Kegel – Volumen und Oberfläche

Kegel – Volumen und Oberfläche Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu dem Volumen und der Oberfläche von Kegeln.

  Tipps

  So sieht ein Kegel aus.

  Die Oberfläche eines Kegels besteht aus zwei Teilen.

  Lösung

  Diese Aussage ist falsch:

  „Kegel können auch eine dreieckige Grundfläche haben.“

  • Ein Kegel hat immer eine kreisförmige Grundfläche. Eine solche Figur mit dreieckiger Grundfläche ist eine Pyramide.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Bei einem Kegel wird normalerweise der Radius der Grundseite mit $r$, die Höhe mit $h$ und die Seitenlänge der Außenseite mit $s$ bezeichnet.“

  • So werden üblicherweise die Längen in einem Kegel bezeichnet.

  „Die Fläche, die den Kegel umschließt, wird Oberfläche genannt. Sie besteht aus der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$.“

  • Die Oberfläche eines Körpers ist die Fläche, die den Körper umschließt. Hier besteht diese Fläche aus den genannten Teilen.

  „Die Mantelfläche kannst du mit der Formel für Kreisausschnitte berechnen.“

  • Da die Mantelfläche aufgeklappt ein Kreisausschnitt ist, kannst du hier diese Formel anwenden.

  „Die Höhe eines Kegels wird von der Mitte der kreisförmigen Grundseite bis zur Spitze des Kegels gemessen.“

• Beschreibe, wie man die Oberfläche eines Kegels berechnet.

  Tipps

  Um die gesamte Oberfläche des Körpers zu bestimmen, addieren wir seine Teilflächen.

  Achtung! Der Radius $r$ in der Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts

  $A=\dfrac{b \cdot r}{2}$

  ist bei uns der Radius der Mantelfläche. Dieser ist gleich der Seitenlänge $s$ des Kegels.

  Um die Oberfläche des Kegels zu bestimmen, setzen wir die gegebenen Längen ein und rechnen aus.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die Oberfläche $O$ eines Kegels besteht aus zwei Teilen, nämlich der kreisförmigen Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$. Es gilt also:

  $O=G+M$“

  • Um die gesamte Oberfläche des Körpers zu bestimmen, addieren wir die Teilflächen.

  „Zunächst bestimmen wir die Fläche der kreisförmigen Grundseite. Dafür verwenden wir die Formel zur Bestimmung der Fläche eines Kreises. Also:

  $G=\pi r^2$“

  • Da die Grundfläche ein Kreis ist, können wir hier die Formel für die Fläche eines Kreises einsetzen.

  „Für die Mantelfläche des Kegels verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts:

  $A=\dfrac{b \cdot r}{2}$

  Hier bezeichnet $b$ die Bogenlänge des Kreisausschnitts. Da diese so groß ist wie der Umfang der Grundfläche $G$, können wir
  $b=2 \pi r$ setzen. Der Radius des Kreisausschnitts $r_K$ ist gleich der Seitenlänge $s$ des Kegels ($r_K = s$)."

  • Achtung! Der Radius $r$ in der Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts ist bei uns der Radius der Mantelfläche. Dieser ist gleich der Seitenlänge $s$ des Kegels. Die Bogenlänge $b$ ist gleich dem Umfang der Grundfläche.

  „Damit erhalten wir für die Formel der Mantelfläche:

  $A=\dfrac{2 \pi r \cdot s}{2}=\pi \cdot r \cdot s$“

  • Hier wurde die Formel für die Bogenlänge $b=2 \pi \cdot r$ und der Radius des Kreisausschnitts eingesetzt: $r=s$. Beachte, dass $r$ in der ersten und zweiten Formel nicht das Gleiche ist.

  „Zuletzt fügen wir alles zu einer Formel zusammen:

  $O=\pi r^2 +\pi \cdot r \cdot s$

  Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:

  $O= \pi \cdot (3~\text{m})^2+\pi \cdot 3~\text{m} \cdot 5~\text{m} \approx 75,4~\text{m}^2$“

  • Um die Oberfläche des Kegels zu bestimmen, setzen wir die gegebenen Längen ein und rechnen aus.

• Ermittle das Volumen der Kegel.

  Tipps

  Du kannst die Volumen der Kegel zuordnen, indem du die Formel für das Volumen eines Kegels herleitest.

  Wie bei einer Pyramide beträgt das Volumen:

  $V=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

  Hier ist die Grundseite kreisförmig. Also gilt:

  $V=\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$

  Lösung

  Du kannst die Volumen der Kegel zuordnen, indem du die Formel für das Volumen eines Kegels herleitest. Wie bei einer Pyramide beträgt das Volumen:

  $V=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

  Hier ist die Grundseite kreisförmig. Also gilt:

  $V=\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$

  Jetzt kannst du die gegebenen Größen in die Formel einsetzen und die Volumen berechnen. So erhältst du:

  • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (2~\text{cm})^2 \cdot 4~\text{cm} \approx 16,76 ~\text{cm}^2$

  • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (3~\text{cm})^2 \cdot 3~\text{cm} \approx 28,27 ~\text{cm}^2$

  • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (4~\text{cm})^2 \cdot 2~\text{cm} \approx 33,51 ~\text{cm}^2$

  • $V=\frac{1}{3} \cdot \pi (3~\text{cm})^2 \cdot 2~\text{cm} \approx 18,85 ~\text{cm}^2$

• Bestimme die Oberfläche der Kegel.

  Tipps

  Die Oberfläche eines Kegels besteht aus der kreisförmigen Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$.

  $O=G+M$

  Für die Mantelfläche erhältst du folgende Formel:

  $M=r \cdot \pi \cdot s$

  Lösung

  Die Oberfläche eines Kegels besteht aus der kreisförmigen Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$. Es gilt also:

  • $O=G+M$

  Da die Grundfläche kreisförmig ist, können wir diese Fläche wie folgt berechnen:

  • $G=\pi \cdot r^2$

  Die Mantelfläche $M$ ist ein Kreisausschnitt mit Radius $s$ und Bogenlänge $b=2 \pi r$. Damit erhalten wir:

  • $M=r \cdot \pi \cdot s$

  Zusammen erhalten wir folgende Formel:

  • $O=\pi \cdot r^2 +\pi \cdot r \cdot s$

  Damit können wir die Oberflächen der Kegel bestimmen, indem wir die Werte aus den Zeichnungen ablesen und in die Formel einsetzen. So erhalten wir:

  • $O=\pi \cdot (2~\text{cm})^2 +\pi \cdot 2~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \approx 37,70~\text{cm}^2$

  • $O=\pi \cdot (3~\text{cm})^2 +\pi \cdot 3~\text{cm} \cdot 6~\text{cm} \approx 84,82~\text{cm}^2$

  • $O=\pi \cdot (1~\text{cm})^2 +\pi \cdot 1~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} \approx 12,57~\text{cm}^2$

  • $O=\pi \cdot (5~\text{cm})^2 +\pi \cdot 5~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} \approx 157,08~\text{cm}^2$

• Beschreibe, wie man das Volumen eines Kegels berechnet.

  Tipps

  Beachte, dass die Grundfläche kreisförmig ist.

  Du kannst hier also die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises einsetzen:

  $G= \pi r^2$

  Setze am Schluss die gegebenen Größen in die Formel ein und rechne aus.

  Lösung

  So sieht die vollständige Rechnung aus. Beachte, dass die Grundfläche kreisförmig ist. Deshalb kannst du hier die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises einsetzen:

  $G= \pi r^2$

  Anschließend setzt du die gegebenen Größen in die Formel ein und rechnest aus.

• Ermittle das Volumen und die Mantelfläche des Kegels.

  Tipps

  Die Länge der Seitenkante kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Denn die Längen $r$, $h$ und $s$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

  Es gilt:

  $r^2+h^2=s^2 ~\Leftrightarrow s= \sqrt{r^2+h^2} $

  Lösung

  Die Länge der Seitenkante kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Denn die Längen $r$, $h$ und $s$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Hierbei sind $r$ und $h$ Katheten und $s$ die Hypotenuse. Also gilt:

  $r^2+h^2=s^2 ~\Leftrightarrow s= \sqrt{r^2+h^2} $

  Eingesetzt erhalten wir:

  • $s=\sqrt{(9~\text{m})^2+(3~\text{m})^2} \approx 9,49~\text{m}$

  Die Mantelfläche können wir mit der bekannten Formel $M=r \cdot \pi \cdot s$ berechnen und erhalten mit $s \approx9,49~\text{m}$:

  • $M=9~\text{m}\cdot \pi\cdot 9,49~\text{m}\approx 268,32 ~\text{m}^2$

  Mit $V=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h$ erhalten wir für das Volumen:

  • $V=\frac{1}{3} \pi (9~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 254,47 ~\text{m}^3$