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Definition Lineare Funktionen

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Definition Lineare Funktionen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Definition Lineare Funktionen

Du kennst bereits einige Funktionen. Was erwartet dich nun? Eine neue Funktionsklasse! Herzlich Willkommen zum Video „ Lineare Funktionen – Definition “. Was ist eine lineare Funktion und wie sind lineare Funktonen definiert? Wie lautet die Funktionsgleichung einer linearen Funktion? In diesem Video wird dir erklärt, was eine lineare Funktion ist. Dies ist eine der wichtigsten Klassen von Funktionen. Du lernst, wie der Term einer solchen Funktion aussieht und außerdem zeigen wir dir einen Graphen sowie eine Wertetabelle einer linearen Funktion. Viel Spaß mit dem Video!

Transkript Definition Lineare Funktionen

Hallo. Wenn Du weißt, was Funktionen sind und wenn Du weißt, was proportionale Funktionen und deren Funktionsgleichungen sind, dann können wir uns einmal die linearen Funktionen ansehen. Wir schauen uns erst die Definition der linearen Funktionen an. Dann überlegen wir uns, wie man von einer gegebenen Funktion entscheiden kann, ob es sich um eine lineare Funktion handelt oder eben nicht. Und dann können wir uns noch eine konkrete Funktion ansehen, die Wertetabelle erstellen und den Graphen dazu zeichnen. Also die Definition der linearen Funktionen: Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der Form y = m * x + b hat. Es könnte sein, dass bei dieser Gleichung auch schon einmal andere Buchstaben vorkommen. Zum Beispiel könnte hier auch ein a stehen oder hier könnte ein n stehen. Solange aber x und y an den Stellen sind und hier ein Buchstabe steht und da auch einer, handelt es sich um eine lineare Funktion. So, wie können wir jetzt feststellen, ob eine gegebene Funktion eine lineare Funktion ist? Wir gucken uns die Funktionsgleichung an. Also bei den Funktionen, die wir hier betrachten, gilt immer, dass diese Funktionen eine Funktionsgleichung haben. Und sollte eine Funktion dabei sein, die mal keine hat, dann kannst Du eine Funktionsgleichung erstellen. Also: Wenn eine Funktionsgleichung durch die Ersetzung von m und b in y = m * x + b entsteht, ist es eine lineare Funktionsgleichung. Sonst nicht. Das bedeutet also, dass Du lineare Funktionen an deren Funktionsgleichungen erkennst. "Sonst nicht" heißt, wenn Du eine Funktion gegeben hast und auch die Funktionsgleichung dazu gegeben hast und diese Funktionsgleichung entsteht nicht, indem Du m und b durch Zahlen ersetzt, dann handelt sich auch nicht um eine lineare Funktion. Ja, wir können uns das mal konkret angucken. Stellen wir uns mal vor, eine Funktion kommt zu Dir, klopft an, klopf klopf, hallo, ich bin eine Funktion. Da sagst Du, aha, spannend, ja, zeig mir doch mal Deine Funktionsgleichung. Und dann macht die Funktion so. Hallo. Das ist meine Funktionsgleichung. Dann sagst Du OK, diese Funktionsgleichung kann NICHT dadurch entstehen, indem man hier für m und b Zahlen einsetzt, denn dieses x² kriegt man ja durch Ersetzung von m und b nicht hin. Also ist diese Funktion schon mal keine lineare Funktion. Wenn eine andere Funktion kommt, ja, klopf klopf, hallo, ich bin eine Funktion. Sagst Du, ulkig, ja, zeig mir mal Deine Funktionsgleichung. Die Funktionsgleichung sagt, OK, kannst Du sehen. Das ist meine Funktionsgleichung. Und dann siehst Du, aha, diese Funktionsgleichung entsteht, indem Du für m = 1/2 einsetzt und für b = -1 einsetzt. Und dann weißt Du also, aha, dabei handelt es sich um eine lineare Funktion. Wir können uns konkret diese Funktion mal ansehen mit einer Wertetabelle. Und dann können wir uns auch überlegen, wie die Zuordnung durch die Funktionsgleichung zustande kommt. Ja, eine Funktion ist ja eine eindeutige Zuordnung. Wir haben hier x und y. Und wir können für x irgendwelche Zahlen einsetzen. Zum Beispiel die eins und dann können wir hier ausrechnen, was dann passiert. Wenn da eine eins steht, dann steht da 1/2 * 1 = 1/2 - 1 = -1/2 oder auch -0,5. Das kann man so aufschreiben. Wir können auch -1 einsetzen für x, ja, schreiben wir so auf. Wenn hier -1 steht, 1/2 * (-1) = -0,5 - 1 = -1,5. Wir können auch Null einsetzen. Da steht hier 1/2 * 0 = 0 - 1 = -1, Oder wir können auch zwei einsetzen, da steht jetzt 1/2 * 2 = 1 - 1 = 0. Und -2 schreib ich auch noch auf. 1/2 * (-2) = -1 - 1 = -2. So und dann können wir die Werte hier in das Koordinatensystem eintragen und den Graphen zeichnen. Wenn x = 1 ist, also hier, dann ist y = -0,5 und das ist hier. Da mache ich ein kleines Kreuz hin. Wenn x = -1 ist, also hier, dann ist y = -1,5, das ist hier. Wenn x = 0 ist, also da, ist y = -1. Da kommt das Kreuz hier hin. Wenn x = 2, ist y = 0, das Kreuzchen auf der x-Achse hier. Und wenn x = -2 ist, dann ist auch y = -2. Also dort. Und dann können wir die entstandenen Punkt verbinden und erhalten so den Funktionsgraphen. So sieht er aus. So, damit haben wir alles erledigt. Wir haben gesehen, was lineare Funktionen sind, wir haben gesehen, wie Du entscheiden kannst, ob eine gegebene Funktion eine lineare Funktion ist oder eben nicht. Wir haben die Wertetabelle einer konkreten linearen Funktion erstellt und den Graphen dazu gezeichnet. Das wars, Viel Spaß damit. Tschüss.

14 Kommentare

14 Kommentare
  1. Hallo Sharai,
    ob du mx+n oder mx+b schreibst, ist nur eine Frage der Bezeichnung. Du kannst sowohl n als auch b als Buchstabe verwenden. Wenn euer Lehrer es euch so beigebracht hat, dann mach es am besten so weiter. Grundsätzlich gehen jedoch beide Varianten.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa 2 Jahren
  2. Mein Lehrer hat mir aber beigebracht das es mx+n ist...

    Von Sharai, vor etwa 2 Jahren
  3. sehr Gut erklärt
    gg

    Von Luis W., vor mehr als 2 Jahren
  4. Sehr hilfreich! Vielen Dank 😁

    Von Elle Emmler, vor mehr als 2 Jahren
  5. gutes video

    Von Nico M., vor mehr als 2 Jahren
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Definition Lineare Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Definition Lineare Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Definition der linearen Funktion.

    Tipps

    Eine Funktion ordnet einer Variablen $x$ eindeutig einen Wert $y$ zu.

    „Linear“ bedeutet, dass jede Variable höchstens in der ersten Potenz, also mit Exponent $1$, vorkommt.

    Lösung

    Eine lineare Funktion kann man an der Funktionsgleichung

    $y=m\cdot x+b$

    erkennen.

    Statt $m$ oder $b$ können auch andere Buchstaben dort stehen. Wichtig ist der Faktor $x$.

    Wenn man eine Funktionsgleichung daraufhin untersuchen möchte, ob sie zu einer linearen Funktion gehört, so muss man sie so umschreiben können, dass sie die oben angegebene Form hat. Das heißt: Es befinden sich Zahlen in der Gleichung, welche für $m$ und $b$ stehen.

  • Ergänze die Wertetabelle.

    Tipps

    Setze den jeweiligen Wert für $x$ in die Gleichung $y=\frac12x-1$ ein und berechne $y$.

    Für $x=3$ würde die Rechnung wie folgt aussehen:

    $y=\frac12\cdot3-1=1,5-1=0,5$

    Lösung

    Das Erstellen einer Wertetabelle ist deshalb von Bedeutung, da man die erhaltenen Punkte $(x|y)$ in ein Koordinatensystem eintragen und somit den Graphen der Funktion zeichnen kann. In diesem Beispiel ist dies eine Gerade, welche in dem Bild zu sehen ist.

    Die vollständige Wertetabelle erhält man durch Einsetzen des jeweiligen Wertes für $x$ in die Funktionsgleichung $y=\frac12x-1$.

    So erhält man zum Beispiel für $x=1$ folgende Rechnung:

    $y=\frac12\cdot 1-1=\frac12-1=-\frac12=-0,5$

    Alle übrigen Werte sind wie folgt gegeben:

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x&1&-1&0&2&-2\\ \hline y&-0,5&-1,5&-1&0&-2 \end{array}$

  • Entscheide, ob eine lineare Funktion vorliegt.

    Tipps

    Wenn du einen Wert für $m$ und einen für $b$ findest, so dass die vorgegebene Funktion die Gestalt $y=m\cdot x+b$ hat, liegt eine lineare Funktion vor.

    Die Reihenfolge der Terme $mx$ und $b$ ist bei einer linearen Funktion nicht wichtig.

    Du kannst für $m$ und $b$ jede Zahl einsetzen. Diese können auch $0$ sein:

    • $m=0~\rightarrow~y=b$
    • $b=0~\rightarrow~y=mx$

    Lösung
    • $y=2x-3$. Hier ist $m=2$ und $b=-3$. Dies ist eine lineare Funktion.
    • $y=4$. Hier ist $m=0$ und $b=4$. Dies ist eine lineare Funktion. Es handelt sich um eine zur $x$-Achse parallele Gerade.
    • $y=x^2-3$. Es ist nicht möglich, ein $m$ und ein $b$ zu finden, damit die Form $y=m\cdot x +b$ erkennbar ist. Dies ist keine lineare Funktion.
    • $y=4-x$. Bei dieser Gleichung ist $m=-1$ und $b=4$. Auch wenn die Reihenfolge vertauscht ist, handelt es sich um eine lineare Funktion.
    • $y=\frac1x$. Auch hier ist das Auffinden passender $m$ und $b$ nicht möglich. Dies ist keine lineare Funktion.
  • Bestimme bei den linearen Funktionen $m$ und $b$.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet

    $y=m\cdot x+b$.

    $m$ ist der Faktor vor dem $x$. Der Term $m\cdot x$ kann am Beginn sowie am Ende der Gleichung stehen.

    Sowohl zu $m$ als auch zu $b$ gehört das Vorzeichen.

    Zum Beispiel ist in der Gleichung

    $y=-2x-4$.

    • $m=-2$ und nicht $2$ und ebenso
    • $b=-4$ und nicht $4$.

    Lösung

    Um zu entscheiden, welche Zahl für $m$ und welche für $b$ steht, ist nicht die Position in der Gleichung von Bedeutung:

    • $m$ steht als Faktor vor der Variablen $x$ und
    • $b$ steht alleine.
    Das Vorzeichen gehört jeweils dazu.

    1. $y=-3,5+2x=2x-3,5$. Es ist also $m=2$ und $b=-3,5$.
    2. $y=\frac43x+2$. Hier ist $m=\frac43$ und $b=2$.
    3. $y=1+4x=4x+1$. Hier ist $m=4$ und $b=1$.
    4. $y=-2,3x+3$. Hier ist $m=-2,3$ und $b=3$.
  • Gib an, welche der Gleichungen eine lineare Funktion darstellt.

    Tipps

    Bei einer linearen Funktion ist der höchste Exponent der Variablen eine $1$.

    Eine der beiden angegebenen Funktionen ist eine lineare Funktion.

    Folgende Funktionsgleichung beschreibt eine lineare Funktion:

    $y=2x+4$

    Lösung

    Wenn eine Funktion durch Ersetzen von $m$ und $b$ in der Gleichung $y=m\cdot x+b$ entsteht, liegt eine lineare Funktion vor, ansonsten nicht.

    Die obige Gleichung ist eine mögliche Darstellung der linearen Funktion.

    Eine Funktion $y=ax^2+bx+c$ hat den höchsten Exponenten $2$. Dies ist keine lineare Funktion. Somit ist auch $x^2-3x$ keine lineare Funktion.

    Bei der Funktion $y=\frac12x-1$ ist $m=\frac12$ und $b=-1$. Also handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion.

  • Prüfe, welcher der Graphen zu der linearen Funktion gehört.

    Tipps

    Rechne einige Werte aus und trage die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein.

    Wenn $m>0$ ist, steigt die Gerade.

    Du kannst auch nach dem Ausschlussprinzip vorgehen. Berechne den Funktionswert für $x=0$.

    Lösung

    Man kann eine Wertetabelle erstellen:

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&1,25&2&2,75&3,5&4,25 \end{array}$

    Die so erhaltenen Punkte können in ein Koordinatensystem eingetragen und verbunden werden.

    Der zugehörige Graph ist die rote Gerade, also die Gerade (2). Diese ist in dem nebenstehenden Bild zu erkennen.

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