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Distributivgesetz und Division (1)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Distributivgesetz und Division (1)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Distributivgesetz und Division (1)

Typischer Weise wird das Distributivgesetz mit der Multiplikation verbunden. Eine Klammer wird dann ausmultipliziert. Findet das Distributivgesetz aber auch Anwendung bei der Division? JA! Warum? Das wird dir in diesem Video erklärt. Aus der Bruchrechnung kennst du doch bestimmt noch die Regel, dass man bei der Division von Brüchen mit dem Kehrbruch multipliziert. So wird aus der Division ganz einfach eine Multiplikation. Aus „geteilt durch vier“ wird dann auf einmal „mal ein Viertel“. Da wir ja bereits wissen, dass das Distributivgesetz für die Multiplikation gilt, ist damit bewiesen, dass es auch für die Division gilt.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. cool!

    Von User06122001, vor 7 Monaten
  2. lost

    Von Batuhan A., vor mehr als einem Jahr
  3. ich verstehe viele Sachen

    Von Ronnelt, vor fast 2 Jahren
  4. nice

    Von Cdk 100, vor mehr als 2 Jahren
  5. 😄👏🏻👍🏻

    Von Franz Kern, vor fast 3 Jahren
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Distributivgesetz und Division (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Distributivgesetz und Division (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib das Distributivgesetz für den Fall der Division an.

    Tipps

    Beim Multiplizieren kann die Reihenfolge vertauscht werden:

    Zum Beispiel ist $4\cdot 5=5\cdot 4=20$.

    Beim Dividieren kann die Reihenfolge nicht vertauscht werden.

    Zum Beispiel gilt

    $\begin{align*} (8+4):4&=8:4+4:4\\ 12:4&=2+1\\ 3&=3~\surd \end{align*}$

    Lösung

    Das Distributivgesetz zur Multiplikation von Summen lautet:

    $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Gilt dies auch, wenn man das Multiplikationszeichen durch ein Divisionszeichen ersetzt?

    Ja!

    $(a+b):c=a:c+b:c$.

    Aber VORSICHT!

    Es gilt bei der Multiplikation auch $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, da die Multiplikation kommutativ ist. Das gilt bei der Division nicht.

  • Beschreibe, wie man sich klarmachen kann, dass das Distributivgesetz auch mit der Division gültig ist.

    Tipps

    Anstatt durch $2$ zu dividieren, kann man auch mit $\frac12$ multiplizieren.

    Es ist zum Beispiel

    $(5+7):2=(5+7)\cdot\frac12=\frac52+\frac72=6$.

    Lösung

    Wie kann man begründen, dass das Distributivgesetz

    $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

    auch für die Division durch $c$ gilt?

    Das Dividieren durch $c$ kann man auch ersetzen durch die Multiplikation mit dem Kehrwert von $c$, also $\frac1c$. Dies führt zu

    $(a+b):c=(a+b)\cdot \frac1c=a\cdot \frac1c+b\cdot \frac1c=a:c+b:c$

  • Ordne jedem der Terme mithilfe des Distributivgesetzes die Umformung zu.

    Tipps

    Es geht in dieser Übung ausschließlich um die Anwendung des Distributivgesetzes. Es muss nicht weiter gerechnet werden.

    Für $a$, $b$ und $c$ können auch negative Zahlen eingesetzt werden.

    Fertige dir eine Vorlage mit dem Distributivgesetz an und ersetze die Buchstaben entsprechend.

    Lösung

    Das Distributivgesetz lautet

    $(a+b): c=a: c+b: c$.

    Nun können für $a$, $b$ und $c$ verschiedene Zahlen oder Buchstaben eingesetzt werden:

    • $(8-5): 3=8: 3-5: 3$.
    • $(3+4): 5=3: 5+4: 5$.
    • $(3-8):4=3:4-8:4$.
    • $(5+9): 7=5:7+9:7$.

  • Wende das Distributivgesetz auf den gegebenen Term an und berechne das Ergebnis.

    Tipps

    In diesem Beispiel siehst du, dass man mithilfe des Distributivgesetzes nachweisen kann, dass Brüche mit gleichem Nenner addiert oder auch subtrahiert werden, indem man die Zähler addiert oder subtrahiert und den Nenner beibehält.

    Du kannst den Bruch $\frac43$ auch schreiben als $4:3$.

    Die Umkehrung des Distributivgesetzes wird als Ausklammern bezeichnet.

    $5x+7x=(5+7)x=12x$.

    Lösung

    Das Distributivgesetz kann von links nach rechts und von rechts nach links gelesen werden – wie übrigens jede Gleichung.

    Von rechts nach links kennt man dies auch unter dem Begriff Ausklammern.

    Es gilt

    $\frac{13}3+\frac83=13:3+8:3$.

    Nun kann man sehen, dass jeder der Summanden durch $3$ dividiert wird, man kann also das Distributivgesetz anwenden

    $13:3+8:3=(13+8):3=21:3=7$.

    Hier kann man auch sehen, warum zwei gleichnamige Brüche addiert (subtrahiert) werden, indem man die Zahler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält.

  • Stelle den Term $(2+3):2$ mithilfe des Distributivgesetzes dar.

    Tipps

    Du kannst dir das Distributivgesetz auch mit Farben klarmachen und jeweils an der entsprechenden Stelle die zugehörige Zahl einsetzen.

    Beim Distributivgesetz wird auf der linken Seite eine Summe durch eine Zahl dividiert. Auf der rechten Seite steht die Summe zweier Quotienten.

    Du kannst die Rechnung auch überprüfen, indem du auf beiden Seiten weiter rechnest.

    Lösung

    An einem Beispiel kann man das Distributivgesetz mal überprüfen.

    Bei $(2+3):2$ ist $a=2$, $b=3$ und $c=2$. Diese Werte können in das Distributivgesetz eingesetzt werden: $(2+3):2=2:2+3:2$ und man kann wie folgt weiter rechnen

    $\begin{align*} (2+3):2&=2:2+3:2\\ 5:2&=1+1,5\\ 2,5&=2,5~\surd \end{align*}$

  • Erläutere, wie viel Geld Paul seinen Eltern noch zurückzahlen muss.

    Tipps

    Beachte: Es ist nach dem Betrag gefragt, welchen Paul seinen Eltern noch zurückzahlen muss gefragt und nicht nach dem, welchen er von seinen Eltern erhält.

    Ein Viertel entspricht dem Dividieren durch $4$.

    Berechne, wie Geld Paul noch benötigt.

    Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

    Lösung

    Wenn Pauls Wunschfahrrad $700~€$ kostet, er bereits $200~€$ gespart hat und von seinem Onkel $120~€$ sowie von seiner Oma $100~€$ erhält, so benötigt er – ohne die Einheit $€$

    $700-200-120-100=280$,

    also $280~€$.

    Die folgende Rechnung, mit dem Distributivgesetz, muss also durchgeführt werden:

    $(700-200-120-100):4=700:4-200:4-120:4-100:4=175-50-30-25=70$.

    Pauls Eltern geben demnach $70~€$ zu dem Fahrrad dazu.

    Er muss noch $280~€-70~€$ an seine Eltern zurückzahlen.

    Entweder er hat bald Geburtstag oder er muss den Rasen mähen oder mit dem Hund Gassi gehen oder oder oder...

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