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Distributivgesetz mit negativen Zahlen (4)

Bewertung

Ø 4.0 / 7 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Distributivgesetz mit negativen Zahlen (4)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Distributivgesetz mit negativen Zahlen (4)

Nachdem wir uns in den letzten drei Videos in der Videoserie zum Distributivgesetz mit negativen Zahlen die Variable a genauer angeschaut haben, wenden wir uns in dem vorletzten Video der Variable b zu. Was passiert denn nun, wenn wir für b eine negative Zahl einsetzen. Die Antwort erhaltet ihr im Video. Das wird euch Schritt für Schritt die Lösung erklären. Hast du am Ende des Videos alles verstanden? Ja. Dann teste dich doch selbst an der Aufgabe zum Video. Hast du diese richtig gelöst, dann schau dir das letzte Video der Serie an.

Transkript Distributivgesetz mit negativen Zahlen (4)

Hallo, hier kannst Du das Distributivgesetz sehen und ich möchte jetzt in diesem Film mal für b eine negative Zahl einsetzen und da gibt es ein kleines Problem. Ich möchte hier -1 einsetzen und das passt hier nicht hin, deshalb muss ich etwas mehr Platz machen. Hier kann ich also -1 für b einsetzen. Aber das geht immer noch nicht, denn es dürfen keine 2 Rechenzeichen nebeneinander stehen. Darauf hat man sich geeinigt, weil man dann nicht genau weiß, was man da machen soll. Ob man nun + oder - rechnen soll. Und deshalb braucht man noch zusätzlich Klammern, um die -1 herum. Das sieht dann also so aus - dann brauch ich noch mehr Platz - hier ist jetzt die Klammer aus, dann kommt die -1 und dann geht hier die Klammer zu und diese äußere Klammer geht dann auch noch mal zu. Nun, Du siehst schon, das ist ein bisschen umständlich und deshalb geht man auch gleich dazu über, dass man statt + die negative Zahl -1 dafür was anderes schreibt und zwar: man nimmt die Klammern weg und das + Zeichen und dann steht hier nur noch -1, statt: +(-1). Jetzt ist das einfacher geworden. Jetzt muss ich aber noch was für die anderen Zahlen einsetzen: für das c möchte ich wieder die 5 einsetzen und für das a diesmal die 3. Und jetzt hab ich das gleiche Problem hier: ich möchte für das b die -1 einsetzen. Ich zeige das auch noch mal. Wenn man das jetzt also ganz genau nimmt und das Pluszeichen erhalten möchte, dann müsste ich für b -1 einsetzen, hier Platz schaffen für weitere Klammern. Also statt b steht jetzt hier (-1) und das soll jetzt zu dem Produkt von 3×5 addiert werden. Also man rechnen natürlich immer zuerst das Produkt aus. Also (-1)×5 möchte ich rechnen. Und dann kann ich dass auch so rechnen, dass ich das Pluszeichen wegnehme und das Minuszeichen da lasse und rechne einfach -1×5. Und dann ist das hier wieder kürzer geworden. Dann hab ich also diese Klammern und das Pluszeichen hier weggelassen. Das Ergebnis ist das gleiche. Nun da wird normalerweise nicht viel Aufhebens darum gemacht, um die Klammer, ob man die nun dazuschreibt, oder nicht, aber ich finde man sollte sich das einmal genau überlegen, ob das auch so funktioniert. Ja und jetzt möchte ich das mit den Pfeilen natürlich auch noch zeigen, ob das hier richtig ist, ob man davon überzeugt sein kann. Dazu brauche ich als erstes den 3er Pfeil, der geht in die positive Richtung. Hier ist ja die gedachte 0-Linie am Zahlenstrahl. Dann ziehe ich -1 ab. Das Ganze möchte ich jetzt 5 Mal machen, weil die Rechnung mir das hier sagt, dass ich es machen soll. Immer kommt erst wieder eine drei an das vorherige Ergebnis und dann wird wieder eins abgezogen. 3-1=2. Ich kann das quasi auch so zeigen, dass ich immer das Ergebnis als +2 schriebe und das dann 5 Mal hintereinandersetze. Das kann auch hier oben hinschreiben bzw. legen. Das ist ganz praktisch, wenn man nicht so gerne schreibt, dann kann man diese Pfeile legen. Und ich sehe hier, das ist dann also +10. Ich hab also gerechnet +2×5, also das hier hintereinander gelegt und jetzt kann ich auch noch rechnen: 3×5 oder ich kann diese +3, drei Mal hintereinanderlegen und dann wird die 1 also quasi 5 Mal abgezogen, bzw. das Produkt von 1×5 wird abgezogen. Ich machs hier mit den 5 1sen, die alle abgezogen werden. Und du siehst, das Ergebnis ist hier wieder das Gleiche. Man endet auf der gleichen Höhe. Es wäre auch egal, wie lang die Pfeile sind, es funktioniert immer, nur müssen halt die gelben Pfeile alle gleich lang sein, die pinkfarbenen müssen alle gleichlang sein usw. Und weil es so schön ist, möchte ich das auch gleich noch mal mit der anderen Auffassung der Multiplikation zeigen. Also man kann ja hier auch Folgendes verstehen: es wird (3-1)= 2 gerechnet. Und dann wird die 5 hier, zwei Mal hintereinander gelegt. Das hier kann ich so auffassen, also 3×5, das hier jetzt auf diese Seite die 5 3 Mal hintereinander gelegt wird, und dann wird sie noch einmal abgezogen. Und du siehst, man kommt wieder zu dem gleichen Ergebnis. Ob ich die 5 nun zwei Mal hintereinander lege, oder erst 3 Mal und dann noch einmal 5 zurückgehe, das ist egal. Das ist das gleiche Ergebnis. Und du siehst wieder, das Distributivgesetz ist richtig, auch wenn man für b eine negative Zahl einsetzt. Viel Spaß damit, bis dann tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. col!

    Von Zbolt, vor 4 Monaten
  2. klasse video

    Von Alzobidi, vor mehr als 7 Jahren

Distributivgesetz mit negativen Zahlen (4) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Distributivgesetz mit negativen Zahlen (4) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie der Term mit Hilfe des Distributivgesetzes umgeformt werden kann.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Schreibe den obigen Term unter das Distributivgesetz und entscheide, was $a$, was $b$ und was $c$ ist.

    Ersetze auf der rechten Seite $a$, $b$ und $c$ entsprechend.

    Beachte, dass $+(-1)$ auch als $-1$ geschrieben werden kann.

    Ebenso kann $+(-1)\cdot 5$ als $-1\cdot 5$ geschrieben werden.

    Lösung

    Gegeben ist die Multiplikationsaufgabe $(3-1)\cdot 5$.

    Man kann das Distributivgesetz anwenden, indem man sich zunächst klarmacht, dass

    • $a=3$,
    • $b=-1$ und
    • $c=5$ ist.
    Nun können diese auf der rechten Seite eingesetzt werden. Dies führt zu

    $(3-1)\cdot 5=3\cdot 5-1\cdot 5$.

    Man kann natürlich jetzt auch weiter rechnen:

    $(3-1)\cdot 5=3\cdot 5-1\cdot 5=15-5=10$.

    Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man zuerst den Term in der Klammer ausrechnet und dann multipliziert.

    $(3-1)\cdot 5=2\cdot 5=10$.

  • Stelle die Bedeutung des Distributivgesetzes graphisch dar.

    Tipps

    Hier entspricht der gelbe Pfeil $3$ und der blaue $-1$.

    Man kann den Term in der Klammer auch direkt ausrechnen und den entsprechenden Wert mit $5$ multiplizieren.

    Lösung

    Oberhalb des Zahlenstrahls ist das obige der beiden Bilder zu sehen. In der Klammer steht links vom Gleichheitszeichen $(3-1)\cdot5$. Das bedeutet:

    • Gehe $3$ nach rechts und $1$ nach links. Dies tun wir fünfmal.
    • Das Ergebnis ist $10$.
    Unterhalb des Zahlenstrahls ist das untere der beiden Bilder für die rechte Seite $3\cdot 5-1\cdot5$ zu erkennen:
    • man geht fünfmal $3$ nach rechts und von dort
    • fünfmal $1$ nach links.
    • Auch hier kommt man zu dem Ergebnis $10$.

  • Entscheide, welche der Darstellungen am Zahlenstrahl zu der Aufgabe gehören.

    Tipps

    Der violette Pfeil steht für $4$ und der grüne für $-5$.

    Du kannst das Ergebnis berechnen. Dies muss auch an dem Zahlenstrahl erkennbar sein.

    Es ist sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichung zu sehen.

    Lösung

    Hier sind die beiden richtigen Darstellungen zu sehen:

    • entweder (oberhalb des Zahlenstrahls) geht man $4$ nach rechts und $5$ nach links und wiederholt dies fünfmal - dies entspricht der linken Seite der obigen Gleichung -
    • oder (unterhalb des Zahlenstrahls) man geht fünfmal $4$ nach rechts und dann fünfmal $5$ nach links - dies entspricht der rechten Seite der obigen Gleichung.
    Beide Male kommt man zu dem gleichen Ergebnis: $-5$.

  • Wende jeweils das Distributivgesetz an.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Mache dir jeweils $a$, $b$ und $c$ klar.

    Schreibe gegebenenfalls hierfür den gegebenen Term unter das Distributivgesetz.

    Lösung

    Um das Distributivgesetz anzuwenden, macht man sich jeweils klar, was $a$, $b$ und $c$ ist:

    • $(-3+4)\cdot 6$: Hier ist $a=-3$, $b=4$ und $c=6$: $(-3+4)\cdot 6=-3\cdot6+4\cdot 6=-18+24=6$.
    • $(6-4)\cdot 3$: Hier ist $a=6$, $b=-4$ und $c=3$: $(6-4)\cdot 3=6\cdot3-4\cdot3=18-12=6$.
    • $(-6+4)\cdot 3$: Hier ist $a=-6$, $b=4$ und $c=3$: $(-6+4)\cdot 3=-6\cdot 3+4\cdot 3=-18+12=-6$.
    • $(3-6)\cdot4$: Hier ist $a=3$, $b=-6$ und $c=4$: $(3-6)\cdot 4=3\cdot4-6\cdot4=12-24=-12$.

  • Beschreibe, warum $+(-1)=-1$ ist.

    Tipps

    Du kannst dir $+(-1)$ an einem Zahlenstrahl klarmachen.

    Lösung

    Warum muss man bei $+(-1)$ Klammern schreiben?

    Es dürfen nicht zwei mathematische Operationszeichen hintereinander folgen.

    Warum ist $+(-1)=-1$?

    Bei der Verknüpfung von $+$ und $-$ gelten dieselben Regel wie bei der Multiplikation von positiven und negativen Zahlen:

    • $+(+1)=1$
    • $+(-1)=-1$
    • $-(+1)=-1$
    • $-(-1)=1$
  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden. Dies ist das Kommutativgesetz:

    $a\cdot b=b\cdot a$.

    Wende gegebenenfalls das Distributivgesetz mehrmals an.

    Lösung

    Natürlich kann man das Distributivgesetz auch für mehr als zwei Summanden anwenden:

    $\begin{align*} (a+b+c)\cdot d&=((a+b)+c)\cdot d\\ &=(a+b)\cdot d +c\cdot d\\ &=a\cdot d+b\cdot d+c\cdot d. \end{align*}$

    Man kann die Reihenfolge auch vertauschen. Es gilt

    $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Es kann auch in dem rechten Faktor ein Summand stehen:

    $\begin{align*} (a+b)\cdot(c+d)&=a\cdot(c+d)+b\cdot(c+d)\\ &=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d. \end{align*}$

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