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Distributivgesetz – Beispiel (2)

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Martin Wabnik
Distributivgesetz – Beispiel (2)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Distributivgesetz – Beispiel (2)

Dieses Mal nähern wir uns dem Distributivgesetz von der anderen Seite. Wir multiplizieren keine Klammer aus, sondern erstellen selber eine und klammern dazu eine Zahl ( einen Faktor ) aus. Der Frage, was du dabei beachten musst, nähern wir uns wie gewohnt so anschaulich wie möglich. Zur Erklärung werden diverse Erklärungshilfen herangezogen, um dir die Regel möglichst anschaulich zu machen. Wenn du alles verstanden hast und selbst die Testfrage meistern konntest, dann schau dir doch das nächste Beispiel zum Distributivgesetz an.

Transkript Distributivgesetz – Beispiel (2)

Hallo, hier siehst du das Distributivgesetz am unteren Bildschirmrand und das Distributivgesetz kannst du auf Terme anwenden. Terme können ja überall vorkommen. Sie können einem überall begegnen, beim Einkaufen oder auf dem Schulhof.  Und man sagt natürlich als Erstes "Guten Tag", "Hallo, wie geht es dir?" und fragt dann auch "Darf ich auf dich das Distributivgesetz anwenden?". Der Term könnte zum Beispiel so aussehen: 2×9+4×9. So habe ich mir das vorgestellt. So sieht der Term aus. Kann man auf diesen Term das Distributivgesetz anwenden? Ich habe die Vermutung der Term sieht so aus hier, wie diese linke Seite. Das baue ich jetzt einmal nach. Natürlich meine ich die von dir aus gesehene rechte Seite. Diese rechte Seite ist eine Summe und da muss man ganz langsam denken. Eine Summe ist es, denn die letzte Rechnung ist eine Strichrechnung in diesem Term, in dieser rechten Seite. Dazu brauche ich hier ein Pluszeichen. Davor steht ein Produkt, es gilt ja Punkt- vor Strichrechnung. Dieses Produkt wird zunächst ausgerechnet und das Ergebnis wird dann addiert. Es stehen Variablen da. Ich nehme einmal hier für das c diese Blechvariable und die Pappvariable für das a. Dazwischen steht ein Multiplikationszeichen, da ist es. Danach kommt wieder ein Produkt, denn es wird hier etwas multipliziert. Da ist die Produktunterlage. Ein Multiplikationszeichen kommt darauf und die Variable c ist wieder da drinnen und diesmal die hölzerne Variable b. Jetzt setze ich hier für diese Variablen Zahlen ein und möchte dann diesen Term raus kriegen. Also ich brauche zweimal die 9, die kommt hier rein, einmal die 2 und einmal die 4. Hier steht die 4. Da ist die 2 drin. So, jeder für sich eine Variable und jetzt seh ich also, es ist dieser Term entstanden, indem ich nämlich in die Variablen des Distributivgesetzes Zahlen eingesetzt habe. Wenn das der Fall ist, dann darf ich auf diesen Term das Distributivgesetz anwenden. Hier steht ja jetzt auch 2×9+4×9. Das Distributivgesetz anwenden bedeutet, ich werde jetzt diesen Term umformen in einen solchen Term, so wie er da steht. Dazu baue ich das wieder auf. Es ist ein Produkt, denn die letzte Rechnung ist eine Punktrechnung und deshalb ist es ein Produkt. Es wird ja zunächst die Summe ausgerechnet, weil die in Klammern steht. Dazu brauche ich also diese Summenunterlage. Ach so, nein, so rum kommt es: Erst steht hier die Summe. Für die Summe brauche ich das Pluszeichen und die beiden Variablen, die aus Pappe und die aus Holz, a und b. Danach wird dann multipliziert, und zwar das Ergebnis der gesamten Summe mit dieser Blechvariablen, also mit dem c. Wenn ich jetzt ausrechnen möchte, was hier raus kommt, kann ich die Zahlen hier in diese Variablen einsetzen. Und dann brauch ich das nicht mehr. Diese 9 ist übrig, die kommt weg. Das brauch ich auch nicht mehr, das ist jetzt erledigt. Was habe ich jetzt erhalten? Ich habe in Klammern eine Summe stehen. Erst einmal Klammer auf. Da steht also (2+4)×9. Das bedeutet also, erst wird 2 und 4 addiert und das Ergebnis mit 9 multipliziert. Das ist also die Anwendung hier des Distributivgesetzes und wir können natürlich noch nachrechnen, ob das stimmt. Naja, wir brauchen keinen Taschenrechner dafür, also weg damit. Also, 2×9=18 und 4×9=36, das weiß man auswendig. 18+36, naja ich könnte erst die 10er addieren, dann bin ich bei 46 und dann +8 rechnen, bin ich also bei 54. Das ist also gleich 54. Ich könnte auch das hier unten ausrechnen, also 2+4=6. 6×9=54, das haben wir in der Grundschule auswendig gelernt. Beide Terme haben also das gleiche Ergebnis. Wie zu erwarten war. Damit haben wir das Distributivgesetz wieder einmal erfolgreich angewendet. Viel Spaß damit. Bis dann. Tschüss!

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. 👍gut

    Von Salvador M., vor mehr als 3 Jahren
  2. gut

    Von Salvador M., vor mehr als 3 Jahren
  3. sei leis

    Von Marinus R., vor mehr als 3 Jahren
  4. Ausführlich

    Von Exhartmann, vor etwa 4 Jahren
  5. Seeeehr gut erklärt! <3

    Von Gege 9, vor mehr als 4 Jahren
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Distributivgesetz – Beispiel (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Distributivgesetz – Beispiel (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme, wann ein Term ein Produkt oder eine Summe ist.

    Tipps

    Gemäß dem Distributivgesetz ist es nicht entscheidend, ob du zunächst zwei Summanden $a$ und $b$ addierst und diese Summe dann mit $c$ multiplizierst oder ob du die Produkte der Faktoren $a$ und $c$ sowie $b$ und $c$ addierst.

    Folgendes kannst du dir zu Addition und Multiplikation merken:

    • Eine Summe besteht aus mindestens zwei Summanden.
    • Ein Produkt besteht aus mindestens zwei Faktoren.

    Lösung

    Die Multiplikation und die Addition gehören zu den Grundrechenarten der Mathematik.

    • Ein Term wird Produkt genannt, wenn der letzte Rechenschritt eine Produkt zweier Faktoren (Multiplikation) ist.
    • Ein Term wird Summe genannt, wenn der letzte Rechenschritt die Summe zweier Summanden (Addition) ist.
    Das Distributivgesetzes kannst du häufig bei der Multiplikation von Summen oder auch beim Ausklammern benutzen. Es ist jedoch nicht auf alle Terme sinnvoll anwendbar, da die Struktur der Terme eine Anwendung manchmal nicht zulässt.

  • Stelle das Distributivgesetz auf.

    Tipps

    Das Distributivgesetz wird auch Gesetz zum Ausmultiplizieren von Klammern genannt.

    Ein Produkt ist die Multiplikation zweier Zahlen.

    Zahlenbeispiel:

    • $5\cdot (3 + 4) = 5\cdot 3 + 5 \cdot 4$

    Lösung

    Das Distributivgesetz lautet $(a + b)\cdot c = a\cdot c + b \cdot c$.

    Wir könnten das Gesetz auch so formulieren: „Eine Summe wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summanden mit diesem Faktor multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.“

    Erinnere dich:

    • Ein Term wird Produkt genannt, wenn die letzte Rechnung ein Produkt (Multiplikation) ist.
    • Ein Term wird Summe genannt, wenn die letzte Rechnung eine Summe (Addition) ist.

  • Wende das Distributivgesetz auf die Terme an.

    Tipps

    Gemäß dem Distributivgesetz ist es nicht entscheidend, ob du zunächst zwei Summanden $a$ und $b$ addierst und diese Summe dann mit $c$ multiplizierst oder ob du die Produkte der Faktoren $a$ und $c$ sowie $b$ und $c$ addierst.

    Faktoren kannst du in ihrer Reihenfolge vertauschen, da das Kommutativgesetz gilt:

    • $ab = ba$
    • $abc = cba = cab$

    Lösung

    Im Folgenden erkennst du die beiden Seiten des Distributivgesetzes anhand einiger Beispiele:

    • $(a + c)\cdot b = a \cdot b + b \cdot c$
    • $(2ab + 2a)\cdot c = 2abc + 2ac$. Hier könntest du die Reihenfolge der Faktoren auch vertauschen. $2bca + 2ca$ ist auch eine mögliche Lösung.
    • $ab \cdot (x + y) = abx + yab$. Weitere richtige Lösungen sind beispielsweise: $xab + yba$ oder $bxa + yab$.
    Dass es mehrere richtige Lösungen gibt, ergibt sich durch das Kommutativgesetz, wonach

    • Faktoren in einer Produkt
    • Summanden in einer Summe
    beliebig vertauscht werden dürfen, ohne dass sich das Ergebnis verändert.

  • Leite das Ergebnis des Terms $-(a - b + c)\cdot x$ mithilfe des Distributivgestzes her.

    Tipps

    Wenn vor der Klammer, in welcher sich ein Term befindet, ein Minuszeichen steht, drehen sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer um:

    • $-(a + b) = -a -b$.

    Gewiss helfen dir Nebenrechnungen, um die Übersicht über die Termumformungen zu behalten.

    Lösung

    Hier wollen wir nochmals das Distributivgesetz anwenden. Das Minus vor der Klammer soll uns dabei nicht verwirren. Dazu ziehen wir das Minuszeichen zunächst in die Klammer und schreiben:

    • $-(a - b + c)\cdot x = (-a + b - c)\cdot x$.
    Wir sehen, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht haben. Nun können wir das Distributivgesetz wie gewohnt anwenden.

    • $(-a + b - c)\cdot x = -ax + bx -cx$.
  • Vervollständige das Distributivgesetz.

    Tipps

    Das Distributivgesetz hat die hier abgebildete Form.

    Lösung

    Das allgemeine Distributivgesetz ist hier abgebildet. Auf der linken Seite kommen die gleichen Variablen wie auch der rechten Seite vor. Dies können wir ausnutzen, um unsere Gleichung zu vervollständigen.

    Auf diese Weise erhalten wir die Gleichung $2 \cdot 9 + 4 \cdot 9 = (2 + 4)\cdot 9$ als Beispiel für das Distributivgesetz.

  • Wende das Distributivgesetz an, um den Term in eine Summe zu verwandeln.

    Tipps

    Erinnere dich an die Klammerregeln.

    • Schau dir zunächst die innere Klammer an.

    Wenn du die innere Klammer ausmultipliziert hast, kannst du dir die äußere Klammer angucken.

    Tip:

    • $(a + b + c)\cdot d = ad + bd + cd$

    Lösung

    Wir wollen den Term $(ab + (a + b)\cdot c ) \cdot c$ lösen. Dazu lösen wir zunächst die innere Klammer auf.

    • $(a + b)\cdot c = ac + bc$
    Wir können den gegebenen Term also vereinfachen und schreiben:
    • $(ab + (a + b)\cdot c ) \cdot c = (ab + (ac + bc)) \cdot c$.
    Da die innere Klammer nur aus Summanden besteht, können wir die Klammer weglassen und erhalten:
    • $(ab + ac + bc) \cdot c$.
    Diesen Term können wir erneut mit Hilfe des Distributivgesetzes vereinfachen.
    • $(ab + ac + bc) \cdot c = abc + ac^2 + bc^2$

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