Binomische Formeln – Überblick

Binomische Formeln – Überblick Übung

• Berechne die Terme mithilfe der binomischen Formeln.

  Tipps

  Du kannst eine Potenz auch so aufschreiben:

  $a^2=a\cdot a$

  Beide Schreibweisen haben die gleiche Bedeutung.

  Du kannst zum Ausmultiplizieren der Klammern auch das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet:

  $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

  Du darfst nur gleichartige Terme addieren oder subtrahieren.

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $x+y+3y+xy+yx=x+4y+2xy$

  Es gilt nämlich $~ xy=yx$.

  Lösung

  Folgende Terme sind uns gegeben:

  • $(a+b)^2$
  • $(a-b)^2$
  • $(a+b)(a-b)$
  • $42 /cdot 38$

  Diese Terme können wir entweder direkt über die jeweilige binomische Formel oder mithilfe des Distributivgesetzes berechnen. Im Folgenden werden diese Terme ausführlich unter Anwendung des Distributivgesetzes berechnet und somit alle drei binomischen Formeln hergeleitet.

  1. binomische Formel: $~(a+b)^2$

  $~(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$

  2. binomische Formel: $~(a-b)^2$

  $~(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$

  3. binomische Formel: $~(a+b)(a-b)$

  $~(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$

  Für das Zahlenbeispiel können wir nun die dritte binomische Formel anwenden:

  $42 /cdot 38 = (40+2)(40-2)=40^2-2^2=1\,600-4=1\,596$

• Beschreibe, wie du die Multiplikation $42\cdot 38$ mithilfe der dritten binomischen Formel lösen kannst.

  Tipps

  Eine Multiplikation der Form $(a+b)\cdot (c+d)$ kannst du ebenfalls durch Anwendung des Distributivgesetzes lösen. Hierzu gilt:

  $(a+b) \cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$

  Die binomischen Formeln stellen eine Sonderform beim Auflösen zweier Klammerterme dar.

  Die dritte binomische Formel lautet:

  $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$

  Lösung

  Die Multiplikationsaufgabe $42\cdot 38$ können wir sowohl mittels schriftlicher Multiplikation als auch durch geschickte Anwendung der dritten binomischen Formel lösen.

  Das Vorgehen bei der schriftlichen Multiplikation kannst du der hier dargestellten Abbildung entnehmen.

  Deutlich schneller kannst du diese Aufgabe durch Anwendung der dritten binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ rechnen. Dazu schreiben wir die Aufgabe zunächst so um, dass wir zwei Klammerterme erhalten. Wir rechnen wie folgt:

  $42\cdot 38=(40+2)\cdot (40-2)=40^2-2^2=1 600-4=1 596$

• Ermittle mithilfe der binomischen Formeln die Lösungen der Terme.

  Tipps

  Die erste und zweite binomische Formel lauten:

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  Du quadrierst eine Zahl, indem du sie einmal mit sich selbst multiplizierst:

  $6^2=6\cdot 6=36$

  Lösung

  Unter Anwendung der binomischen Formeln möchten wir im Folgenden die gegebenen Beispiele lösen. Die drei binomischen Formeln lauten:

  Erste binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Zweite binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  Dritte binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Mit diesen Formeln können wir nun die gegebenen Klammerterme berechnen. Hier siehst du die Rechenwege:

  • $(11+3)^2=121+66+9=196$

  • $(12-5)^2=144-120+25=49$

  • $(5+3)\cdot (5-3)=25-9=16$

  • $(13-4)^2=169-104+16=81$

• Bestimme den Term für die markierten Flächen.

  Tipps

  Die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ entspricht $a^2$.

  Die erste binomische Formel lautet:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Hier siehst du die dritte binomische Formel:

  $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Lösung

  Wir betrachten hier zwei Flächen, welche je durch eine der binomischen Formeln beschrieben werden. Die binomischen Formeln kann man sich nämlich jeweils als Fläche vorstellen.

  Gegeben sind dabei ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a$ und ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge $b$, das in dem großen Quadrat liegt. Die Fläche eines Quadrats entspricht dem Quadrat seiner Seitenlänge. Somit hat das große Quadrat eine Fläche von $a^2$ und das kleine Quadrat eine Fläche von $b^2$.

  Rote Fläche

  Zunächst schauen wir uns die rote Fläche an. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge $a-b$ und somit die Fläche $(a-b)^2$. Sie entspricht also der Quadratfläche, welche durch die zweite binomische Formel beschrieben wird.

  Diese lautet:

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  Da die linke Seite dieser Gleichung die rote Fläche beschreibt, muss diese auch durch die rechte Seite beschrieben werden. Das bedeutet, dass wir von dem großen Quadrat zunächst zweimal die Fläche $a\cdot b$ abziehen. Anschließend addieren wir die Fläche $b^2$, da wir dieses Stück zweimal abgezogen haben.

  Grüne Fläche

  Nun betrachten wir die grüne Fläche. Diese Fläche erhalten wir, wenn wir von dem großen Quadrat das kleine Quadrat abziehen. Der Flächeninhalt des großen Quadrats beträgt $a^2$ und der Flächeninhalt des kleinen Quadrats beträgt $b^2$. Der Flächeninhalt der grünen Fläche wird also durch den Term $a^2-b^2$ beschrieben. Du kannst dies auch auf dem Bild erkennen. Dieser Term ist gegeben durch die dritte binomische Formel.

  Diese lautet:

  $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Die grüne Fläche wird ebenfalls durch die linke Seite der Gleichung beschrieben.

• Gib an, mit welcher binomischen Formel das jeweilige Beispiel gelöst werden kann.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Die zweite binomische Formel lautet:

  $(a-b)\cdot (a-b)=a^2-2ab+b^2$

  Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$.

  Lösung

  Es sind die folgenden Beispiele gegeben:

  • $(4+2)\cdot (4-2)$
  • $(5-3)^2$
  • $(x-y)\cdot (x+y)$
  • $(4+5)\cdot (4+5)$

  Gesucht ist jeweils die binomische Formel, welche man zum Auflösen der Klammerterme anwenden muss. Die drei binomischen Formeln lauten wie folgt:

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Einen mathematischen Ausdruck der Form $(a+b)^2$ kannst du auch ausschreiben zu $(a+b)\cdot (a+b)$. Dann erhalten wir folgende Lösung:

  • $(4+2)\cdot (4-2) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
  • $(5-3)^2 ~\rightarrow ~$ 2. binomische Formel
  • $(x-y)\cdot (x+y) ~\rightarrow ~$ 3. binomische Formel
  • $(4+5)\cdot (4+5)=(4+5)^2 ~\rightarrow ~$ 1. binomische Formel

• Ermittle das zugehörige Produkt von Klammertermen.

  Tipps

  Die dritte binomische Formel lautet:

  $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $(x+y)\cdot (-x-y)=-1\cdot (x+y)\cdot (x+y)=-1\cdot (x+y)^2$

  Lösung

  Bevor wir uns die Beispiele anschauen, notieren wir uns zunächst die drei binomischen Formeln:

  • 1. binomische Formel: $~ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • 2. binomische Formel: $~ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • 3. binomische Formel: $~ (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Nun können wir uns die Beispiele anschauen:

  Beispiel 1: $~ 9-6x+x^2$

  Diesen Term schreiben wir zunächst um zu:

  $~ 3^2-2\cdot 3\cdot x+x^2$

  In dieser Schreibweise können wir die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die zweite binomische Formel handelt. Somit erhalten wir:

  $~ (3-x)^2$

  Beispiel 2: $~ 9-x^2$

  Diesen Term können wir auch so schreiben:

  $~ 3^2-x^2$

  Durch diese Schreibweise können wir wieder die Klammerterme ablesen. Da wir die Subtraktion zweier Quadratzahlen haben und kein nichtquadratisches Glied enthalten ist, handelt es sich hierbei um die dritte binomische Formel. Somit erhalten wir:

  $~ (3+x)\cdot (3-x)$

  Beispiel 3: $~ -9-6x-x^2$

  Dieser Term erscheint zunächst anders, aber wir können ihn umformen zu:

  $~ -1\cdot (9+6x+x^2)=-1\cdot (3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2)$

  In dieser Schreibweise erkennen wir jetzt sowohl die Klammerterme als auch die erste binomische Formel in der Klammer. Somit erhalten wir:

  $~ -1\cdot (3+x)^2=-1\cdot (3+x)\cdot (3+x)=(3+x)(-3-x)$

  Beispiel 4: $~ 9+6x+x^2$

  Der letzte Term kann umgeformt werden zu:

  $~ 3^2+2\cdot 3\cdot x+x^2$

  In dieser Schreibweise können wir nun die Klammerterme ablesen. Die Rechenzeichen verraten uns, dass es sich hier um die erste binomische Formel handelt. Somit erhalten wir:

  $~ (3+x)^2$

  Die restlichen Multiplikationsaufgaben

  Die Lösung für die übrigen Klammerausdrücke erhältst du durch Anwendung der ersten und dritten binomischen Formel. Es folgt dann:

  $(9+x)^2=81+18x+x^2$

  $(9+x)\cdot (9-x)=81-x^2$