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Klammern auflösen – Übung 09:43 min

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Transkript Klammern auflösen – Übung

Hallo! In diesem Video siehst du ein paar Übungsaufgaben zum Auflösen von Klammern. Hier ist schon eine solche Übungsaufgabe. Das ist ein Term, der Klammern enthält. Und dieser soll in einen ergebnisgleichen Term umgewandelt werden, der keine Klammern enthält. Um den Rechnungen hier folgen zu können, ist es wichtig, dass du bereits weißt, wie man Klammern auflöst, Warum das so gemacht wird. Und du solltest natürlich das Distributivgesetz kennen, denn in diesem Film kommen diese Erklärungen nicht vor, sondern nur die Übungsaufgaben. Und du hast sicher am meisten von diesem Film, wenn du die Übungsaufgaben erst selber rechnest, den Film solange anhältst, und erst, wenn du selber zu einem Ergebnis gekommen bist, dann mit den Rechnungen vergleichst, die ich hier anschreibe. Also werden wir konkret. Wir müssen, um die Klammer hier aufzulösen, auf diesen Term das Distributivgesetz anwenden. Und das bedeutet, dass wir im Distributivgesetz für die Variablen etwas anderes einsetzen. Wir können Zahlen einsetzen, wir können auch andere Variablen einsetzen oder auch größere Terme. Dazu habe ich das Distributivgesetz hier nochmal mit diesen Kästchen aufgeschrieben, damit ich euch besser zeigen kann, wie man was einsetzen kann. Für das a steht natürlich hier dieses rote Kästchen, für das b das grüne Kästchen und so weiter. Und für das a kann ich hier die 3 einsetzen, für b die 2 und für c die 4. Nun steht hier der gleiche Term wie hier. Und deshalb können wir jetzt das Distributivgesetz anwenden. Das bedeutet, die Ersetzung wird hier ganz genauso gemacht, und zwar für a wird wieder 3 eingesetzt, für b 2, für a nochmal die 3 und für c die 4. Nun kann man das Ganze hier ohne Kästchen abschreiben und erhält den gesuchten Term, nämlich 3×2 + 3×4. Die zweite Übungsaufgabe sieht so ähnlich aus wie die erste, nur mit dem Unterschied, dass sie keine ganzen Zahlen, sondern Brüche enthält. Das ist aber kein Problem, denn für die Variablen kann man im Distributivgesetz alle Zahlen einsetzen. Für das a kann man 1/2 einsetzen, und weil die Kästchen so schmal sind, schreibe ich jetzt nicht 1/2, sondern die entsprechende Dezimalzahl, das ist 0,5. Für b kann man 3/4 einsetzen, als Dezimalzahl ist das 0,75, und für c kann man 3/2 einsetzen und das ist 1,5. Nun steht hier auf der linken Seite also dieser Term, zu dem wir einen klammerfreien, ergebnisgleichen Term suchen. Und den erhalten wir, indem wir jetzt das Distributivgesetz anwenden und die gleiche Ersetzung wie vorne hier auch machen. Also für a schreiben wir 0,5, für b 0,75, für a nochmal 0,5 und für c 1,5. Ja, und jetzt müssen wir das Ganze nur noch abschreiben ohne Kästchen, aber dann mit Brüchen natürlich. Das ist also 1/2×3/4 + 1/2×3/2. Und das ist der gesuchte Term. Die dritte Übungsaufgabe sieht wieder so ähnlich aus wie die erste, und man könnte jetzt versucht sein, das a durch 13 zu ersetzen, das b durch 4 und c durch 5 zu ersetzen, aber, wenn wir das machen würden, dann hätten wir hier auf dieser Seite nicht diesen Term stehen, denn hier steht ein Malzeichen und da ein Minuszeichen. So geht es nicht. Wir können aber diesen Term umschreiben, sodass wir das Distributivgesetz anwenden können. Und zwar können wir schreiben 13 + (-1)×(4 + 5). Auf diesen Teilterm hier können wir das Distributivgesetz anwenden, und zwar, indem wir a durch -1 ersetzen, b durch 4 und c durch 5. Dann entsteht nämlich dieser Term. Und dann können wir auf der rechten Seite die gleiche Ersetzung machen. a ersetzen wir durch (-1), b durch 4, a nochmal durch (-1) und c durch 5. Und dann kann man das ohne Kästchen abschreiben. Dann haben wir 13 + (-1)×4 + (-1)×5. Ja, und so lässt man das natürlich nicht stehen. Statt (-1)×4 kann man natürlich einfach - 4 schreiben. Dann braucht man natürlich auch kein Pluszeichen, was ich jetzt hier schon hier geschrieben hatte. Also einfach - 4 schreiben. Und hier braucht man dann auch kein Pluszeichen und das mal (-1). Dann kann man einfach - 5 schreiben. So, und jetzt werden die Übungsaufgaben immer komplizierter. Wir haben jetzt nicht nur ein Klammerpaar, sondern gleich zwei. Aber auch hierauf können wir das Distributivgesetz anwenden. Wenn wir uns das mal ansehen, wie ist denn dieses Gesetz hier aufgebaut. Wir haben vorne einen Term, der wird multipliziert mit einer Klammer, in der sich eine Summe befindet. Wenn wir das jetzt einfach mal hier als vorderen Term sehen, das (x - y), dann haben wir hier eine Summe in der Klammer stehen, mit der dieser Term multipliziert wird. Also können wir einsetzen für a (x - y), für b können wir 3t einsetzen und für c können wir (-7) einsetzen. Da brauchen wir wieder die Klammer hier. Ja, und dann haben wir hier quasi den Term stehen, der hier auch steht, bis auf die Klammer hier um -7 und das Pluszeichen. Das braucht uns aber nicht weiter zu stören. Und dann können wir unsere Ersetzung machen, nämlich wieder (x - y) für a einsetzen, für b 3t, für a wieder (x - y) und für c (-7). Dann müssen wir noch abschreiben, nämlich (x - y)×3t + (x - y)×(-7). Ja, und jetzt wirst du vielleicht denken, "Na ja, es heißt ja hier Klammern auflösen", jetzt habe ich aber viel mehr Klammern als vorher. Na ja, diese Klammer hier um diese Summe, die ist jetzt nicht mehr da. Wir können aber auch noch ein bisschen Klammern vermeiden, indem wir nämlich statt -7 in Klammern -7 davor schreiben, vor das (x - y). Und 3t können wir auch vor die Klammer schreiben, das macht man oft so, das erhöht etwas die Lesbarkeit. Dann haben wir hier also 3t×(x - y) - 7×(x - y). Nun kommen wir zur letzten Übungsaufgabe und naja, was soll ich sagen, die ist schwer. Das sieht überhaupt nicht nach Distributivgesetz aus, man kann aber diesen Term so umformen, dass man das Distributivgesetz noch anwenden kann. Man braucht ein bisschen Böswilligkeit dazu vielleicht, kann sein. Was kann man machen? Man kann erst mal hier kürzen, nämlich mit (y + 1), denn das ist ja ein Faktor, deshalb kann man damit kürzen. Und dann kann man sowieso jeden Bruch auch als Produkt schreiben. Und das geht so. Man schreibt einfach 1 geteilt durch Nenner. Der Nenner ist bei uns jetzt nur noch x + 1 mal Zähler. Und der Zähler ist bei uns (x - 1). Und jetzt haben wir hier einen Term, der genauso aufgebaut ist wie hier. Diese Klammer hier, die können wir loswerden mit dem Distributivgesetz, indem wir nämlich a ersetzen durch 1/(x+1). b ersetzen wir durch x und c durch (-1). Dann haben wir hier wieder diesen Term stehen und dann können wir die Ersetzung noch mal machen. a wieder durch 1/(x+1) ersetzen, b durch x, a durch 1/(x+1) und c durch (-1). Und dann schreibe ich das noch ab hier. Also 1/(x+1)×x + 1/(x+1)×(-1). Und man kann das natürlich noch ein bisschen vereinfachen. Das würde man normalerweise auch tun hier, wenn man eine solche Aufgabe bearbeitet. Man kann noch schreiben x/(x+1), indem man einfach das x hier wieder in den Nenner schreibt, und statt mit (-1) zu multiplizieren, kann man gleich minus schreiben und dann haben wir -1/(x+1). Und das ist ein klammerfreier Term. Ja, das war es zu diesen Aufgaben. Viel Spaß damit, tschüss.

45 Kommentare
  1. Hallo Villalouisa,
    kannst du genauer sagen, was die eigentlichen Schwierigkeiten für dich sind? Dann können wir dir hoffentlich helfen.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor 5 Monaten
  2. Die eigentlichen Schwierigkeiten sind überhaupt NICHT erklärt. Bin einfach nur verwirrt.

    Von Villalouisa, vor 5 Monaten
  3. Sehr gute Aufgaben

    Von Max.Ko, vor 8 Monaten
  4. danke, ihr habt mir wirklich geholfen

    Von Didro, vor 9 Monaten
  5. Ich verstehe nicht so ganz wo die (-1) herkommt

    Von Anja 93, vor 9 Monaten
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Klammern auflösen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Klammern auflösen – Übung kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne das Distributivgesetz.

    Tipps

    Unser Ziel ist es, einen Term, der Klammern enthält, in einen entsprechenden Term umzuwandeln, der keine Klammern enthält.

    Man multipliziert eine Summe mit einem Faktor, indem man jeden Summanden mit dem Faktor multipliziert und die Produkte addiert.

    Du kannst zwischen den Variablen $a$, $b$ und $c$ genauso wie bei der Multiplikation eines Faktors mit einer Klammer den Malpunkt weglassen.

    Lösung

    Das Wort distribuere kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „verteilen“.

    Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) besagt, dass es egal ist, ob du erst die Summe $(b+c)$ berechnest und dann mit dem Faktor $a$ multiplizierst, oder ob du erst beide Summanden mit $a$ multiplizierst und dann anschließend die Produkte $(a\cdot b)$ und $( a \cdot c)$ addierst.

  • Vereinfache den angegebenen Term soweit wie möglich.

    Tipps

    Schreibe als Erstes den Term so um, dass vor der Klammer ein Faktor steht, wende dann das Distributivgesetz an, vereinfache und berechne das Ergebnis.

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $.

    Was setzen wir für $a$ ein?

    Erinnere dich: Das Produkt zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist immer positiv. Und das Produkt zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen?

    Eine Summe wie $2 + (-1)$ kannst du auch als eine Differenz $2 - 1$ auffassen und umgekehrt.

    Lösung

    Wir schreiben als Erstes den gegebenen Term um, sodass wir das Distributivgesetz anwenden können. Wir lassen die $13$ unangetastet und schreiben sie nur ab. Doch das Minuszeichen vor der Klammer ist nichts anderes als eine $-1$. Da die Multiplikation mit $1$ neutral ist, wird die $1$ häufig weg- und nur das Vorzeichen stehengelassen. Durch das Umschreiben zu

    $13 - (4+5) =13 + (-1) \cdot (4+5) $

    können wir nun das Distributivgesetz

    $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $

    anwenden, wobei $a= (-1)$, $b=4$ und $c=5$ ist.

    Wir erhalten

    $13 + (-1)\cdot 4 + (-1)\cdot 5$

    und fassen das zusammen zu

    $13 - 4 - 5=4$.

    Du kannst dir als Eselsbrücke merken: Ein Minus vor einer Klammer dreht alle Vorzeichen der Summanden innerhalb der Klammer um.

  • Bestimme, welche Terme nach dem Distributivgesetz gleichwertig sind.

    Tipps

    Wende das Distributivgesetz $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ an.

    Fasse dein Ergebnis, falls möglich, zusammen.

    Beachte: Summanden dürfen vertauscht werden.

    Lösung

    Wir wenden das Distributivgesetz $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ auf alle vier Terme an, indem wir für $a$, $b$ und $c$ die passenden Werte einsetzen:

    • In $4 \cdot (5b-z)$ entspricht $a=4$, $b=5b$ und $c=-z$.
    • $z-(15b+5z)$ formen wir um zu $ z+(-1)\cdot (15b+5z)$, mit $a=-1$, $b=15b$ und $c=5z$.
    • In $\frac{1}{2} \cdot (10z - 24b)$ entspricht $a=\frac{1}{2}$, $b=10z$ und $c=-24b$.
    • Bei dem Term $(-z) \cdot (4+5b)$ erhalten wir für $a=-z$, $b=4$ und $c=5b$.
  • Entscheide, welche Terme wertgleich zum Ausgangsterm sind.

    Tipps

    Kannst du den Bruch kürzen?

    Schreibe den Bruch so um, dass du das Distributivgesetz anwenden kannst.

    Einen Bruch wie $\frac{m}{n}$ kann man als Produkt schreiben: $\frac{m}{n}=\frac{1}{n} \cdot m$.

    Lösung

    Im Zähler und Nenner des Ausgangsterms kommt der Faktor $(4s-5)$ vor, welchen wir als Erstes kürzen können. Somit erhalten wir

    $\frac{(4s-5)(at+6)}{(t^2-1)(4s-5)} = \frac{at+6}{t^2-1}$.

    Wir schreiben diesen Bruch als Produkt

    $\frac{at+6}{t^2-1} = \frac{1}{t^2-1} \cdot (at+6)$

    und wenden nun das Distributivgesetz $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ mit

    • $a= \frac{1}{t^2-1} $,
    • $b= at$ und
    • $c=6$
    auf den Term an und erhalten:

    $\frac{1}{t^2-1} \cdot (at+6) = \frac{1}{t^2-1} \cdot at + \frac{1}{t^2-1} \cdot 6 = \frac{at}{t^2-1} + \frac{6}{t^2-1}$.

  • Gib an, welche Terme gleichwertig sind.

    Tipps

    Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $

    Welcher Teil des Terms entspricht $a$, $b$ bzw. $c$?

    Wende das Distributivgesetz auf den gegebenen Term an und vergleiche deine Lösung mit den aufgelisteten Termen.

    Wandle die Dezimalzahlen in Brüche oder die Brüche in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können.

    Lösung

    Das Distributivgesetz lautet: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

    Als Erstes schauen wir, welche Zahlen aus unserem gegebenen Term $\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \right)$ dem $a$, $b$ und $c$ entsprechen.

    $a=\frac{1}{2}$, da das $a$ der Faktor vor der Klammer ist,

    $b=\frac{3}{4}$, da es der erste Summand in der Klammer ist und

    $c=\frac{3}{2}$, weil es der zweite Summand in der Klammer ist.

    Wir können jetzt also durch das Einsetzen der Werte eigenständig das Gesetz anwenden: $\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$.

    Da auch Dezimalzahlen gegeben sind, formen wir die Brüche in Dezimalzahlen um:

    $a = \frac{1}{2} = \frac{1\cdot 5}{2\cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5$

    $b = \frac{3}{4} = \frac{3\cdot 25}{4\cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$

    $c = \frac{3}{2} = \frac{3\cdot 5}{2\cdot 5} = \frac{15}{10} = 1,5$

    Wir setzen die Werte erneut in das Distributivgesetz ein und erhalten: $0,5 \cdot \left( 0,75 + 1,5 \right) = 0,5 \cdot 0,75 + 0,5 \cdot 1,5$.

  • Forme den gegebenen Term mit Hilfe des Distributivgesetzes schrittweise um.

    Tipps

    Um beide Klammern aufzulösen, musst du das Distributivgesetz öfter anwenden.

    Löse zunächst die hintere Klammer auf.

    Wie kannst du den entstandenen Term so umschreiben, dass du erneut das Distributivgesetz anwenden kannst?

    Lösung

    Wir wenden das Distributivgesetz $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ auf den Ausgangsterm an und erhalten:

    $(a-3b) \cdot (b-3a)=(a-3b) \cdot b + (a-3b) \cdot (-3a) = b \cdot (a-3b) + (-3a) \cdot (a-3b) $.

    Nun können wir das Distributivgesetz zwei weitere Male anwenden, zum Einen für $b \cdot (a-3b)$ und zum Anderen für $(-3a) \cdot (a-3b)$, sodass wir Folgendes erhalten:

    $b \cdot (a-3b) + (-3a) \cdot (a-3b) = b \cdot a + b \cdot (-3b) + (-3a) \cdot a + (-3a) \cdot (-3b)$.

    Wir fassen nun alles zusammen und erhalten:

    $b \cdot a + b \cdot (-3b) + (-3a) \cdot a + (-3a) \cdot (-3b) = ab - 3b^2 - 3a^2 + 9ab$

    $= 10ab - 3b^2 - 3a^2$.