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Distributivgesetz und Division (2)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Distributivgesetz und Division (2)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Distributivgesetz und Division (2)

Nachdem du bereits theoretisch im letzten Video bewiesen bekommen hast, dass das Distributivgesetz auch bei der Division Anwendung findet, gehen wir nun in den praktische Phase über. Die Anwendung des Distributivgesetzes bei der Division wird dir in diesem Video nämlich anhand eines Zahlenbeispiels demonstriert. Dazu wird dir sehr kleinschrittig die Rechnung erklärt. Um das Video noch anschaulicher zu gestalten, werden in diesem Video auch Symbole zur Darstellung der Rechnung verwendet. Du wirst sehen, das hilft. Wenn du alles verstanden hast, dann schau dir doch das nächste Video der Videoserie zum Distributivgesetz und der Division an.

Transkript Distributivgesetz und Division (2)

Hallo, hier kommen wir also zur Vorstellung dessen, wie man sich diese Gleichheit der beiden Seiten des Distributivgesetzes vorstellen kann, wenn man hier das Malzeichen durch ein Geteiltzeichen ersetzt.

Und rein zufällig habe ich da mal was vorbereitet, und zwar diese Streifen hier, diese orangefarbenen Streifen. Die sind alle gleich lang und ich packe jetzt mal hier 2 zusammen. Und hier folgen noch drei daneben. Das ist jetzt quasi die Sache hier (2+3). Und hier habe ich mal einen grünen Streifen vorbereitet, der, glaube ich, wie du direkt sehen kannst, halb so groß ist wie der orangefarbene Streifen. Hier ist die Hälfte - der grüne Streifen ist halb so groß wie (2+3). Habe ich auch (2+3) gesagt? Weiß ich nicht, egal, es ist auf jeden Fall hier (2+3). Das ist die Hälfte davon.

Jetzt möchte ich das aber anders aufteilen. Ich möchte hier erst die 2 nehmen, diese beiden und dann hier diese 3, auch noch mal durch 2 teilen. Und da mache ich mir das einfach. Ich habe nämlich hier gelbe Streifen vorbereitet, die sind immer halb so lang wie ein orangefarbener Streifen. Das bedeutet, wenn ich jetzt orangefarben durch 2 teilen möchte, dann muss ich nur 2 von diesen gelben Teilen nehmen hier und man sieht, ja, das ist wirklich die Hälfte. Ich kann die auch hierhin legen.

Der gelbe Streifen hier, der jetzt entstanden ist, ist halb so lang wie dieser orangefarbene Streifen. Und wenn ich das wieder mal so mache, die gelben Streifen sind ja alle halb so lang wie ein orangefarbener Streifen, wenn ich die jetzt hier zusammenpacke, dann ist dieser jetzt zusammen entstandene gelbe Streifen auch halb so groß wie dieser orangefarbene Streifen. Und wenn ich die jetzt hier mal untereinander zusammenlege, dann sieht man, gelb ist genauso groß wie grün. Beides ist, ja, beides ist einfach gleich groß. Wir sehen, dass das hier wirklich gilt. Also die beiden gehören zusammen, die haben sich lieb, und das möchte ich natürlich mal simulieren hier an diesem Herz. Die haben sich wirklich lieb, das ist schön. Das freut uns.

Aber was passiert, wenn man die beiden umdreht, ob die sich dann immer noch lieb haben, das möchte ich im nächsten Film zeigen, dann ändert sich nämlich so Einiges. Viel Spaß damit, bis bald - tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. geht mir auch so

    Von Cdk 100, vor mehr als 2 Jahren
  2. danke hat mir geholfen

    Von Gebrekidanketema, vor mehr als 5 Jahren

Distributivgesetz und Division (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Distributivgesetz und Division (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Gleichung mit Hilfe des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Das Distributivgesetz der Multiplikation lautet:

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$.

    Du multiplizierst also jeden Summanden mit dem Faktor $c$.

    Hier siehst du ein weiteres Beispiel.

    Es ist $(2+3):2=5:2=2,5$.

    Überprüfe dieses Ergebnis mit den oben angegebenen Möglichkeiten für die rechte Seite.

    Lösung

    Ähnlich wie bei dem Distributivgesetz für die Multiplikation

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$,

    bei welchem jeder Summand mit dem Faktor $c$ multipliziert wird, wird auch bei der Division jeder Summand durch den Divisor geteilt.

    $(2+3):2=2:2+3:2$.

    Man kann dieses Ergebnis auch an dem jeweiligen Ergebnis kontrollieren:

    $(2+3):2=5:2=2,5$

    und auf der rechten Seite

    $2:2+3:2=1+1,5=2,5$.

  • Ergänze die Erklärung zum Distributivgesetz der Division.

    Tipps

    Es ist sicher $2+3=5$.

    Somit ist $(2+3):2=5:2=2,5$.

    Der grüne Streifen passt zweimal in den gesamten orangen Streifen der oberen Reihe.

    Die fünf gelben Streifen der Länge $\frac12$ werden zusammengeschoben zu dem längeren gelben Streifen in der Reihe darunter. Dieser ist ebenfalls $2,5$ Einheiten lang.

    Lösung

    Man kann sich das Distributivgesetz der Division anhand des Beispiels

    $(2+3):2=2:2+3:2$

    auch mit Streifen klarmachen.

    Die orangen Streifen haben jeweils die Länge $1$. In der oberen Reihe ist daher die Summe $2+3=5$ zu erkennen. Wenn man diese Länge durch $2$ dividiert, erhält man den grünen Streifen der Länge $2,5$. Dies entspricht der linken Seite $(2+3):2$ des Distributivgesetzes.

    Wenn man die rechte Seite $2:2+3:2$ betrachtet, erhält man die gelben Streifen in der vierten Reihe von oben: Diese Streifen sind jeweils $\frac12$ lang. In der Reihe darunter sind diese Streifen zusammengefügt und es ergibt sich die gleiche Länge wie beim grünen Streifen.

  • Wende jeweils das Distributivgesetz an.

    Tipps

    Das Distributivgesetz der Division lautet $(a+b):c=a:c+b:c$. Dabei muss $c\neq 0$ sein.

    Beachte, dass du jeden Summanden durch den Divisor $c$ dividierst.

    Natürlich gilt diese Regel auch, wenn anstelle der Summe $a+b$ die Differenz $a-b$ dividiert wird.

    Lösung

    Das Distributivgesezt der Division

    $(a+b):c$

    besagt, dass jeder Summand durch den Divisor dividiert werden muss. Dieses Gesetz stimmt auch, wenn eine Differenz dividiert wird:

    $(a-b):c=a:c-b:c$.

    1. $(12+3):4=12:4+3:4$
    2. $(8-3):2=8:2-3:2$
    3. $(22+34):10=22:10+34:10$
    4. $(18-9):3=18:3-9:3$

  • Prüfe die folgenden Aussagen zum Distributivgesetz.

    Tipps

    Wenn du bei einer Aussage glaubst, dass sie nicht korrekt ist, genügt es, wenn du ein Gegenbeispiel findest.

    Es ist zum Beispiel $2:(2-2)$ nicht definiert, da man nicht durch $0$ dividieren darf. Schließlich ist der Divisor $2-2=0$.

    Dagegen ist $2:2-2:2=1-1=0$ durchaus berechenbar.

    Lösung

    Nun haben wir schon das eine oder andere Beispiel zum Distributivgesetz der Division gesehen:

    $(a+b):c=a:c+b:c$, sofern $c\neq 0$,

    Für das Distributivgesetz der Multiplikation gilt auf der einen Seite

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$

    und auf der anderen Seite auch

    $a\cdot (b+c)=ab+bc$.

    Gilt dies auch für das Distributivgesetz der Division? Dann müsste ja gelten:

    $a:(b+c)=a:b+a:c$

    Allein das Aufschreiben bereitet mir schon Schmerzen. Denn dies darf man nicht machen. Dies kann man sich an einem Gegenbeispiel klarmachen:

    • $4:(3+1)=4:4=1$ - das ist sicher richtig.
    • Es ist aber $4:3+4:1=1,\bar 3+4=5,\bar3 \neq 1$.
  • Beschreibe analog, wie geprüft werden kann, ob das Distributivgesetz für $(2+3):2=2:2+3:2$ gilt.

    Tipps

    Hier siehst du die einzelnen Schritte an einem anderen Beispiel.

    Du kannst die Ergebnisse auch noch weiter berechnen:

    • Auf der einen Seite steht dann $5:2=2,5$
    • und auf der anderen $1+1,5=2,5$.
    Somit besteht Gleichheit der beiden Seiten.

    Lösung

    Um nachzuweisen, dass $(2+3):2=2:2+3:2$ tatsächlich gilt, kann man auch die jeweiligen Seiten ausrechnen. Dies ist sicherlich kein Beweis für das Distributivgesetz, weist jedoch die Gleichheit der Terme links und rechts des Gleichheitszeichens nach.

    Dies ist der rechnerische Weg dessen, was man sich auch anhand der Streifen klarmachen kann.

    • $2+3=5$ und damit ist
    • $(2+3):2=5:2=2,5$.
    • Auf der anderen Seite ist $2:2=1$ sowie $3:2=1,5$ und somit
    • $2:2+3:2=1+1,5=2,5$.

  • Ordne die Terme mithilfe des Distributivgesetzes den gegebenen Termen zu.

    Tipps

    Verwende jeweils das Distributivgesetz der Division

    $(a+b):c=a:c+b:c$, wobei $c\neq 0$.

    Gegebenenfalls musst die Terme in den Klammern noch vereinfachen.

    Hier siehst du eine Beispielrechnung.

    Lösung

    Das Distributivgesetz der Division lautet: $(a+b):c=a:c+b:c$. Das bedeutet, jeder der Summanden wird durch den Divisor $c$ dividiert.

    • $(4a+2b):2=4a:2+2b:2=4a:2+2b:2=2a+b$
    • $(4a+4b):4=4a:4+4b:4=4a:4a+4b:4=a+b$
    • $(b+6a+2b):3=(6a+3b):3=6a:3+3b:3=2a+b$
    • $(2b+2a+2b):2=2a:2+4b:2=a+2b$
    • $(4a+4b):2=4a:2+4b:2=2a+2b$
    • $(4a+8b):4=4a:4+8b:4=a+2b$
    • $(3a+3b):3=3a:3+3b:3=a+b$
    • $(4a+12b):4=4a:4+12b:4=a+3b$

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