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Brüche subtrahieren 1 – Stammbrüche subtrahieren

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Martin Wabnik
Brüche subtrahieren 1 – Stammbrüche subtrahieren
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Brüche subtrahieren 1 – Stammbrüche subtrahieren

Das Subtrahieren von Brüchen ist so wie das Addieren von Brüchen - nur umgekehrt. Hier ist die Methode: 1) Brüche kürzen, falls möglich 2) auf das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner erweitern 3) Brüche subtrahieren 4) den Ergebnisbruch kürzen, falls möglich

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. mein mathe lehrer "so jetzt macht ihr die nummer eins zwei sieben und neun ihr habt dazu fünf minuten zeit"

    Von Tr2003, vor 2 Monaten
  2. Es geht nicht(es ladet nicht).

    Von Sarah A., vor 5 Monaten
  3. naja

    Von Mel Strobel, vor 5 Monaten
  4. Es ging

    Von Mohr Ralph, vor 6 Monaten
  5. Alex Faber,meine Lehrerin hat es auch anders erklärt:)
    aber trotzdem gut erklärt 😉😀

    Von Bomatz2008, vor etwa einem Jahr
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Brüche subtrahieren 1 – Stammbrüche subtrahieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche subtrahieren 1 – Stammbrüche subtrahieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen bei der Subtraktion von Brüchen.

    Tipps

    Bei einer Subtraktion gilt:

    $\text{Minuend}-\text{Subtrahend}=\text{Differenz}$

    Es ist einfacher, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen. Daher ist es von Vorteil, Brüche zuerst zu kürzen und dann gleichnamig zu machen.

    Falls das Endergebnis einer Rechnung ein Bruch ist, sollte dieser vollständig gekürzt angegeben werden.

    Lösung

    Möchten wir zwei oder mehrere Brüche subtrahieren, so müssen wir zunächst alle Brüche gleichnamig machen. Nur dann können wir Brüche subtrahieren. Also eignet sich folgende Vorgehensweise für die Subtraktion von Brüchen:

    1. Zunächst werden Minuend und Subtrahend soweit wie möglich gekürzt. Es ist nämlich einfacher, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen.
    2. Nun bestimmt man das $\text{kgV}$ der Nenner von Minuend und Subtrahend. Hierfür gibt es unterschiedliche Methoden, wie beispielsweise der Vergleich der Vielfachenmengen oder auch die Primfaktorzerlegung.
    3. Jeder Bruch der Subtraktion wird auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitert. Dafür werden jeweils Zähler und Nenner mit entsprechenden Faktoren multipliziert.
    4. Nun kann man die Brüche subtrahieren, indem man ihre Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
    5. Abschließend wird die so erhaltene Differenz noch soweit wie möglich gekürzt.
  • Bestimme die Differenz der gegebenen Subtraktion.

    Tipps

    Das $\text{kgV}$ zweier Zahlen ist das kleinste Vielfache, das beide Zahlen gemeinsam haben. Hierzu kannst du die Vielfachenmengen der betroffenen Zahlen wie folgt vergleichen:

    • $V_3=\{ 3;\ 6;\ 9;\ \color{#669900}{12};\ 15;\ \dots \}$
    • $V_4=\{ 4;\ 8;\ \color{#669900}{12};\ 16;\ \dots \}$
    Es gilt also:

    • $\text{kgV}(3;4)=12$

    Du subtrahierst gleichnamige Brüche, indem du die Zähler subtrahierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst.

    Lösung

    Bei der Durchführung der gegebenen Subtraktion gehen wir wie folgt vor:

    1. Zunächst werden alle Brüche soweit wie möglich gekürzt.
    2. Nun bestimmt man das $\text{kgV}$ der Nenner aller Brüche.
    3. Jeder Bruch der Subtraktion wird auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitert.
    4. Nun kann man die Brüche subtrahieren, indem man ihre Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
    5. Abschließend wird die so erhaltene Differenz noch soweit wie möglich gekürzt.
    Wir betrachten nun die Subtraktion: $~ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$

    Schritt 1

    Da es einfacher ist, das $\text{kgV}$ kleiner Zahlen zu bestimmen, kürzt man zunächst alle Brüche. In unserem Beispiel sind Minuend und Subtrahend bereits vollständig gekürzt. Also gehen wir über zu Schritt 2.

    Schritt 2

    Für die Bestimmung des $\text{kgV}$ gibt es unterschiedliche Methoden. Wir vergleichen im Folgenden die Vielfachenmengen der beiden Zahlen im Nenner:

    • $V_2=\{ 2;\ 4;\ \color{#669900}{6};\ 8;\ \dots \}$
    • $V_3=\{ 3;\ \color{#669900}{6};\ 9;\ \dots \}$
    Damit erhalten wir das folgende $\text{kgV}$:

    $\text{kgV}(2;3)=6$

    Schritt 3

    Nun machen wir die Brüche gleichnamig, indem wir ihre Nenner auf das ermittelte $\text{kgV}$ erweitern. Dafür werden jeweils Zähler und Nenner mit entsprechenden Faktoren multipliziert.

    $\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{3}=\dfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}-\dfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}=\dfrac {3}{6}-\dfrac {2}{6}$

    Schritt 4

    Nun können wir die Brüche endlich subtrahieren, indem wir die Zähler subtrahieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:

    $\dfrac {3}{6}-\dfrac {2}{6} =\dfrac {1}{6}$

    Schritt 5

    Im letzten Schritt wird die resultierende Differenz noch so weit wie möglich gekürzt. Hier liegt bereits ein vollständig gekürzter Bruch vor, sodass dieser Rechenschritt entfällt.

  • Ermittle das $\text{kgV}$ der jeweiligen Zahlen.

    Tipps

    Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ ermitteln, indem du die Vielfachenmengen der jeweiligen Zahlen vergleichst. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(2;5)$ an:

    • $V_2=\{ 2; 4; 6; 8; \color{#669900}{10}; 12; \dots \}$
    • $V_5=\{ 5; \color{#669900}{10}; 15; \dots \}$

    Du kannst auch mit Hilfe der Primfaktorzerlegung das $\text{kgV}$ bestimmen. Sieh dir hierzu das Beispiel $\text{kgV}(4;6)$ an:

    Primfaktorzerlegung

    • $4 = 2^2$
    • $6 = 2\cdot 3$
    Nun multiplizierst du die Primfaktoren mit den höchsten Potenzen und erhältst:
    • $\text{kgV}(4; 6)=2^2\cdot 3=4\cdot 3=12$
    Lösung

    Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen. Im Folgenden notieren wir uns die Vielfachenmengen der gegebenen Zahlen und vergleichen diese, um so das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden:

    Beispiel 1: $~\text{kgV}(3;12)$

    Die Vielfachenmengen sind:

    • $V_3=\{ 3; 6; 9; \color{#669900}{12}; 15; \ ...\ \}$
    • $V_{12}=\{ \color{#669900}{12}; 24; 36; \ ...\ \}$
    Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also $12$ und wir schreiben:
    • $~\text{kgV}(3;12)=12$
    Beispiel 2: $~\text{kgV}(4;13)$

    Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

    • $V_4=\{ 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; \color{#669900}{52}; 56; \ ...\ \}$
    • $V_{13}=\{ 13; 26; 39; \color{#669900}{52}; 65; \ ...\ \}$
    Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also die $52$. Dieses geben wir wie folgt an:
    • $~\text{kgV}(4;13)=52$
    Beispiel 3: $~\text{kgV}(6;8)$

    Für $8$ und $18$ erhalten wir folgende Vielfachenmengen:

    • $V_{6}=\{ 6; 12; \color{#669900}{18}; 24; \ ...\ \}$
    • $V_{9}=\{ 9; \color{#669900}{18}; 27; \ ...\ \}$
    Das kleinste gemeinsame Vielfache können wir nun wie folgt angeben:
    • $~\text{kgV}(6;9)=18$
    Beispiel 4: $~\text{kgV}(12; 18)$

    Wir betrachten folgende Vielfachenmengen:

    • $V_4=\{ 4; 8; 12; 16; 20; 24; \color{#669900}{28}; 32; 36; \ ...\ \}$
    • $V_{14}=\{ 14;\color{#669900}{28}; 42; \ ...\ \}$
    Das kleinste gemeinsame Vielfache ist demnach wie folgt gegeben:
    • $~\text{kgV}(4;14)=28$

  • Bestimme die vollständig gekürzten Differenzen der jeweiligen Subtraktionen.

    Tipps

    Bestimme zunächst das $\text{kgV}$ der Nenner und erweitere dann die Brüche mit entsprechenden Faktoren auf diesen gemeinsamen Nenner.

    Sieh dir folgendes Beispiel an: $~\frac 12-\frac 14$

    • $\text{kgV}(2;4)=4$
    • $\frac {1\cdot 2}{2\cdot 2}-\frac{1}{4}=\frac {2}{4}-\frac{1}{4}=\frac 14$
    Lösung

    Wir bestimmen die Differenzen, indem wir Minuend und Subtrahend zunächst gleichnamig machen. Hierzu ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ der beiden Nenner und erweitern die Brüche dann jeweils mit entsprechenden Faktoren. Dann subtrahieren wir die Brüche, indem wir die Zähler subtrahieren und die Nenner beibehalten.

    Beispiel 1: $~\frac 23-\frac 14$

    Das $\text{kgV}$ der Nenner $3$ und $4$ ist $12$. Also erweitern wir den ersten Bruch mit dem Faktor $4$ und den zweiten Bruch mit $4$. Dann folgt:

    • $\frac 23-\frac 14=\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}-\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac {8}{12}-\frac 3{12}=\frac {5}{12}$
    Beispiel 2: $~\frac 56-\frac 34$

    Mit $\text{kgV}(6;4)=12$ und den Faktoren $2$ und $3$ erhalten wir folgende Rechnung:

    • $\frac 56-\frac 34=\frac {5\cdot 2}{6\cdot 2}-\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac {10}{12}-\frac 9{12}=\frac {1}{12}$
    Beispiel 3: $~\frac 78-\frac 13$

    Das $\text{kgV}$ der Nenner $8$ und $3$ ist $24$. Also erweitern wir den ersten Bruch mit dem Faktor $3$ und den zweiten Bruch mit $8$. Dann folgt: $\frac 78-\frac 13=\frac {7\cdot 3}{8\cdot 3}-\frac {1\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac {21}{24}-\frac {8}{24}=\frac {13}{24}$

    Beispiel 4: $~\frac 5{12}-\frac 1{6}$

    Mit $\text{kgV}(12;6)=12$ und den Faktoren $1$ und $2$ erhalten wir folgende Rechnung:

    $\frac 5{12}-\frac 1{6}=\frac {5}{12}-\frac {1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac {5}{12}-\frac {2}{12}=\frac {1}{4}$

  • Gib die zugehörigen vollständig gekürzten Brüche an.

    Tipps

    Du kürzt einen Bruch vollständig, indem du Zähler und Nenner jeweils durch ihren größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilst. Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\dfrac 8{12}=\dfrac{8:4}{12:4}=\dfrac 23$

    Es gilt nämlich: $\text{ggT}(8;12)=4$

    Wenn du den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ zweier Nenner nicht findest, so kannst du den Bruch auch in mehreren Schritten kürzen. Da $8$ und $12$ gerade Zahlen sind, haben sie auf jeden Fall den Teiler $2$ gemeinsam. Also kürzen wir zunächst mit $2$ zu:

    $\dfrac 8{12}=\dfrac{8:2}{12:2}=\dfrac 46$

    Du siehst, dass Zähler und Nenner wieder gerade Zahlen sind, also kürzen wir nochmal mit $2$:

    $\dfrac 46=\dfrac{4:2}{6:2}=\dfrac 23$

    Wieder erhalten wir als vollständig gekürzten Bruch $\dfrac 23$.

    Es gibt Teilbarkeitsregeln:

    • Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn die letzte Stelle der Zahl durch $2$ teilbar ist.
    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist.
    • Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch $4$ teilbar sind.
    • Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine $5$ oder eine $0$ ist.

    Lösung

    Beim vollständigen Kürzen der gegebenen Brüche gehen wir wie folgt vor:

    • Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner. Hierzu vergleichen wir ihre Teilermengen.
    • Dann teilen wir Zähler und Nenner jeweils durch ihren $\text{ggT}$.
    Beispiel 1: $~\frac{21}{42}$

    Wir erhalten für Zähler und Nenner jeweils folgende Teilermengen:

    • $T_{21}=\{ 1; 3; 7; \color{#669900}{21} \}$
    • $T_{42}=\{ 1; 2; 3; 6; 7; 14; \color{#669900}{21}; 42 \}$
    Mit $\text{ggT}(21;42)=21$ können wir den betrachteten Bruch nun vollständig kürzen zu:
    • $\dfrac{21}{42}=\dfrac{21 : 21}{42: 21}=\dfrac 12$
    Beispiel 2: $~\frac{24}{36}$

    Die Teilermengen von Zähler und Nenner lauten:

    • $T_{24}=\{ 1; 2; 3; 4; 6; 8; \color{#669900}{12}; 24 \}$
    • $T_{36}=\{ 1; 2; 3; 4; 6; 9; \color{#669900}{12} ; 18; 36 \}$
    Mit $12$ können wir den Bruch also vollständig kürzen zu:
    • $\dfrac{24}{36}=\dfrac{24: 12}{36: 12}=\dfrac 23$
    Beispiel 3: $~\frac{27}{63}$

    Wir erhalten für Zähler und Nenner jeweils folgende Teilermengen:

    • $T_{27}=\{ 1; 3; \color{#669900}{9}; 27 \}$
    • $T_{63}=\{ 1; 3; 7; \color{#669900}{9}; 21; 63 \}$
    Mit $\text{ggT}(27; 63)=9$ können wir den betrachteten Bruch wie folgt kürzen:
    • $\dfrac{27}{63}=\dfrac{27: 9}{63: 9}=\dfrac 3{7}$
    Beispiel 4: $~\frac{48}{54}$

    Nun ergeben sich folgende Teilermengen:

    • $T_{48}=\{ 1; 2; 3; 4; \color{#669900}{6}; 8; 12; 16; 24; 48 \}$
    • $T_{54}=\{ 1; 2; 3; \color{#669900}{6}; 9; 18; 27; 54 \}$
    Mit $\text{ggT}(48; 54)=6$ kürzen wir den Bruch wie folgt:
    • $\dfrac{48}{54}=\dfrac{48: 6}{54: 6}=\dfrac {8}{9}$

  • Ermittle die Differenz der Subtraktion.

    Tipps

    Wandle die gemischten Brüche zunächst in unechte Brüche um. Bestimme dann das $\text{kgV}$ der drei Nenner.

    Du kannst das Ergebnis wieder in einen gemischten Bruch umwandeln.

    Sieh dir folgendes Beispiel für die Umwandlung von gemischten Brüchen an: $~5\dfrac{1}{2}= 5+\dfrac{1}{2}$

    Es gilt: $5=\dfrac{10}{2}$

    Damit folgt: $\dfrac{10}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{2}$

    Lösung

    Um die Differenz zu bestimmen, wandeln wir die gemischten Brüche zunächst in unechte Brüche um. So erhalten wir:

    • $3\dfrac 12-1\dfrac 23-\dfrac 14=\dfrac 72-\dfrac 53-\dfrac 14$
    Nun ermitteln wir das $\text{kgV}$ der Nenner:

    • $\text{kgV}(2; 3; 4)=12$
    Jetzt erweitern wir alle drei Brüche auf den Nenner $12$:

    • $\dfrac {7\cdot 6}{2\cdot 6}-\dfrac {5\cdot 4}{3\cdot 4}-\dfrac {1\cdot 3}{4\cdot 3}=\dfrac {42}{12}-\dfrac {20}{12}-\dfrac {3}{12}$
    Nun können wir endlich die Brüche subtrahieren, indem wir die Zähler subtrahieren und den Nenner beibehalten:

    • $\dfrac {42-20-3}{12}=\dfrac {19}{12}$
    Diesen Bruch können wir noch in einen gemischten Bruch umwandeln:

    • $\dfrac {19}{12}=\dfrac {12+7}{12}=1\dfrac 7{12}$
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