$ ist $4~\text{cm}^2$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ ist kleiner als das eines kreisförmigen Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $r$. Denn das Volumen des Zylinders berechnet man wie folgt: Die kreisförmige Grundfläche hat den Flächeninhalt $\pi r^2$. Multipliziert mit der Höhe ergibt sich das Volumen $V= \pi r^3$.

  Die Berechnung des Zylindervolumens ist korrekt. Aber der Wert $V= \pi r^3$ ist nicht größer, sondern kleiner als das Volumen einer Kugel mit Radius $r$. Denn für die ist ja $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

  • Der Flächeninhalt eines Quadrats der Kantenlänge $2\pi~\text{cm}$ ist dasselbe wie der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $1~\text{cm}$.

  Der Flächeninhalt eines Quadrats mit Kantenlänge $2\pi~\text{cm}$ beträgt $A=(2\pi~\text{cm}) \cdot (2\pi~\text{cm}) = 4\pi^2~\text{cm}^2$, aber der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $1~\text{cm}$ ist $A = 4\pi 1^2~\text{cm}^2 = 4\pi~\text{cm}^2$.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Eine Kugel vom Radius $r=10~\text{cm}$ hat ein Volumen von etwa $V \approx 4 187~\text{cm}^3$. Das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge $10~\text{cm}$ ist viel kleiner.

  Das Würfelvolumen beträgt $V=(10~\text{cm})^3 = 1 000~\text{cm}^3$. Das ist tatsächlich viel weniger als $4 187~\text{cm}^3$.

  • Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $\frac{1}{4}~\text{m}$ ist kleiner als der Flächeninhalt eines Quadrats mit Kantenlänge $1~\text{m}$.

  Der Flächeninhalt eines solchen Quadrats ist $A=1~\text{m}^2$. Der Oberflächeninhalt beträgt $A= 4\pi r^2 = 4 \pi \cdot \frac{1}{4^2}~\text{m}^2 = \frac{\pi}{4}~\text{m}^2$. Mit $\pi \approx 3,14 < 4$ ist $\frac{\pi}{4} < 1$. Das heißt, der Oberflächeninhalt der Kugel ist kleiner als der Flächeninhalt des Quadrats.

  • Der Oberflächeninhalt einer Kugel ist viermal so groß wie der Flächeninhalt des Kreises, der vom Äquator begrenzt wird.

  Die Formel für den Oberflächeninhalt lautet: $A = 4\pi r^2$. Der Radius des Äquators ist der Radius der Kugel. Daher hat der Kreis in der Äquatorebene den Flächeninhalt $\pi r^2$. Der Oberflächeninhalt ist also viermal so groß wie der Flächeninhalt des Äquatorkreises.