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Distributivgesetz mit negativen Zahlen (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Distributivgesetz mit negativen Zahlen (1)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Distributivgesetz mit negativen Zahlen (1)

Ist das Distributivgesetz auch für negative Zahlen anwendbar? Klappt das Ausmultiplizieren ( Auflösen ) von Klammern auch, wenn eine negative Zahl in der Klammer steht? Diesen Fragen widmet sich das folgende Video. Durch ein kleines Zahlenexperiment sollen Antworten gefunden werden. Gewohnt ausführlich wird dabei mit Hilfe von Symbolen und Beispielen Schritt für Schritt vorgegangen. Am Ende des Videos kannst du dich anhand der Testfrage selbst an einer Rechnung versuchen. Hast du die richtig, dann schau dir gleich das nächste Video „Distributivgesetz mit negativen Zahlen 2“ an.

Transkript Distributivgesetz mit negativen Zahlen (1)

Hallo!

Hier vor mir ist das Distributivgesetz, und ich möchte hier mal die Frage stellen, ob das Distributivgesetz auch für negative Zahlen anwendbar ist, d. h.: Kann man für diese Variablen auch negative Zahlen einsetzen? Natürlich kann man, die Frage ist, ist das Distributivgesetz dann noch richtig? Ich möchte für a eine negative Zahl einsetzen, dafür muss ich die Klammer hier mal ein bisschen verschieben...und für a möchte ich hier die selbe negative Zahl einsetzen, -1 beides mal. Das b bekommt die 3, und das c die 5. Das habe ich mir mal so rein willkürlich ausgedacht und wir können jetzt mal gucken, wie man verstehen kann, ob beide Seiten das gleiche Ergebnis haben und ob das für andere Zahlen auch gelten könnte. Ich möchte mal diese -1 hier simulieren mit so einem kleinen Pfeil, ich hoffe das sieht man in der Kamera gut genug: Der zeigt jetzt nach links, weil die negativen Zahlen am Zahlenstrahl ja auch nach links abgetragen werden, und hier ist so eine gedachte 0-Linie, da werde ich meine Pfeile jetzt mal entsprechend dransetzen. Hier ist ein Pfeil in die andere Richtung, der zeigt +3 an. Ich glaube das kann man auch sehen, dass dieser pinkfarbene Pfeil 3 mal so lang ist wie der orangerote hier, und jetzt habe ich also dargestellt: -1+3 -1 geht nach links, +3 geht von dort aus nach rechts, im Ganzen ist das also +2, wenn hier die 0-Linie ist, und das soll man jetzt 5 mal ausführen - na bitte, das kann ich jetzt machen. Ab hier gehe ich wieder los, einen zurück, 3 Schritte nach vorne, einen Schritt zurück, 3 nach vorne, einen Schritt zurück, 3 nach vorne, 5mal muss ich das Ganze machen...so..und dann bin ich also angekommen. Was kann das sein? Hier gehe ich im Ganzen 2 nach vorne, nochmal 2 nach vorne, das mache ich 5mal und komme dann bei 10 an. Ich hoffe das kannst du gut sehen, dass die beiden hier so ziemlich auf einer Linie sind, das sind die beiden 5er-Stäbe hier. Und wenn ich die jetzt an die gedachte 0-Linie entlang dransetze, dann komme ich hier bei +10 an, und das ist das Ergebnis dieses Terms. Ich kann das auch nochmal -wenn man das ausrechnet- etwas deutlicher zeigen. Eigentlich würdest du, wenn du das jetzt ausrechnen würdest, zuerst -1+3 rechnen, das ist +2 - und rein zufällig habe ich hier auch noch einen +2-Term, du würdest also diese +2 5mal hintereinander setzen und erhältst dann die 10. Wenn ich die jetzt alle mal nebeneinanderlege, dann wird das die +10.

Wie können wir jetzt auf der anderen Seite rechnen? Behauptet wird ja von diesem Gleichheitszeichen, dass das hier im Ganzen auch +10 ist, aber die Rechenweise ist etwas anders. Hier rechnet man -1×5, das kann ich also hier zeigen. -1 geht also 5mal hier hintereinander in den negativen Bereich hinein. Das ist dort bei -5 angekommen, und jetzt rechne ich 3×5, die +3 kommt jetzt hier also 5mal hintereinander, sie wird 5mal hintereinander gelegt. Und: das, was zu erwarten war. Wenn wir davon ausgehen, dass die Mathematik richtig ist und dass das Distributivgesetz auch für negative Zahlen richtig ist, deshalb konnte man das vielleicht erwarten. Wenn wir davon ausgehen, dass die Mathematik richtig ist und dass das Distributivgesetz auch für negative Zahlen richtig ist, deshalb konnte man das vielleicht erwarten. Das ist jedes mal das gleiche, zum Spaß werde ich hier nochmal dieses Ergebnis hier, also +2, 5mal aneinanderlegen, und du siehst: das ist also beides mal das Gleiche. Und das Entscheidende hierbei ist: Wir hatten einmal eine negative Zahl, die konnten wir also einsetzen. Das Ergebnis ist richtig, und wenn du das so hinlegst, dann glaube ich dass klar wird, dass die Pfeile selber auch andere Größen haben könnten. Wenn ich hier z.B. größere Pfeile nehmen würde und dafür kleinere würde das genauso funktionieren.Die Pfeile mit gleicher Farbe müssten natürlich untereinander gleich groß sein. d.h. ich kann hier auch andere Zahlen einsetzen, und das was hier passiert, diese Logik des Hintereinanderlegens von Pfeilen, die steckt hier drin und ist für alle Pfeile die gleiche. Deshalb können wir also davon ausgehen und davon überzeugt sein, dass das Distributivgesetz auch richtig ist, wenn man hier negative Zahlen einsetzt.

Dann viel Spaß damit! Bis bald, tschüss!

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Sehr Gutes Video! Danke Sehr

    Von User06122001, vor 4 Monaten
  2. sehr gut erklärt

    Von Kjell W., vor mehr als 4 Jahren
  3. @Dana Schiller: Das Distributivgesetz lautet (a+b)*c=a*c+b*c. Für die Variablen a, b und c kannst du nun konkrete Zahlen einsetzen. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor fast 5 Jahren
  4. ich suche einfach nur eine Formel für die Gesetze, werde aber leider nicht fündig

    Von Dana Schiller, vor fast 5 Jahren
  5. Geil,zufrieden?

    Von Duy H., vor mehr als 5 Jahren
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Distributivgesetz mit negativen Zahlen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Distributivgesetz mit negativen Zahlen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse zusammen, wie das Distributivgesetz angewendet werden kann.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Was ist $a$, was $b$ und was $c$?

    Schreibe gegebenenfalls den oben angegebenen Term unter die linke Seite des Distributivgesetzes.

    Lösung

    Links vom Gleichheitszeichen steht $(-1+3)\cdot 5$. Es ist also $a=-1$, $b=3$ und $c=5$. Diese können im Distributivgesetz eingesetzt werden und man erhält

    $(-1+3)\cdot 5=-1\cdot5+3\cdot5=-5+15=10$.

    Man hätte auch zunächst den Term in der Klammer berechnen können und dann mit $5$ multipliziert:

    $(-1+3)\cdot 5=2\cdot5=10$.

    Man erhält das gleiche Ergebnis.

  • Beschreibe anschaulich, wie die Rechnung durchgeführt werden kann.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet $\large (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Du kannst dir die Addition und Subtraktion von Zahlen am Zahlenstrahl klarmachen.

    Der rote Pfeil zeigt $-1$ an und der violette $3$.

    Negative Zahlen werden nach links auf dem Zahlenstrahl abgetragen und positive nach rechts.

    $-2$ bedeutet also auf dem Zahlenstrahl zwei Schritte nach links zu gehen.

    Lösung

    Oberhalb des Zahlenstrahls ist das obige der beiden Bilder zu sehen. In der Klammer steht links vom Gleichheitszeichen $(-1+3)\cdot5$. Das bedeutet:

    • Gehe $1$ nach links, der rote Pfeil, und
    • $3$ nach rechts, der violette Pfeil.
    • Dies wird insgesamt fünfmal durchgeführt und
    • man kommt so zu $10$.
    Unterhalb des Zahlenstrahls ist das untere der beiden Bilder zu erkennen:
    • Man geht fünfmal $1$ nach links und von dort
    • fünfmal $3$ nach rechts.
    • Auch hier kommt man zu $10$.
    Die grünen Pfeile sind jeweils $2$ lang und zeigen fünfmal $2$. Das ist $10$.

  • Entscheide, welche der Darstellungen am Zahlenstrahl zu der Aufgabe gehören.

    Tipps

    Der violette Pfeil steht für $4$ und der rote für $-2$.

    Beachte, womit multipliziert wird.

    Berechne das Ergebnis. Dieses muss auch am Zahlenstrahl erkennbar sein.

    Lösung

    Hier sind die beiden richtigen Darstellungen zu sehen:

    • Entweder geht man $4$ nach rechts und $2$ nach links – und das viermal, dies entspricht der linken Seite der obigen Gleichung, oder
    • man geht viermal $4$ nach rechts und dann viermal $2$ nach links, dies entspricht der rechten Seite der obigen Gleichung.
    Beide Male kommt man zu dem gleichen Ergebnis: $8$.

  • Wende jeweils das Distributivgesetz an.

    Tipps

    Du kannst das Distributivgesetz $ (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ anwenden.

    Ein Beispiel:

    $ (-2 + 3) \cdot 4 = -2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 $

    Du kannst dir auch jede der Aufgaben am Zahlenstrahl klarmachen.

    Lösung

    Das Distributivgesetz lautet:

    $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

    Um das Distributivgesetz anzuwenden, macht man sich jeweils klar, was $a$, $b$ und $c$ ist:

    • $(-3+4)\cdot 4$: Hier ist $a=-3$, $b=4$ und $c=4$: $(-3+4)\cdot 4=-3\cdot4+4\cdot 4=-12+16=4$.
    • $(5-3)\cdot 3$: Hier ist $a=5$, $b=-3$ und $c=3$: $(5-3)\cdot 3=5\cdot3-3\cdot3=15-9=6$.
    • $(-1+4)\cdot 3$: Hier ist $a=-1$, $b=4$ und $c=3$: $(-1+4)\cdot 3=-1\cdot 3+4\cdot 3=-3+12=9$.
    • $(5-1)\cdot4$: Hier ist $a=5$, $b=-1$ und $c=4$: $(5-1)\cdot 4=5\cdot4-1\cdot4=20- 4=16$.

  • Gib das Distributivgesetz an.

    Tipps

    Es gibt auch ein Kommutativgesetz. Dieses besagt, dass man bei der Addition die Summanden und bei der Multiplikation die Faktoren vertauschen kann.

    Es gilt die Vorfahrtregel: Klammer geht vor Punkt.

    Bis auf eine Regel gibt es die Regeln wirklich.

    Lösung

    Das Distributivgesetz ist ein Gesetz, welches erklärt, wie ein Produkt berechnet werden kann, wenn einer der Faktoren ein Klammerterm ist:

    $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Es gibt noch weitere Gesetze, welche man sich einprägen kann:

    • Das Assoziativgesetz: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot( b\cdot c)$ für die Multiplikation oder $(a+ b)+ c=a+( b+ c)$ für die Addition.
    • Das Kommutativgesetz: $a\cdot b=b\cdot a$ für die Multiplikation oder $a+ b=b+ a$ für die Addition.

  • Berechne das jeweilige Ergebnis.

    Tipps

    Du kannst den Term in der Klammer berechnen und mit dem zweiten Faktor multiplizieren.

    Du kannst auch das Distributivgesetz anwenden: $\large (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Das niedrigste Ergebnis ist $4$ und das größte $21$.

    Lösung

    Um einen Term der Form $(a+b)\cdot c$ zu berechnen, kann man

    • entweder den Wert des Terms in der Klammer berechnen und diesen mit $c$ multiplizieren
    • oder das Distributivgesetz anwenden.
    1. $(-4+5)\cdot4=-4\cdot 4+5\cdot 4=-16+20=4$.
    2. $(-3+5)\cdot3=-3\cdot 3+5\cdot 3=-9+15=6$.
    3. $(7-3)\cdot2=7\cdot 2-3\cdot 2=14-6=8$.
    4. $(-1+5)\cdot5=-1\cdot 5+5\cdot 5=-5+25=20$.
    5. $(-3+6)\cdot7=-3\cdot 7+6\cdot 7=-21+42=21$.

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