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Distributivgesetz mit negativen Zahlen (5)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Distributivgesetz mit negativen Zahlen (5)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Distributivgesetz mit negativen Zahlen (5)

Im letzten Beispiel zum Distributivgesetz mit negativen Zahlen, setzen wir für die Variable c eine negative Zahl ein. Anschließend wird dir Schritt für Schritt erklärt, was beim Ausmultiplizieren ( Auflösen ) der Klammern geschieht. Um die Rechnung dabei noch anschaulicher zu gestalten, werden als Hilfe Symbole zur Erklärung benutzt. Am Ende des Videos kannst du dein Wissen dann wieder mit der Testfrage zum Video überprüfen. Ich hoffe du hattest Spaß bei dieser kleinen Videoserie zum Distributivgesetz und hast viel lernen können!

Transkript Distributivgesetz mit negativen Zahlen (5)

Hallo, hier vor mir kannst du das Distributivgesetz sehen. Und ich möchte jetzt mal zeigen, was passiert, wenn man nicht für a und nicht für b, sondern für c eine negative Zahl einsetzt. Deshalb werde ich zunächst einmal für a und b etwas einsetzen, hier also für a die 3 und für b die 1. Hier kommt für a die 3 hin und für b die 1. Wenn ich jetzt also für c eine negative Zahl einsetzen möchte und dann nehme ich wieder die 5 für c, also die -5, dann muss ich hier wieder Platz schaffen, und das Ganze muss hier weiter nach links. Denn es führt jetzt nichts drum herum, wenn ich für c also -5 einsetzen möchte, dann habe ich hier das Problem, dass hier zwei Rechenzeichen nebeneinanderstehen. Das soll nicht der Fall sein, und deshalb muss hier auch noch eine Klammer drum, ja, dann müssen die alle mal ein bisschen zusammenrücken, das muss jetzt auch mal gehen. Ein bisschen Platz habe ich noch. Also, ich habe (3+1)×(-5) und das ist jetzt, wenn das Distributivgesetz richtig ist, wenn man da auch negative Zahlen für c einsetzen kann, ich mache schon einmal Platz hier. Also für c möchte ich jetzt die -5 einsetzen. Dazu brauche ich hier auch eine Klammer, das kann man auch nicht anders schreiben. Hier kommt die Klammer hin. Wenn die Klammer aufgeht, muss sie auch zugehen. Und es kommt etwas dazu, + 1×(-5). Noch weiter, noch weiter, noch weiter, und hier haben wir die -5, und jetzt ist der Tisch zu Ende. Da, ich hoffe, das ist noch sichtbar, dass ich hier jeweils die -5 eingesetzt habe, also anders ist das nicht zu machen. Jetzt kommen die Pfeile dran, um zu gucken, ob das wirklich stimmt. Wenn ich jetzt also rechne 3+1, dann kann ich das so machen. Wenn ich das jetzt aber nicht 5-mal machen möchte, sondern -5-mal, dann muss ich das in die andere Richtung machen, also das hier so dransetzen. Einmal die 3 plus die 1, noch mal die 3 plus die 1, noch mal, noch mal und noch mal und jetzt bin ganz hier am Ende, da steht so viel Gerümpel herum,das muss wieder weg. Weg damit, jetzt kannst du es sehen. Ich habe 5-mal 3 plus 1 gerechnet, und das in die negative Richtung, also das Ganze -5-mal gemacht. Jetzt ist die Frage, was kann ich also hier stattdessen machen. Dazu brauche ich diese ganzen Pfeile wieder. Deshalb werde ich die einfach austauschen, und zwar durch das Ergebnis von 3+1, das ist 4, also kann ich da stattdessen auch diese Pfeile hinsetzen, 4, 4, 4 und noch mal die 4. Das ist natürlich das gleiche Ergebnis. Jetzt habe ich die wieder frei, um die andere Sache zu zeigen. Ich habe die natürlich jetzt -5-mal hintereinander gesetzt, diese Vieren. Was muss ich hier machen, ich muss die 3 nehmen und die -5-mal hintereinander legen, das heißt, hier wäre also die 3, aber ich muss es in die andere Richtung machen, also -5-mal. Das kann ich hier schnell machen. Das ist also 5-mal hintereinander, was fehlt noch? Die 1 soll jetzt auch -5-mal hintereinandergesetzt werden. Das ist dann diese Situation hier. Die kommen einfach da wieder dran, und du siehst, das ist also komplett das Gleiche. Man kann das jetzt auch so auffassen, dass - ja, es ist das Gleiche - hier mit den Fünferstäben etwas gemacht wird. Das möchte ich in dem Zusammenhang auch noch einmal zeigen. Es geht nicht einfacher, so kompliziert ist halt die Mathematik. Man kann jetzt hier erst ausrechnen 3+1=4, und dann einen minus Fünferstab 4-mal hintereinanderlegen, das ist der Fünferstab, einmal, zweimal, dreimal und viermal. Das ist dasselbe Ergebnis wie bei den anderen Rechnungen, wenn man dann das anders auffasst, und das kann ich jetzt nicht noch einmal zeigen, weil ich nicht so viele Fünferstäbe habe. Du kannst dir das auch so vorstellen. Wenn hier mit dem Fünferstab etwas gemacht wird, das geht also dreimal hintereinander. Hier haben wir den Minus-Fünferstab dreimal hintereinander gelegt, und dann wird er noch einmal dazugelegt, nun ja, das ist das Gleiche, ob ich nun erst dreimal und dann einmal oder gleich viermal, das ist hier für die Größen, das ist alles das Gleiche. Ich glaube, du kannst dir auch vorstellen, wenn du andere Zahlen nimmst, größere oder kleinere, das mit den Pfeilen funktioniert immer. Du kannst immer die Pfeile als Zahlen auffassen, als irgendwelche beliebigen Zahlen, und die Logik dahinter bleibt immer die Gleiche, und deshalb können wir auch überzeugt sein, dass das Distributivgesetz auch mit negativen Zahlen richtig ist. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.  

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Ich habe nach schwereren Aufgaben gesucht!!Das hat mir nichts gebracht, vielleicht könntet ihr auch Aufgaben zum ausrechnen machen. Ansonsten suuuuuper erklärt

    Von Pedro Goig, vor mehr als einem Jahr
  2. sehr coooooooooooooolllllllllllllllllllllllll dankeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

    Von Umut T., vor etwa 3 Jahren
  3. cooooool danke

    Von Roman I., vor mehr als 5 Jahren
  4. Super erklärt

    Von Gentian A., vor mehr als 5 Jahren
  5. Super das endlich mal gut erklärt worden!

    Von Klpublic, vor fast 6 Jahren

Distributivgesetz mit negativen Zahlen (5) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Distributivgesetz mit negativen Zahlen (5) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie der Term mithilfe des Distributivgesetzes umgeformt werden kann.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Schreibe den obigen Term unter das Distributivgesetz und entscheide, was $a$, was $b$ und was $c$ ist.

    Ersetze auf der rechten Seite $a$, $b$ und $c$ entsprechend.

    Lösung

    Gegeben ist die Multiplikationsaufgabe $(3+1)\cdot (-5)$.

    Man kann das Distributivgesetz anwenden, indem man sich zunächst klarmacht, dass

    • $a=3$,
    • $b=1$ und
    • $c=-5$ ist.
    Nun können diese auf der rechten Seite eingesetzt werden. Dies führt zu

    $(3+1)\cdot 5=3\cdot (-5)+1\cdot (-5)$.

    Man kann natürlich jetzt auch weiter rechnen:

    $(3+1)\cdot (-5)=3\cdot (-5)+1\cdot (-5)=-15-5=-20$.

    Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man zuerst den Term in der Klammer ausrechnet und dann multipliziert.

    $(3+1)\cdot (-5)=4\cdot (-5)=-20$.

  • Stelle die Bedeutung des Distributivgesetzes graphisch dar.

    Tipps

    Hier entspricht der gelbe Pfeil $3$ und der blaue $-1$.

    Man kann den Term in der Klammer auch direkt ausrechnen und den entsprechenden Wert mit $5$ multiplizieren.

    Beachte, dass Plus mal Minus Minus ergibt.

    Lösung

    Oberhalb des Zahlenstrahls ist das obige der beiden Bilder zu sehen. In der Klammer steht links vom Gleichheitszeichen $(3+1)\cdot (-5)$. Das bedeutet:

    • Gehe $3$ nach links und $1$ nach links. Wiederhole dies fünfmal. Dies kommt dadurch zustande, dass mit $-5$ multipliziert wird.
    • Das Ergebnis ist $-20$.
    Unterhalb des Zahlenstrahls ist das untere der beiden Bilder für die rechte Seite, $3\cdot (-5)+1\cdot (-5)$, zu erkennen:
    • Man geht fünfmal $3$ nach links und von dort
    • fünfmal $1$ nach links.
    • Auch hier kommt man zu dem Ergebnis $-20$.

  • Entscheide, welche der Darstellungen am Zahlenstrahl zu der Aufgabe gehören.

    Tipps

    Der violette Pfeil steht für $-3$ und der rote für $-2$.

    Beachte, dass mit einer negativen Zahl multipliziert wird. Dadurch dreht sich die Pfeilrichtung um.

    Du kannst das Ergebnis berechnen. Dies muss auch an dem Zahlenstrahl erkennbar sein.

    Es ist sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichung zu sehen.

    Lösung

    Hier sind die beiden richtigen Darstellungen zu sehen:

    • Entweder (oberhalb des Zahlenstrahls) geht man $2$ nach links und $3$ nach links. Dies wird dann dreimal wiederholt und entspricht der linken Seite der obigen Gleichung,
    • Oder (unterhalb des Zahlenstrahls) man geht dreimal $2$ nach links und dann dreimal $3$ nach links – dies entspricht der rechten Seite der obigen Gleichung.
    Beide Male kommt man zu dem gleichen Ergebnis: $-18$.

  • Wende jeweils das Distributivgesetz an.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Mache dir jeweils klar, was $a$, $b$ und $c$ ist.

    Schreibe gegebenenfalls hierfür den gegebenen Term unter das Distributivgesetz.

    Lösung

    Um das Distributivgesetz anzuwenden, macht man sich jeweils klar, was $a$, $b$ und $c$ ist:

    • $(-2+3)\cdot (-4)$: Hier ist $a=-2$, $b=3$ und $c=-4$: $(-2+3)\cdot (-4)=-2\cdot(-4)+3\cdot (-4)=8-12=-4$.
    • $(4-3)\cdot (-2)$: Hier ist $a=4$, $b=-3$ und $c=-2$: $(4-3)\cdot (-2)=4\cdot(-2)-3\cdot(-2)=-8+6=-2$.
    • $(-4+2)\cdot 3$: Hier ist $a=-4$, $b=2$ und $c=3$: $(-4+2)\cdot 3=-4\cdot 3+2\cdot 3=-12+6=-6$.
    • $(2-3)\cdot(-4)$: Hier ist $a=2$, $b=-3$ und $c=-4$: $(2-3)\cdot (-4)=2\cdot(-4)-3\cdot(-4)=-8+ 12=4$.

  • Beschreibe, warum bei $\cdot (-5)$ die Klammern verwendet werden müssen.

    Tipps

    Bei Termen handelt es sich um sinnvolle Aneinanderreihungen von Zahlen, Variablen und Operationszeichen.

    Was ist sinnvoll?

    Ein Operationszeichen kann entweder ein Vorzeichen sein, wie bei $-3$, oder zwei Zahlen (Variablen) verknüpfen, zum Beispiel $4+a$.

    $4+-a$ ist kein Term.

    Lösung

    Wenn mit einer negativen Zahl multipliziert werden soll, müssen Klammern verwendet werden. Warum ist das so?

    Ohne Klammern stünden zwei mathematische Operationszeichen hintereinander. Das ist mathematisch aber nicht sinnvoll.

  • Berechne das Ergebnis mithilfe des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Du kannst das Distributivgesetz $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ anwenden.

    Beachte die Vorzeichen:

    Es gilt Minus mal Minus gleich Plus, und Plus mal Minus gleich Minus.

    Ein Plus als Vorzeichen musst du nicht aufschreiben.

    Lösung

    Kann das Distributivgesetz auch angewendet werden, wenn mehr als ein Minuszeichen vorkommt?

    Das geht: Man muss die Vorzeichen beachten.

    Erst einmal ist $a=-5$, $b=2$ und $c=-5$. Somit ist

    $(-5+2)\cdot (-5)=-5\cdot(-5)+2\cdot(-5)$.

    Da Minus mal Minus Plus, und Plus mal Minus Minus ergibt, erhält man

    $(-5+2)\cdot (-5)=-5\cdot(-5)+2\cdot(-5)=25-10=15$.

    Dieses Ergebnis hätte man auch erhalten, wenn man zunächst den Term in der Klammer berechnet hätte:

    $(-5+2)\cdot (-5)=-3\cdot(-5)=15$.

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