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Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graph

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik

Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graph

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graph

In diesem Video geht es um dieses Aufgabenschema: Bestimme die Gleichung einer linearen Funktion t(x), die den Graphen einer gegebenen Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle berührt. Oder - anders formuliert: Finde die Tangente t(x) an den Funktionsgraphen einer gegebenen Funktion f(x) an einer gegebenen Stelle. Da es um eine lineare Funktion geht, suchen wir eine Funktion t(x) mit der Funktionsgleichung y=mx+b. Wir haben die Variablen m und b zu bestimmen. Dazu brauchen wir zwei Gleichungen. Diese Gleichungen erhalten wir aus den Bedingungen, die in der Aufgabenstellung versteckt sind. Damit der Graph der gesuchten Funktion t(x) den Graphen der gegebenen Funktion f(x) berühren kann, müssen an dieser Stelle die Funktionswerte beider Funktionen gleich sein. Also haben wir f(x)=t(x). Damit der Graph der gesuchten Funktion t(x) Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion f(x) ist, müssen an dieser Stelle die Werte der Ableitungen beider Funktionen gleich sein. Also haben f’(x)=t’(x). Diese Gleichungen schreiben wir dann mit den konkreten Termen aus, lösen die Gleichungen entsprechend und finden so die gesuchten Werte der Variablen m und b. Im Video rechnen wir das ganze mit einer Exponentialfunktion durch. Das gezeigte Verfahren ist aber grundsätzlich auf alle Funktionen anwendbar. Die Zeichnung, die du im Video sehen kannst, stellt nur das für die Aufgabe relevante Schema und nicht den Verlauf des tatsächlichen Graphens der Funktion dar.

Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graph

Hallo. Es geht um exponentielle Wachstumsfunktionen und speziell darum, wie wir die Gleichung einer Tangente bestimmen können, die den Graphen der Funktion an einer vorgegebenen Stelle berührt. Ok, Graphen von Wachstumsfunktionen sehen meist ein bisschen anders aus, aber das ist nur eine Veranschaulichung. Schauen wir uns erst einmal die Aufgabe in schriftlich an. Gegeben ist die Exponentialfunktion f(x) = 0,1x22e-0,2x und deren Ableitung f’(x) = (-0,02x2+0,2x)e-0,2x. Und gesucht ist die Gleichung der Tangente t(x) an den Graphen von f(x) an der Stelle x = 5. Ok, wie können wir da vorgehen? Wir suchen eine lineare Funktion, das heißt eine Funktion mit der Funktionsgleichung t(x) = mx+b. Ja, t steht jetzt für Tangente. So und dann können wir uns überlegen, was wir in der Mittelstufe gelernt haben. Ja, was braucht man, um eine lineare Funktion zu bestimmen? Wir brauchen entweder zwei Punkte des Graphen oder wir brauchen einen Punkt und die Steigung. Was wissen wir denn über diese Tangente in diesem Fall? Wir wissen, dass die Tangente den Graphen von f(x) an der Stelle 5 berührt. Das bedeutet, dass t(x) und f(x) an dieser Stelle den gleichen Funktionswert haben. Also können wir schreiben: f(5) = t(5) . Wir wissen außerdem, dass die Tangente den Graphen von f(x) an der Stelle 5 berührt und eben nicht schneidet. Und das bedeutet, dass an dieser Stelle die Werte der Ableitungen die gleiche Steigung haben. Und das heißt nichts anderes, als dass sie die gleiche Ableitung haben. Und deshalb können wir schreiben, f’(5) = t’(5) . Und das heißt nichts anderes, als dass die Ableitungen an dieser Stelle gleich sind. Wenn wir diese erste Gleichung hier ausschreiben, dann nehmen wir diesen Funktionstermen und setzen für x = 5 ein. Das ist hier passiert. Und t(x) ist ja eine lineare Funktion der Form mx+b . Und deshalb können wir hier für x, weil wir die Stelle fünf haben wollen, für x = 5 einsetzen. Wenn wir die zweite Gleichung hier aufschreiben, nehmen wir f’(5), setzen also hier fünf ein und naja, die Ableitung einer linearen Funktion mx+b ist gleich m. Und deshalb steht hier: = m . Wir können die erste Gleichung umformen zu 2,5e-1 = m5+b . Ja, warum? 0,125 = 2,5 ; 0,25 = 1 und -0,25 = -1 . Wir können die zweite Gleichung umformen zu 1/2 * e-1 und das ist gleich m. Ja warum? -0,25 = -1 und das ist zusammen 1/2. Wir können jetzt diesen Term für m hier einsetzen und erhalten dann 2,5e-1 = 1/2 e-15+b. Ja und jetzt können wir auf beiden Seiten minus… Ich fasse das mal zusammen: 1/25 = 2,5e-1 rechnen. Ja, passt gerade noch hin. Und dann sieht man, dass schon was herauskommt. Wenn wir also 2,5e-1 - 2,5e-1 auf dieser Seite rechnen, kommt Null heraus. Dieser Summand verschwindet dann, weil wir ihn abgezogen haben. Also haben wir 0 = b . Und jetzt sind wir eigentlich fertig. Denn wir können die Gleichung der Tangente hinschreiben. Wir wissen nämlich, wie groß m ist. Und das ist 1/2e-1 . Ja und hier kommt es auf den exakten Wert an, nicht auf einen gerundeten Taschenrechnerwert. Nicht wahr? Das ist m gefolgt von x, mx+b . Naja, b = 0 , brauchen wir jetzt nicht hinschreiben. Das heißt, das hier ist die Funktionsgleichung der Tangente, die wir gesucht haben. So, dann haben wir das geschafft. Dann können wir also festhalten für die Geschichtsbücher: Wenn wir eine Funktion gegeben haben und suchen eine Tangente an dem Graphen dieser Funktion an einer bestimmten Stelle, dann kennen wir schon einen Punkt des Graphen dieser Funktion und wir kennen die Steigung dieser Funktion. Und daraus können wir dann den Funktionsterm dieser Tangente ermitteln. Das war es dazu, viel Spaß damit. Tschüss.

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